Programmare - Matematica e Informatica

C.d.L. in Matematica Applicata alla Industria e alla Finanza a.a. 2008/09
PROGRAMMA
DEL CORSO DI ANALISI NUMERICA I
E
LABORATORIO DI ANALISI NUMERICAI
numero crediti formativi: 3+3
Docente Dott. Vincenzo Sciacca
NOZIONI PRELIMINARI
Introduzione al MATLAB. Operazioni con matrici.
Programmare in MATLAB. M-file: script e function.
Numeri macchina. Errore assoluto ed errore relativo. Arrotondamento e
troncamento. Stabilità e mal condizionamento. Ordine di accuratezza.
Propagazione dell'errore.
Richiami di analisi. Teorema del valor medio. Formule degli incrementi
infinitesimi. Formula di Taylor con resto di Lagrange. Infiniti ed
infinitesimi.
RICERCA DEGLI ZERI DI UNA FUNZIONE
Determinazione della radice quadrata. Metodo di bisezione. Metodo di
Falsa posizione. Implementazione dei metodi in MATLAB.
Metodo di Newton. Teorema sulla convergenza del metodo. Ordine della
convergenza. Radici semplici e multiple. Implementazioni del metodo in
MATLAB. Metodo delle secanti. Confronto tra la velocità di
convergenza dei diversi metodi.
Metodi iterativi. Problemi di punto fisso. Teorema sulla convergenza del
metodo. Ordine di convergenza. Implementazione del metodo in
MATLAB. Riduzione di un problema di ricerca degli zeri ad un
problema di punto fisso.
INTERPOLAZIONE ED APPROSSIMAZIONE
Il problema dell'interpolazione in generale. Matrice di Gram.
Interpolazione con polinomi del tipo Lagrange. Vantaggi e svantaggi.
Algoritmo di Ruffini-Horner.
Differenze divise. Polinomio interpolatore di Newton. Implementazione
in MATLAB. Errore dell'interpolazione. Problema della scelta ottimale
dei nodi. Oscillazioni di Runge e scelta dei nodi alla Chebichev.
Teorema di Weierstrass e Tonelli (enunciati). Interpolazione di Hermite e
suo legame con il metodo di Newton.
Interpolazione lineare a tratti. Funzioni spline cubiche. Vari tipi di
condizioni al bordo: spline naturali, complete e condizione di not-a-knot.
La rappresentazione "pp" in MATLAB e la funzione "spline".
Approssimazione trigonometrica per le funzioni periodiche. Coefficienti
di Fourier. Implementazione in MATLAB e uso della funzione "fft".
Approssimazione con il metodo dei minimi quadrati. Approssimazione
lineare. Casi non lineari. Indici per valutare la bontà
dell'approssimazione: deviazione standard dei residui e R2.
Minimi quadrati e funzioni spline. Cenni sulle B-spline lineari e cubiche.
Implementazione in MATLAB con spline not-a-knot.
MATRICI E SISTEMI LINEARI
Richiami di algebra lineare. Spazi vettoriali e trasformazioni lineari.
Matrici particolari: diagonali, triangolari, a banda. Inversa e
determinante. Sistemi lineari e condizioni di compatibilità.
Metodo di eliminazione di Gauss per la ricerca delle soluzioni di un
sistema lineare. Fattorizzazione LU. Pivoting. Condizionamento di un
sistema lineare.
Altre fattorizzazioni: metodo di Cholesky, fattorizzazione QR.
Cenni su autovalori ed autovettori. Cenni su decomposizione SVD.
INTEGRAZIONE NUMERICA
Formule di quadratura interpolatorie. Formule di Newton-Cotes. Formule
di tipo gaussiano. Polinomi ortogonali.
Formule composte. Approssimazione di integrali. Integrazione di
Romberg. Quadratura adattiva. Quadratura di Gauss.
Testi adottati:
G. Naldi, L. Pareschi e G. Russo, Introduzione al Calcolo Scientifico,
McGraw-Hill, Milano 2001
J. F. Epperson, Introduzione all’analisi numerica, McGraw-Hill, Milano
2003
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer Italia,
Milano 2001
Testi consigliati:
G. Monegato, Fondamenti di Calcolo Numerico, CLUT,Torino 1998
A. Quarteroni, F. Saleri, Introduzione la Calcolo Scientifico, Springer
Italia, Milano 2001
W. J, Palm III, Matlab 6, McGraw-Hill, Milano 2001
P.J. Olver, C. Shakiban Applied Linear Algebra, Pearson Prentice Hall
2006