Esercizi II parziale

Esercizi II parziale
1) Dato il vettore x(i), i = 1, . . . , N con a = x1 < x2 < . . . < xN = b ed un valore z ∈ [a, b] realizzare una
funzione Matlab j=Trova(x,z) che effettua la ricerca binaria dell’indice j tale z ∈ [xj , xj+1 ].
2) Dato il vettore x(i), i = 1, . . . , N con a = x1 < x2 < . . . < xN = b ed un valore z ∈ [a, b] realizzare
una funzione Matlab z=Aorder(x) che riordina le componenti del vettore in ordine crescente secondo il
valore assoluto.
3) Date le coppie di valori (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) e il polinomio trigonometrico a tratti
ti (x) = ai + bi exp(I(x − xi )) + ci exp(I(x − xi )(x − xi+1 )),
i = 1, . . . , n
determinare i valori complessi ai , bi e ci in modo tale che
ti (xi ) = yi ,
ti (xi+1 ) = yi+1 .
Discutere le possibili scelte sulle condizioni aggiuntive da assegnare in modo da fissare univocamente la
spline trigonometrica. Realizzare una funzione Matlab chiamata [a,b,c]=Strigonometrica(x,y,...)
che calcola i vettori a, b e c che definiscono la spline trigonometrica in base alle scelte effettuate in
precedenza.
4) Utilizzare la funzione realizzata in precedenza per costruire in Matlab la spline trigonometrica relativa
a
f (x) = exp(−x) sin(x),
0 ≤ x ≤ 2π.
Si assuma nota la funzione Indice per la determinazione del sottointervallo ma non quella per la
valutazione della spline.
5) Verificare che il seguente sistema lineare Ax = b, con


1 1
A =  2 −1  ,
1 2
 
1
b = 0,
1
non ammette soluzione e determinarne una soluzione nel senso dei minimi quadrati. Calcolare inoltre
la norma 2 del residuo.
6) Calcolare i primi 5 termini della successione fornita dal metodo di bisezione e i primi due termini di
quella fornita dal metodo di Newton per calcolare una soluzione del problema
2 sin(x) − x2 = 0,
sull’intervallo [π/4, π/2] (Per il metodo di Newton si assuma x0 = π/4).
7) Si consideri la formula di quadratura di Radau
Z
I=
a
b
· µ
¶
¸
(b − a)
2a + b
f (x) dx ≈
3f
+ f (b) .
4
3
Realizzare una funzione chiamata come quadI=Radau(fname,a,b) che restituisce il valore approssimato
dell’integrale I tramite la precedente formula. Si suppone che fname sia una stringa che contiene il nome
della funzione integranda.
8) Utilizzare la precedente formula di quadratura per creare una funzione di quadratura composta chiamata
tramite quadI=CompQRadau(fname,a,b,n) per il calcolo di I utilizzando n punti in [a, b].
9) Si consideri la formula di quadratura di Newton-Cotes di tipo aperto
Z
b
f (x) dx ≈
I=
a
· µ
¶
µ
¶¸
(b − a)
3a + b
a + 3b
f
+f
.
2
4
4
Tale formula ha grado di precisione 3 e rappresenta una estensione della formula midpoint. Realizzare una funzione chiamata come quadI=QNCa3(fname,a,b) che restituisce il valore approssimato
dell’integrale I tramite la precedente formula. Si suppone che fname sia una stringa che contiene il
nome della funzione integranda.
10) Utilizzando il metodo di Monte Carlo scrivere una funzione che consenta il calcolo dell’area della regione
interna alla circonferenza di equazione x2 + y 2 = R2 con x, y ≥ 0. Tale funzione deve essere chiamata
come area=MCquarti(R,n,npunti) dove npunti
uniforme su [−R, R].
é il numero di punti scelti casualmente in modo