Esercizi II parziale 1) Dato il vettore x(i), i = 1, . . . , N con a = x1 < x2 < . . . < xN = b ed un valore z ∈ [a, b] realizzare una funzione Matlab j=Trova(x,z) che effettua la ricerca binaria dell’indice j tale z ∈ [xj , xj+1 ]. 2) Dato il vettore x(i), i = 1, . . . , N con a = x1 < x2 < . . . < xN = b ed un valore z ∈ [a, b] realizzare una funzione Matlab z=Aorder(x) che riordina le componenti del vettore in ordine crescente secondo il valore assoluto. 3) Date le coppie di valori (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) e il polinomio trigonometrico a tratti ti (x) = ai + bi exp(I(x − xi )) + ci exp(I(x − xi )(x − xi+1 )), i = 1, . . . , n determinare i valori complessi ai , bi e ci in modo tale che ti (xi ) = yi , ti (xi+1 ) = yi+1 . Discutere le possibili scelte sulle condizioni aggiuntive da assegnare in modo da fissare univocamente la spline trigonometrica. Realizzare una funzione Matlab chiamata [a,b,c]=Strigonometrica(x,y,...) che calcola i vettori a, b e c che definiscono la spline trigonometrica in base alle scelte effettuate in precedenza. 4) Utilizzare la funzione realizzata in precedenza per costruire in Matlab la spline trigonometrica relativa a f (x) = exp(−x) sin(x), 0 ≤ x ≤ 2π. Si assuma nota la funzione Indice per la determinazione del sottointervallo ma non quella per la valutazione della spline. 5) Verificare che il seguente sistema lineare Ax = b, con 1 1 A = 2 −1 , 1 2 1 b = 0, 1 non ammette soluzione e determinarne una soluzione nel senso dei minimi quadrati. Calcolare inoltre la norma 2 del residuo. 6) Calcolare i primi 5 termini della successione fornita dal metodo di bisezione e i primi due termini di quella fornita dal metodo di Newton per calcolare una soluzione del problema 2 sin(x) − x2 = 0, sull’intervallo [π/4, π/2] (Per il metodo di Newton si assuma x0 = π/4). 7) Si consideri la formula di quadratura di Radau Z I= a b · µ ¶ ¸ (b − a) 2a + b f (x) dx ≈ 3f + f (b) . 4 3 Realizzare una funzione chiamata come quadI=Radau(fname,a,b) che restituisce il valore approssimato dell’integrale I tramite la precedente formula. Si suppone che fname sia una stringa che contiene il nome della funzione integranda. 8) Utilizzare la precedente formula di quadratura per creare una funzione di quadratura composta chiamata tramite quadI=CompQRadau(fname,a,b,n) per il calcolo di I utilizzando n punti in [a, b]. 9) Si consideri la formula di quadratura di Newton-Cotes di tipo aperto Z b f (x) dx ≈ I= a · µ ¶ µ ¶¸ (b − a) 3a + b a + 3b f +f . 2 4 4 Tale formula ha grado di precisione 3 e rappresenta una estensione della formula midpoint. Realizzare una funzione chiamata come quadI=QNCa3(fname,a,b) che restituisce il valore approssimato dell’integrale I tramite la precedente formula. Si suppone che fname sia una stringa che contiene il nome della funzione integranda. 10) Utilizzando il metodo di Monte Carlo scrivere una funzione che consenta il calcolo dell’area della regione interna alla circonferenza di equazione x2 + y 2 = R2 con x, y ≥ 0. Tale funzione deve essere chiamata come area=MCquarti(R,n,npunti) dove npunti uniforme su [−R, R]. é il numero di punti scelti casualmente in modo