Università di Roma “La Sapienza ”” Facoltà di Ingegneria FISICA

Università di Roma “La Sapienza”
Facoltà di Ingegneria
FISICA
A.A. 2003-2004
Ingegneria Gestionale
1° appello del 24 Giugno 2004
PROBLEMI
1. I tratti in curva di un autodromo sono stati opportunamente sopraelevati di un angolo θ=15°, in
modo da consentire alle auto di affrontare la curva a velocità elevate. Sapendo che il raggio di
curvatura in corrispondenza dei tratti sopraelevati è R=200m, determinare la massima velocità
che l’auto può sostenere senza sbandare. Si assuma µs=0.3 il coefficiente di attrito statico fra
piano stradale e pneumatici.
2. Un proiettile di massa m=10g riceve dopo lo scoppio un impulso pari a
I=5Ns. Sulla sua traiettoria è posto un piattello di massa M=5kg in quiete
collegato ad una molla di costante elastica k=200N/m. Il proiettile urta il
piattello. Assumendo che l’urto sia perfettamente anelastico si determinino
l’ampiezza delle oscillazioni del sistema e l’energia persa durante l’urto.
3 Determinate il campo elettrico Eo(r) ed il potenziale Vo(r)
generato dal cilindro cavo infinitamente lungo riportato in
figura. Si assuma che la carica sia distribuita con densità ρ
uniforme solo nella regione di spazio compresa tra il cilindro
interno di raggio R e quello esterno di raggio 2R.
4 Una spira a forma di triangolo rettangolo isoscele di cateto L giace
ad una distanza minima 2L da un filo rettilineo indefinito percorso
dalla corrente sinusoidale i(t)=imax cos(ωt). Nota la resistenza
elettrica R della spira, calcolare l’intensità della corrente massima
indotta. Si trascuri l’autoinduzione presente nella spira [Dati: L = 10
cm, imax=5mA, ω=314rad/s, R=2Ω]
M
k
m
v
R
2R
ρ
y
i(t)
L
x
2L
L
QUESITI TEORICI
1. Illustrare le relazioni sussistenti tra le componenti tangenziale e normale dei vettori velocità
e accelerazione nel moto di un punto su traiettoria piana.
2. Derivare la seconda equazione cardinale per i sistemi di punti materiali. Discutere anche
l’applicazione di questa equazione per descrivere il moto di oggetti in rotazione intorno ad
un asse.
3. Derivare l’espressione della densità di energia elettrostatica. Fornire l’esempio.
4. Giustificare la definizione dell’ampere.
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Ingegneria Gestionale
1° appello del 24 Giugno 2004
PROBLEMA IN AGGIUNTA
T
5
Supponendo che il circuito elettrico in figura sia lasciato in
questa configurazione per un tempo sufficientemente lungo tale
da far ritenere completato il processo di carica dei condensatori,
determinare la carica presente sui condensatori. Determinare
inoltre il tempo di scarica dei condensatori quando l’interruttore
T viene aperto in t=0 [f=5V, R=1kΩ, C1=10µF, C2=2µF]
R
f
+
C1
C2
QUESITO TEORICO IN AGGIUNTA
5. Determinare il rapporto fra la forza magnetica e la forza elettrica che si esercita fra 2 cariche
omonime qA, qB che si trovano a distanza R e che viaggiano parallelamente alla velocità
comune v.
2R
R
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Ingegneria Gestionale
1° appello del 24 Giugno 2004
1. Nel sistema non inerziale solidale alla macchina, nel tratto sopraelevato, sono presenti 4 forze:
v
a) la forza peso P=mg diretta lungo la verticale
b) la reazione normale Rn lungo la normale n.
c) la forza centrifuga Fc=mv2/R lungo la radiale
C R
d) la forza di attrito statico As lungo l’asse tangenziale t.
r
r r
r
Le 4 forze si equilibrano P + Fc + Rn + As = 0 . Proiettando lungo n,t
Rn
n
lungo n si ottiene Rn = P cosθ + Fc sinθ
lungo t si ottiene As = Fc cosθ − Psinθ
t
R
As
C
FC
θ
P
l’attrito richiesto deve essere non superiore all’attrito massimo disponibile
As ≤ Amax = µ s Rn da cui Fc cosθ − P sin θ ≤ µ s (Fc sin θ + P cosθ )
Fc ≤ P
µ s + tgθ
1 − µ s tgθ
la velocità in curva deve quindi essere v ≤ v max = gR
µ s + tgθ
= 34.8 m/s
1 − µ s tgθ
2. L’impulso fornito allo scoppio fornisce la velocità iniziale del proiettile
v = I m =500 m/s
Durante l’urto perfettamente elastico si conserva la quantità di moto
⎛ m ⎞
mv = (M + m ) ⋅ Vc da cui Vc = ⎜
⎟v = 0.998m / s .
⎝m+ M ⎠
L’energia dissipata durante l’urto si ottiene per differenza fra l’energia
meccanica prima dell’urto (figura a) e l’energia meccanica appena dopo l’urto
(figura b).
1
1
1 ⎛ mM ⎞ 2
I 2M
E d = E mA − E mB = mv 2 − (M + m )Vc2 = ⎜
= 1.248kJ
⎟v =
2
2
2⎝m+ M ⎠
2m(m + M )
Dopo l’urto il sistema prende ad oscillare. Avendo trascurato tutti gli attriti
l’energia meccanica appena dopo l’urto (figura b) si conserva quando la molla
raggiunge la massima compressione (figura c).
1
1
E mB = E mC ⇔ (M + m )V c2 = kA 2
2
2
da cui si ricava l’ampiezza A = Vc
(M + m ) k =
I
k (M + m )
= 15.8 cm
(a)
M
k
v
M+m
Vc
M+m
A
m
(b)
(c)
3. Il campo elettrico Eo(r) viene calcolato applicando la legge di Gauss ad
alla superficie cilindrica Σ di raggio r e di altezza L. Il flusso uscente dalla
r
superficie laterale è Φ Σ = ∫ E o ⋅ nˆdS = 2πrLE o (r ) =Qint/εo
Σ
dove Qint assume le diverse espressioni
⎧r < R
Qint = 0
⎪⎪
2
2
⎨ R < r < 2 R Qint = ∫ ρdV = ρπ r − R L
⎪r > 2 R
Qint = ∫ ρdV = ρπ 4 R 2 − R 2 L
⎪⎩
Eo = 0
⎧r < R
⎪
da cui si desume Eo(r) ⎨ R < r < 2 R E o = ρ (r − R 2 r ) 2ε o
⎪r > 2 R
E o = 3ρR 2 2ε o r
⎩
(
(
)
)
2R
r
R
δ
εr
Σ
Assumendo nullo il potenziale sulla superficie cilindrica esterna (r=2R) si ottiene
⎧
ρR 2
(
)
(
)
[3 − 2 ln(2)]
=
=
V
r
V
R
⎪
o
o
4
ε
o
⎪r < R
2R
⎪
ρ ⎡ 4R 2 − r 2
⎛ r ⎞⎤
+ R 2 ln⎜
⎟⎥
⎨ R < r < 2 R Vo = ∫ E o dr =
⎢
2ε o ⎣
2
⎝ 2 R ⎠⎦
r
⎪r > 2 R
2R
⎪
3ρR 2 ⎛ r ⎞
=
=
−
V
E
dr
ln⎜
⎟
⎪
o
o
∫
2
ε
⎝ 2R ⎠
o
r
⎩
y
4.Il campo magnetico non uniforme generato dal filo rettilineo vale, per
µ i(t )
la legge di Biot e Savart, Bo ( x, t ) = o
con direzione e verso indicati
Bo
2πx
i(t) L
in figura. Dopo aver scelto una opportuna orientazione per la spira
triangolare in modo che la normale alla spira nˆ abbia la stessa
x
r
2L
L
direzione e verso di Bo , procediamo al calcolo del flusso concatenato
con la spira
µ o i (t ) 3L dx y ( x )
µ o i (t ) 3L 3L − x
µ i (t ) ⎡
⎤ µ i (t )L
⎛ 3L ⎞
[3 ln(3 2) − 1]
3L ln⎜ ⎟ − (3L − 2 L )⎥ = o
dx = o
dy =
Φ c = ∫ Bo dxdy =
⎢
∫
∫
∫
2π
2π 2 L x o
2π 2 L x
2π ⎣
⎝ 2L ⎠
⎦
Dalla legge di Faraday-Neuman-Lenz si calcola la forza elettromotrice indotta nella spira
µ L
µ Li ω
dΦ c
d
= − o (3 ln (3 2 ) − 1) i (t ) = o max (3 ln (3 2 ) − 1) sin (ωt ) .
fi = −
2π
dt
2π
dt
Infine l’intensità di corrente indotta i2 (t ) = fi R .
Il valore massimo è
i 2 , max
µ o Li max ω
4π 10 −710 −1 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 ⋅ 314
(
(
)
)
=
3 ln 3 2 − 1 =
0.216 = 3.39nA.
2πR
2π ⋅ 2
PROBLEMA IN AGGIUNTA
C1 ⋅ C 2
= 1.667µF.
C1 + C 2
Le due resistenze in serie sono equivalenti alla resistenza equivalente Req=2R+R=3R=3kΩ
I condensatori in serie sono equivalenti al condensatore di capacità C eq =
Sul condensatore a regime non scorre corrente. Il circuito è quindi costituito da una sola maglia e la
sua corrente I = f 4 R . La tensione ai capi del condensatore coincide con quella ai capi di Req
Vc=VA-VB=I(3R)=3f/4=3.75 V (figura a)
3 fC1C 2
= 6.25µC
4(C1 + C 2 )
Quando il tasto viene aperto (figura b) ed il circuito RC si scarica con la costante di tempo
τ = 3RC eq = 5ms
La carica Q ai capi di ciascun conduttore è quindi Q = C eqVc =
R
f
+
(b)
(a)
A
A
Ceq
I
B
3R
Ceq
I
B
3R