Argomento 0 Numeri Complessi

Argomento 0
Numeri Complessi
Una delle motivazioni per il passaggio da un insieme di numeri ad un altro più ricco (di elementi e,
in parte, di proprietà) è il desiderio di poter risolvere equazioni che non hanno soluzioni nell’insieme
più ristretto.
Per esempio l’equazione n + x = m, dove n, m appartengono all’insieme Z dei numeri interi relativi,
ha sempre, nel medesimo insieme, una soluzione. Invece l’equazione n · x = m ha soluzione, in Z,
solo se m è un multiplo di n:
3 · x = 6 ha soluzione x = 2,
mentre 5 · x = 14 non ha una soluzione appartenente a Z.
Per ovviare a questo inconveniente si introducono i numeri frazionari, aggiungendo agli interi i
simboli m
ed estendendo a tali simboli le operazioni già presenti fra gli interi, ottenendo l’insieme
n
Q dei numeri razionali (identificando le frazioni che, ridotte ai minimi termini, coincidono).
Se in un certo contesto si deve introdurre la lunghezza della diagonale del quadrato di lato 1, per
il teorema di Pitagora bisognerà risolvere l’equazione x2 = 2, ma si può dimostrare che essa non ha
soluzione fra i numeri razionali.
√
Si può allora aggiungere il simbolo 2 per indicare tale lunghezza e manipolarlo insieme agli altri
numeri usando le solite proprietà delle operazioni, avendo però l’avvertenza
di lasciare indicata la
√
somma (o il prodotto) di √
un numero razionale per il nuovo numero 2.
Infatti, per esempio, 3 + 2 non può dare un numero razionale q, altrimenti, applicando le solite
regole dell’algebra, avremmo:
√
√
√
da cui
2√= q − 3 e 2 sarebbe razionale.
3+ 2=q
Analogamente
per il prodotto; per esempio 5 · 2 va lasciato indicato (e da adesso tralasceremo il
√
punto: 5 2).
√
Nascono cosı̀ i numeri del tipo q + r 2, con q e r razionali, che si manipolano con le solite regole
dell’algebra,
√ √
aggiungendo la nuova regola 2 · 2 = 2;
nasce cosı̀ il calcolo dei radicali, croce e delizia degli studenti delle scuole superiori. Per esempio:
√
√
√
(3 + 5 2) + (2 − 3 2) = 5 + 2 2
√
√
√
√
√
(3 + 5 2) · (2 − 3 2) = 6 − 9 2 + 10 2 − 30 = −24 + 2
√
Questi esempi mostrano che la somma e il prodotto di numeri del tipo q + r 2 sono ancora dello
stesso tipo. Questo è vero anche per il quoziente, (procedimento di razionalizzazione):
√
√
√
√
3+5 2
(3 + 5 2)(2 + 3 2)
36 + 19 2
18 19 √
√ =
√
√ =
=− −
2
4 − 18
7
14
2−3 2
(2 − 3 2)(2 + 3 2)
√
Si estende poi il discorso ai radicali qualsiasi (non solo 2) ma anche questo insieme numerico si
può ulteriormente estendere per comprendere numeri quali π che non sono esprimibili per radicali.
Si ottengono cosı̀ i numeri reali.
I numeri complessi si possono introdurre in modo analogo ai radicali: si osserva che l’equazione
x2 = −1 non ha soluzioni reali e si aggiunge allora ai numeri reali il simbolo i con la
regola i2 = −1 e si perviene ai numeri del tipo a + ib con a, b reali, ai quali si estendono le
solite operazioni con le solite regole alle quali va aggiunta quella appena ricordata.
Per esempio:
(2 + i) + (−1 + 3i) = 1 + 4i
(2 + i) · (−1 + 3i) = −2 + 3i2 − i + 6i = −2 − 3 + 5i = −5 + 5i
(2 + i)(−1 − 3i)
1 − 7i
1
7
2+i
=
=
=
− i
−1 + 3i
(−1 + 3i)(−1 − 3i)
1+9
10 10
1
Fatta questa introduzione qualitativa, per salvaguardare le esigenze di rigore e di esattezza proprie
della matematica si suole dare la definizione formale dei numeri complessi che si trova su tutti i libri
(vedi per esempio Pagani-Salsa). Limitiamoci a introdurre un po’ di terminologia:
Di solito indicheremo i numeri complessi con le ultime lettere dell’alfabeto: w, z . . .
Dato il numero complesso z = a + ib, i numeri reali a e b si dicono rispettivamente parte reale e
parte immaginaria di z e si scrive: a = Re(z), b = Im(z).
Il numero complesso a − ib dicesi coniugato del numero z = a + ib, e si scrive z̄ = a − ib.
È facile verificare che:
z + z = a + ib + a − ib = 2a = 2Re(z)
z − z = a + ib − a + ib = 2ib = 2iIm(z)
I numeri complessi della forma a + 0i si indicano semplicemente con a, e coincidono con i vecchi
numeri reali; cosı̀ 1 + 0i = 1 conserva la proprietà del solito 1 di essere l’elemento neutro rispetto al
prodotto; 0 + 0i = 0 è l’elemento neutro rispetto alla somma.
L’inverso (a + ib)−1 esiste per ogni numero diverso da 0 (cioè che non abbia entrambe a e b nulli) e
1
si calcola come a+ib
come illustrato alla fine della pagina precedente.
√
Ricordando che per un numero reale |a| = a2 , si definisce il modulo di un numero complesso
z = a + ib come segue
√
|z| = |a + ib| = a2 + b2
È facile verificare che:
z · z̄ = (a + ib) · (a − ib) = a2 + b2 = |z|2
Tutti questi discorsi sembrano puramente algebrici; essi hanno invece una interpretazione geometrica
importante che aiuta a capire e a ricordare.
È noto che numeri reali si possono porre in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta
orientata sulla quale sia stata fissata una unità di misura.
Analogamente, dato il piano cartesiano, faremo corrispondere al numero complesso z = a + ib il
punto di coordinate (a, b) e viceversa.
Si osserva subito che i numeri del tipo a + 0i, cioè i vecchi reali, sono rappresentati sull’asse orizzontale: il fatto che esso sia ”immerso” nel piano rende bene l’idea di come i numeri reali siano
”immersi” nei complessi.
Nella corrispondenza fra il numero complesso z = a + ib e il punto di coordinate (a, b) del piano:
a = Re(z) corrisponde all’ascissa di (a, b),
b = Im(z) corrisponde all’ordinata di (a, b),
z = a − ib, corrisponde al simmetrico (a, −b) di (a, b) rispetto all’asse orizzontale,
−z = −a − ib corrisponde al simmetrico (−a, −b) di (a, b) rispetto all’origine,
−z = √
−a + ib, corrisponde al simmetrico (−a, b) di (a, b) rispetto all’asse verticale,
|z| = a2 + b2 corrisponde alla distanza di (a, b) dall’origine, per il teorema di Pitagora.
È facile vedere che la somma di due numeri complessi z1 = a + ib e z2 = c + id, cioè il numero
(a + c) + i(b + d) corrisponde al punto che si ottiene con la ”regola del parallelogramma” dai punti
Z1 = (a, b) e Z2 = (c, d), cioè al quarto vertice del paralleogramma che ha gli altri tre vertici
nell’origine e nei punti Z1 e Z2 .
6
6
..............................................................................¦
... z = a + ib
−z ¦..........................................................................................¦..........ib
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|z|
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.... a
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−z ¦
¦z
2
¦ z1 + z2
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z2 ¦
¦ z1
-
Non è altrettanto facile dare l’interpretazione geometrica del prodotto, almeno fintanto che non
abbiamo introdotto la rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi.
A tal fine consideriamo un riferimento cartesiano il cui semiasse positivo delle ascisse coincida con
un lato di un angolo θ. Sia P il punto di intersezione dell’altro lato con la circonferenza di centro
nell’origine e raggio unitario; definiamo:
cos θ = ascissa di P (c in figura)
sin θ = ordinata di P (s in figura)
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Q
P
s
O
θ
c H 1 K
ρ
-
Per il teorema di Pitagora vale la relazione fondamentale:
cos2 θ + sin2 θ = 1
∀θ
(Per una esposizione un po’ più sistematica delle nozioni fondamentali di Trigonometria vedere file
Teoria2A sul sito Mateassistita)
Poste queste definizioni, se un punto Q giace sul lato dell’angolo al quale appartiene P , a una
distanza ρ dall’origine, allora le coordinate di Q sono: (ρ cos θ, ρ sin θ); questo per la similitudine dei
triangoli rettangoli OHP e OKQ.
Se consideriamo il numero complesso z = a + ib corrispondente al punto Q, allora avremo:
a = ρ cos θ,
e viceversa:
√
b = ρ sin θ
a
b
sin θ = √
a2 + b2
a2 + b2
Avremo quindi la cosidetta rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi:
ρ = |z| =
a2 + b2
cos θ = √
z = ρ(cos θ + i sin θ)
dove ρ è un numero non negativo che rappresenta il modulo del numero z (cioè la sua distanza
dall’origine), mentre θ, detto ”anomalia” o ”argomento” di z, è l’angolo spazzato dal semiasse
positivo delle ascisse per andare a sovrapporsi al raggio che va dall’origine al punto corrispondente
a z (considerando positivi gli angoli percorsi in senso antiorario).
Il numero zero costituisce un caso particolare: ha modulo zero e argomento qualsiasi.
L’argomento di z non è univocamente determinato: aumentandolo o diminuendolo di un numero
intero di angoli giri il seno e il coseno non variano, e il numero z individuato non cambia.
Prima di procedere osserviamo che nelle pagine precedenti abbiamo parlato di come estendere le operazioni algebriche dai reali ai complessi, ma non di come estendere le nozioni relative all’ordinamento.
3
In effetti fra i complessi non è possibile introdurre una nozione di positività compatibile con le
operazioni algebriche. I numeri reali si dividono in positivi e negativi, rappresentati a destra o
sinistra dello zero sulla retta. Ma nel piano, dove sono rappresenati i complessi, ci si può allontanare
dall’origine in infinite direzioni diverse, corrispondenti agli infiniti valori possibili dell’argomento θ.
In un certo senso il concetto di argomento generalizza quello di segno.
Possiamo ora capire il significato geometrico del prodotto fra due numeri complessi
z = a + ib = ρ(cos ϕ + i sin ϕ)
e
z 0 = a0 = +ib0 = ρ0 (cos ϕ0 + i sin ϕ0 )
z·z 0 = ρ(cos ϕ+i sin ϕ)·ρ0 (cos ϕ0 +i sin ϕ0 ) = ρρ0 [cos ϕ cos ϕ0 −sin ϕ sin ϕ0 +i(sin ϕ cos ϕ0 +cos ϕ sin ϕ0 )] =
= ρρ0 [cos(ϕ + ϕ0 ) + i sin(ϕ + ϕ0 )]
Il risultato, ottenuto applicando le formule di addizione del seno e del coseno, mostra che il modulo
del prodotto è dato dal prodotto dei moduli: ρρ0 . Invece l’argomento è dato dalla somma degli
argomenti: ϕ + ϕ0 .
6
150◦
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z · z0 ¦
135◦
z¦0
O
In figura:
z¦
¦
1 2 3
6
arg(z) = 15◦ =
π
12
·
¸
h
π i
3
3
π
0
z = 3 cos( π) + i sin( π)
z = 2 cos( ) + i sin( )
12
12
4
4
·
¸
π
3
π
3
0
z · z = 6 cos( + π) + i sin( + π)
12 4
12 4
Con ragionamenti analoghi si dimostra che il quoziente di due numeri complessi ha come modulo il
quoziente dei moduli, e come argomento la differenza degli argomenti:
z = a + ib = ρ(cos ϕ + i sin ϕ)
e
z 0 = a0 = +ib0 = ρ0 (cos ϕ0 + i sin ϕ0 )
ρ
z
= 0 [cos(ϕ − ϕ0 ) + i sin(ϕ − ϕ0 )]
0
z
ρ
Applicando ripetutamente la regola del prodotto si ottiene che la potenza n−esima di un numero
complesso ha come modulo la potenza n−esima del modulo e come argomento quello del numero
moltiplicato per n:
z n = (a + ib)n = ρn (cos nθ + i sin nθ)
z = a + ib = ρ(cos θ + i sin θ)
Queste considerazioni ci permettono di affrontare il problema dell’estrazione della radice n−esime di
un numero complesso. Tale problema ha, nei numeri complessi, una soluzione molto più simmetrica
ed elegante di quanto non abbia nei numeri reali.
4
Trovare le radici n−esime di un numero complesso w = r(cos ϕ + i sin ϕ) significa trovare eventuali
numeri z = ρ(cos θ + i sin θ) tali che z n = w. In forma trigonometrica:
ρn (cos nθ + i sin nθ) = r(cos ϕ + i sin ϕ)
In questa equazione r e ϕ sono noti, mentre ρ e θ sono le incognite. Per risolvere l’equazione
applichiamo il seguente principio: due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno moduli
uguali e argomenti uguali a meno di un numero intero qualsiasi k di angoli giri. Ne segue:
√
ρn = r
⇒
ρ= nr
(questa è una radice aritmetica, di un numero reale positivo!)
ϕ
2π
e:
nθ = ϕ + 2kπ
⇒
θ = +k
k∈Z
n
n
A parole: Le radici n−esime di un numero complesso hanno per modulo la radice n−esima del
modulo del numero di partenza; l’argomento può avere diversi valori (che danno luogo a diverse
radici) che si ottengono come segue. Un primo valore è dato dall’argomento del numero di partenza
diviso per n. Gli altri valori si ottengono aggiungendo al primo degli n−esimi di angolo giro. È
chiaro che dopo n passi si torna sul primo valore. Poiché tutte le radici hanno lo stesso modulo,
esse giacciono tutte su uno stesso cerchio di centro nell’origine. Inoltre per come si ottengono i loro
argomenti, esse saranno i vertici di un poligono regolare di n lati: In figura vediamo le radici seste
del numero −1. Tale numero ha argomento π e modulo ovviamente uguale a 1:
−1 = 1(cos π + i sin π) = 1(−1 + i0).
Le radici seste avranno modulo ancora uguale a 1 perché la radice sesta aritmetica di 1 è sempre 1.
L’argomento della prima radice sarà π6 ; gli argomenti delle successive radici si otterranno aggiungendo
via via 2π
= π3 all’argomento della prima:
6
6
¦
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............... ........ ............... ........................
................................................
π
π
¦ z0 = cos( 6 ) + i sin( 6 )
¦
¦
−1
O
-
¦
¦
¦
Si nota che nessuna delle sei radici sta sull’asse reale (quello orizzontale), come c’era da aspettarsi
dal momento che stiamo cercando radici di indice pari (6) di un numero negativo (-1).
Se cercassimo le radici seste di 1, le troveremmo sui vertici dello stesso esagono regolare ma ruotato
in senso orario di π6 in modo che la prima radice z0 vada sull’asse reale nel punto 1 (e la quarta nel
punto -1): ritroveremmo quindi le radici reali seste di 1 più quattro complesse. Infatti l’argomento
del numero reale 1 è zero, e quindi l’argomento della prima radice è 60 = 0.
Abbiamo appena risolto le equazioni z 6 ± 1 = 0, trovando in entrambe i casi sei soluzioni. Questo è
un caso particolare dell’ equazione z n + w = 0 che, come abbiamo appena visto, ha esattamente n
radici distinte (se w 6= 0) nel campo complesso.
Il teorema fondamentale dell’algebra afferma, più in generale, che una generica equazione
polinomiale di grado n:
wn z n + wn−1 z n−1 + · · · + w1 z + w0 = 0 (wk sono i coefficienti, z è
l’incognita) ha sempre, nel campo complesso, n radici, se contate con la loro molteplicità.
5