Le radici n-esime di un numero complesso
Dato un numero complesso z, e dato un numero naturale n>1, si dice
radice n-esima di z ogni soluzione dell’equazione binomia
Xn = z.
In virtù del teorema fondamentale dell’algebra questa equazione ha
esattamente n radici nel campo C dei numeri complessi: la radice 0 di
molteplicità n se z = 0, altrimenti n radici distinte. Sia
z = (cos + i sen )
la forma trigonometrica di z. Allora le radici n-esime di z sono date
dalla formula di De Moivre:
xk = n [cos ( + 2k)/n + i sen ( + 2k)/n], k = 0,1,…,n - 1
Nel piano di Gauss i punti corrispondenti a x0, x1,…, xn-1 sono i vertici
di un poligono regolare a n lati, iscritto nella circonferenza di centro
l’origine e raggio n . Ad esempio, così si raffigurano le radici ottave
di 1:
1
Secondo la teoria di Galois, la costruibilità con riga e compasso di
un poligono regolare a n lati è, in effetti, legata alle proprietà delle
radici n-esime dell’unità.
