Concetti chiave e regole
I numeri complessi
Si chiama unità immaginaria il numero che si indica con il simbolo i e che è caratterizzato dalla relazione i 2 ¼ 1.
Un numero immaginario è il prodotto di un numero reale per l’unità immaginaria.
La somma di un numero reale con un numero immaginario dà luogo ad un numero complesso; un numero complesso
ha quindi la forma a þ ib.
Le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione tra numeri complessi seguono le regole del calcolo algebrico letterale tenendo presente che i 2 ¼ 1.
L’operazione di divisione si esegue applicando la proprietà invariantiva, moltiplicando sia il dividendo che il divisore
per il complesso coniugato del divisore:
ða þ ib Þðc id Þ
ða þ ib Þðc id Þ
a þ ib
¼
¼
ðc þ id Þðc id Þ
c þ id
c2 þ d 2
Il piano di Gauss
Un numero complesso z ¼ a þ ib si può rappresentare graficamente nel piano
di Gauss riportando la parte reale a sull’asse delle ascisse (asse reale) e il coefficiente b della parte immaginaria sull’asse delle ordinate (asse immaginario).
Ad ogni numero complesso z si può quindi associare un punto P di coordinate
ða, b Þ o anche un vettore ~
v di componenti ða, b Þ.
La forma trigonometrica e le operazioni
Ad ogni numero complesso z ¼ a þ ib si può associare una forma trigonometrica:
z ¼ ðcos # þ i sin #Þ
con
0 # 2
dove rappresenta il modulo del numero complesso e # la sua anomalia.
Fra i numeri a e b della forma algebrica e quelli e # della forma trigonometrica sussistono le seguenti relazioni:
a ¼ cos #
l a e b in funzione di e #:
b ¼ sin #
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a
b
b
l e # in funzione di a e b:
sin # ¼
tan # ¼
cos # ¼
¼ a2 þ b 2
a
Le operazioni di moltiplicazione, divisione e potenza si possono eseguire in modo semplice mediante la forma trigonometrica; dati due numeri complessi z1 ¼ 1 ðcos #1 þ i sin #1 Þ e z2 ¼ 2 ðcos #2 þ i sin #2 Þ
si procede in questo modo:
l
prodotto: si moltiplicano i moduli e si sommano le anomalie
z1 z2 ¼ 1 2 ½cos ð#1 þ #2 Þ þ i sin ð#1 þ #2 Þ
l
quoziente: si dividono i moduli e si sottraggono le anomalie
z1
1
½cos ð#1 #2 Þ þ i sin ð#1 #2 Þ
¼
z2
2
l
potenza n - esima: si eleva a potenza n il modulo e si moltiplica per n l’anomalia #
z n ¼ n ðcos n# þ i sin n#Þ (formula di De Moivre)
Le radici n - esime di un numero complesso
Ogni numero complesso z ¼ ð,#Þ ha n radici n - esime che si esprimono con la formula
# 2k
# 2k
pffiffiffi
þ
þ
þ i sin
k ¼ 0,1,::::,n 1
!k ¼ n cos
n
n
n
n
Attraverso il calcolo delle radici n - esime di un numero complesso si possono trovare le n soluzioni di un’equazione
algebrica di grado n.
I numeri complessi
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
La risoluzione delle equazioni in C
pffiffiffiffiffiffiffi
L’unità immaginaria consente di calcolare le radici quadrate dei numeri negativi: ad esempio
4 ¼ 2i
Nell’insieme dei numeri complessi un’equazione di grado n ammette sempre n soluzioni. In particolare, un’equazione di secondo grado ammette sempre 2 soluzioni che sono:
l reali e distinte se > 0
l reali e coincidenti se ¼ 0
l complesse e coniugate se < 0:
La forma esponenziale
Posto e i# ¼ cos # þ i sin #, un numero complesso ha anche una forma esponenziale: z ¼ e i#
Per eseguire prodotti, quozienti e potenze di numeri complessi in forma esponenziale, si applicano le proprietà delle
potenze; dati z1 ¼ 1 e i#1 e z2 ¼ 2 e i#2 si ha che:
z1 z2 ¼ 1 2 e ið#1 þ#2 Þ
l
prodotto
l
quoziente
l
potenza n - esima
z1
1
¼
e ið#1 #2 Þ
z2
2
z n ¼ n e i n #
Dalla forma esponenziale di un numero complesso, si ricavano le seguenti formule di Eulero:
cos # ¼
e i# þ e i#
2
sin # ¼
e i# e i#
2i
I numeri complessi
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
