Risultante, discriminante e interi algebrici

ALGEBRA 3: RISULTANTE E DISCRIMINANTE
La teoria dell’eliminazione è un grande classico dell’algebra che si impara sempre troppo tardi. Qui
proviamo ad impararne le idee principali attraverso degli esercizi. Nel corso di Algebra 3 non abbiamo
strettamente bisogno di queste cose. Le conseguenze che ci interessano di più sono:
• il fatto che gli interi algebrici sono chiusi rispetto a somma e prodotto;
• il Teorema di Cayley-Hamilton.
Più avanti nel semestre, dimostreremo la prima affermazione in un modo indipendente da risultante e
discriminante. Se prendete la seconda affermazione per buona – che d’altro canto si dimostra facilmente
con un po’ di algebra lineare facile – potete tranquillamente ignorare questi esercizi. Ad ogni modo,
culturalmente sono utili, e imparare che l’algebra lineare permette di risolvere sistemi di equazioni non
solo lineari, ma anche polinomiali, è sempre una grande scoperta!
(1) Siano a, b ∈ K[x], con K campo, polinomi di grado m, n rispettivamente. Mostrate che a e b
hanno un divisore comune non banale se e solo se l’equazione af + bg = 0 ammette almeno una
soluzione (f, g) ∈ K[x]2 con f (risp. g) di grado minore di n (risp. minore di m).
(2) Sia K[x]<n l’insieme dei polinomi di grado minore di n a coefficienti in un campo K. Mostrare che
K[x]<n è uno spazio vettoriale su K di dimensione n, e che f (x) 7→ f (x + α) è un’endomorfismo
lineare di determinante 1 per ogni scelta di α ∈ K — scrivetene la matrice in un’opportuna base.
(3) Se scriviamo a(x) = am xm + · · · + a1 x + a0 , b(x) = bn xn + · · · + b1 + b0 con am , bn entrambi non
nulli, allora a, b ∈ K[x] hanno un divisore comune non banale se e solo se il determinante della
matrice (m + n) × (m + n)


am am−1
...
...
a0
0
... 0
0
am
am−1 . . .
a1
a0
... 0 



.. 
..
..
..
..
..
0
.
.
.
.
.
.
0



0
.
.
.
.
.
.
a
a
.
.
.
.
.
.
a
m
m−1
0


 bn bn−1
.
.
.
b
0
.
.
.
.
.
.
0
0



0
b
b
.
.
.
b
0
.
.
.
0
n
n−1
0



0
0
b
b
.
.
.
b
.
.
.
0
n
n−1
0




.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
.
...
0
.
0
...
...
0
bn
bn−1 . . . b0
è uguale a 0.
La matrice appena scritta è detta matrice di Sylvester dei polinomi a, b, ed il suo determinante
R(a, b) è detto risultante dei polinomi a, b. Questa definizione ha senso anche quando i due polinomi hanno i loro coefficienti in un anello commutativo con unità A, ed in tal caso R(a, b) ∈ A. In
quello che segue, m è il grado di a(x), ed n è il grado di b(x).
Mostrare che R(c · a(x), d · b(x)) = cn dm R(a(x), b(x)).
Mostrare che R(a(x), b(x)) = (−1)mn R(b(x), a(x)).
Mostrare che R(xa(x), b(x)) = b(0)R(a(x), b(x)).
Mostrare che R(a(x + α), b(x + α)) = R(a(x), b(x)) — qui a(x), b(x) ∈ A[x], α ∈ A, e A è un anello
commutativo con 1, ma se volete fate il caso in cui A è un campo.
(8) Mostrare che R((x − α)a(x), b(x)) = b(α)R(a(x),Q
b(x)).
n
(9) Mostrare che R((x − α1 ) · · · · · (x − αn ), b(x)) = i=1 b(αi ).
(4)
(5)
(6)
(7)
2
ALGEBRA 3
(10) Sia K un campo, a(x), b(x) ∈ K[x], F un campo di spezzamento di a(x)b(x) su K, αi , βj ∈ F
elementi tali che a(x) = A(x − α1 ) · · · · · (x − αm ), b(x) = B(x − β1 ) · · · · · (x − βn ). Mostrare che
Y
R(a(x), b(x)) = An B m (αi − βj ).
i,j
(11) Utilizzando il punto (9), e le stesse ipotesi del punto (10), mostrare che
Y
R(a(x), a0 (x)) = A2m−1 (αj − αi ).
i6=j
L’espressione
∆(a(x)) = A2m−2
Y
(αj − αi )2
i<j
è detta discriminante del polinomio a(x) e si ha
∆(a(x)) = (−1)
m(m−1)
2
A−1 · R(a(x), a0 (x)).
Si noti che ∆(a(x)) è un’espressione polinomiale nei coefficienti di a(x) — la prima colonna
del determinante di Sylvester che calcola R(a(x), a0 (x)) è chiaramente multipla di A — ed è sicuramente un’espressione polinomiale nei coefficienti di a(x).
(12) Calcolare il discriminante dei polinomi ax2 + bx + c e x3 + px + q.
(13) Siano αi , βj le radici dei polinomi a(x), b(x) ∈ K[x] nel campo di spezzamento F del polinomio
a(x)b(x). Mostrare che S(t) = (−1)deg a(x) deg b(x) R(f (t − x), g(x)) ∈ K[t] è un polinomio che
ha per radici αi + βj . Utilizzare questo fatto per mostrare che la somma di elementi algebrici è
algebrica.
(14) Siano αi , βj le radici dei polinomi a(x), b(x) ∈ K[x] nel campo di spezzamento F del polinomio
a(x)b(x). Mostrare che P (t) = R(xdeg a(x) a(t/x), b(x)) ∈ K[t] è un polinomio che ha per radici
αi βj . Utilizzare questo fatto per mostrare che il prodotto di elementi algebrici è algebrico.
Per quanto riguarda gli ultimi due esercizi, si può essere più precisi. Convincetevi che se i polinomi a(x), b(x) sono monici — hanno cioè coefficiente del termine di grado massimo uguale ad 1
— allora S(t), P (t) sono anch’essi monici. Questo fatto permette di risolvere l’esercizio seguente.
(15) Sia D un dominio d’integrità, K il suo campo delle frazioni, F la chiusura algebrica di K. Un
elemento α ∈ F si dice intero algebrico su D se soddisfa un polinomio monico a coefficienti in D.
Mostrare che la somma e il prodotto di interi algebrici sono ancora interi algebrici.
(16) Mostrare che gli unici razionali che siano interi algebrici su Z sono gli interi.
(17) Mostrare che se θ è un multiplo razionale di π tale che cos θ ∈ Q, allora cos θ ∈ {0, ±1/2, ±1}.
[Sugg.: pensate complesso!]
Diamo ora un’applicazione di algebra lineare, mostrando che il polinomio caratteristico pM di
una matrice quadrata M la annulla1. E’ importante osservare che i coefficienti di pM sono espressioni polinomiali nei coefficienti di M ; allo stesso modo, ciascun coefficiente della matrice pM (M )
è un’espressione polinomiale nei coefficienti di M .
(18) Sia M = (mij )i,j=1,...,n una matrice a coefficienti complessi. Mostrare che se M è diagonale, allora
pM (M ) = 0. Concludere che se M è diagonalizzabile, allora pM (M ) = 0.
(19) Sia M = (mij )i,j=1,...,n una matrice a coefficienti complessi, pM (x) il suo polinomio caratteristico.
Mostrare che M è diagonalizzabile non appena ∆(pM (x)) = 0. In particolare, l’applicazione
M 7→ pM (M ) è nulla sul complementare del luogo di zeri di ∆(pM (x)).
(20) Mostrare che un’espressione polinomiale nelle variabili mij , i, j = 1, . . . , n, che si annulla su un
2
aperto denso di Cn è identicamente nulla. Dimostrare il Teorema di Cayley-Hamilton.
1Questo è l’enunciato del Teorema di Cayley-Hamilton.
ALGEBRA 3
3
Concludo con un esempio di risoluzione di un sistema di equazioni polinomiali per mezzo del risultante (che era in origine anche chiamato eliminante, credo). Supponiamo di dover trovare2 le radici
cubiche di 2 + 11i. Se x + yi è una tale radice3, allora
(
x3 − 3xy 2 − 2 = 0
3x2 y − y 3 − 11 = 0
Ci troviamo di fronte ad un sistema di grado 9, ma non ci scomponiamo. Calcoliamo il risultante dei
polinomi x3 − 3xy 2 − 2 e 3x2 y − y 3 − 11, considerandoli come polinomi in x a coefficienti in C[y]. Con un
po’ di conti otteniamo:
R(x3 − 3xy 2 − 2, 3x2 y − y 3 − 11) = −64y 9 − 528y 6 + 1923y 3 − 1331.
Pertanto, i valori complessi di y per i quali i due polinomi hanno un divisore comune non banale (leggi:
una soluzione comune) sono le radici del polinomio −64y 9 −528y 6 +1923y 3 −1331. Con un po’ di fortuna,
si vede che y = 1 è una di tali radici. Sostituendo nel sistema, si ottiene
(
x3 − 3x − 2 = 0
3x2 − 12 = 0
e si ottiene facilmente x = 2. Pertanto 2 + i è una radice cubica di 2 + 11i. Sostituendo le nove radici (tre
soltanto delle quali reali) del polinomio −64y 9 − 528y 6 + 1923y 3 − 1331 nel sistema, si ottengono le sue
nove soluzioni.
D IPARTIMENTO DI M ATEMATICA , U NIVERSITÀ DEGLI STUDI DI R OMA – “L A S APIENZA”
2Se avete mai dovuto risolvere l’equazione z 3 − 15z − 4 = 0, sapete di cosa parlo!
3Qui x e y sono numeri reali, naturalmente.