1. NUMERI COMPLESSI
Esercizio 1.1. Mettere in forma algebrica oppure in forma trigonometrica, e
quando possibile in entrambe le forme, i seguenti numeri complessi:
√
2+i
(1 − i)6
a)
b) (1 − 3i)10
c)
i+ 1
(1 + i)7
10
√
2
1
7
d) √
+
e) (1 + i)5
f ) (1 + i 3)5 (i − 1)
i
3−i
Esercizio 1.2. Risolvere le seguenti equazioni in campo complesso, rappresentando poi le soluzioni sul piano:
a) (z − 2)3 + i = 0
d) iz 2 = z̄
g) z 4 + iz = 0
b) z 2 + (1 + i)z + i = 0
e) z + 2z −1 = 1
h) z 4 = (1 + 2i)8
c) z 3 + z 2 + 8z + 8 = 0
f ) (1 + z)4 = (1 − z)4
i) (z̄)3 = |z|
Esercizio 1.3. Decomporre in campo reale i seguenti polinomi a coefficienti reali
(tra parentesi è suggerita una radice complessa del polinomio)
a) x3 − 3x2 + 4x − 2
d) x4 − 2x2 − 8
Esercizio 1.4.
fratti semplici:
c) x4 − 16
f ) x4 + x3 + 5x2 + 4x + 4
[2i]
Decomporre i seguenti rapporti di polinomi a coefficienti reali in
2x + 1
x3 + x
x−1
d) 3
x + x2
a)
b) x6 + 1
e) (1 − x2 )3 + 1
x
x4 + 1
x+5
e) 3
x −1
b)
1
x4 − 1
2x2 + 3x
f) 3
x + x2 − 2
c)
Esercizio 1.5.
Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false (z
indica una variabile complessa):
a) se |z| = 1 allora z = ±1
b) z è immaginario puro se e solo se z 2 è reale e negativo
c) i27 è reale
d) z 4 + 4 ha i ± 1 come uniche soluzioni non reali
