k - Liceo Galvani

Elementi
di
Calcolo
Combinatorio
di
Paola Giacconi
Premessa
Con la Meccanica Quantistica Il concetto di
probabilità è entrato a fare parte integrante
della FISICA e quindi della nostra vita
La visione deterministica dell'Universo è
svanita per sempre !
Si può solo prevedere la probabilità con la
quale un determinato evento si verificherà
Il Calcolo Combinatorio è propedeutico al
concetto di probabilità
Calcolo Combinatorio
I numeri con il punto esclamativo
●
Definizione di fattoriale di un
numero naturale
N!=N(N-1)(N-2)(N-3)..........1
0!=1
1!=1
Coefficiente Binomiale
2
2
2
(a+b) =a +b +2 a b
3
3
3
2
2
(a+b) =a +b +3 a b+3 a b
…...........................
n
(a+b) =∑k=0
n
n a n−k b k
k
( )
n!
n =
(n−k )! k !
k
( )
Coefficiente Binomiale
Dimostriamo che:
(2) =∑k =0
n = n−1 + n−1
k
k
k −1
n−k
n
n
=
k +1
k k +1
( ) ( ) (
( ) ( )
n = n
( k ) ( n−k )
n
n
)
n
k
( )
Dimostrazione per Induzione
Dimostriamo che vale la seguente relazione,
Formula di Gauss
n
∑k =1
10
∑k =1
n(n+1)
k =
2
10×11
k =
=55
2
dimostrazione
La dimostrazione per induzione consiste nel
verificare che
1) la relazione è valida per n=1,
2) suppore che la relazione sia valida per k che
va da 1 a n numeri
3) dimostrare che allora la relazione è valida
anche per k che va da 1 a (n+1)
quindi
dimostrazione
1) punto
1
∑k =1
1(1+1)
k =
=1
2
2) punto assumiamo che
n
∑k =1
n(n+1)
k =
2
dimostrazione
3) dimostriamo che
(n+1)(n+2)
∑k =1 k =
2
infatti:
n+1
n(n+1)
∑k =1 k = 2 +(n+1)
(n+1)(n+2)
.=
2
n+1
Esercizi
Usando il metodo di induzione dimostra che
n
∑k =1
n(n+1)(2n+1)
k =
6
2
progressione geometrica:
n
∑k =1 q
k −1
n
q −1
=
q−1
Permutazioni Semplici
Permutazioni con Ripetizioni
●
●
●
Quanti sono gli anagrammi, non importa se
abbiano o meno significato, della parola
MATEMATICA o della parola FISICA?
Quanti numeri di 4 cifre posso scrivere usando
le cifre 1 2 3 4 supponendo che essi abbiano
tutte le 4 cifre differenti ? Oppure quanti numeri
di 5 cifre supponendo che contengano 2 volte
1 ? Supponendo che contengano 2 volte 3 ?
In quanti modi si possono disporre 3 persone
su 3 sedie numerate?
Permutazioni Semplici
●
Pk
3 persone su 3 poltrone numerate
1 1 3 3 2 2
2 3 1 2 3 1
3 2 2 1 1 3
Ci sono 3! = 6 possibilità
Permutazioni Semplici
5 amici in pizzeria discutono sulla disposizione dei
posti con cui debbono sedersi attorno al tavolo, alla
fine si accordano: ogni sera cambieranno posto!!
Quante sere sono necessarie per esaurire tutte le
possibilità ?
Permutazioni Semplici: P5 = 5!= 120
Dopo circa 4 mesi hanno esaurito tutte le
possibilità!!
Permutazioni con Ripetizioni
Pk;k
1,..
E se tra i 5 amici ci fossero 2 gemelli monozigoti
assolutamente indistingubili quanto tempo ci
vorrebbe?
Permutazioni con Ripetizioni: P5;2 = 5!/2!=60
Anagrammi della parola FISICA
Permutazioni con ripetizione: 6!/2!=360
Anagrammi della parola MATEMATICA
Permutazioni con ripetizione:
P10;2,2,3 =10!/(2!3!2!)=151200
Definizioni
●
●
Permutazioni Semplici di un insieme finito di n
elementi sono tutti i possibili raggruppamenti che si
possono costruire con gli n elementi considerando
distinti i raggruppamenti formati da elementi
disposti in ordine diverso
Permutazioni con Ripezione di un insieme finito di n
elementi di cui k1, k2,.... uguali sono tutti i possibili
raggruppamenti che si possono costruire con gli n
elementi considerando distinti i raggruppamenti
formati da elementi disposti in ordine diverso diviso il
numero delle permutazioni degli elementi uguali.
Disposizioni Semplici
n>k
1elemento
2elemento
n
n-1
Scelte
possibili
Scelte
possibili
…...
k-1
elemento
Dn,k
K
elemento
n-(k-2) n-(k-1)
Scelte
possibili
Scelte
possibili
Le Disposizioni Semplici indicano il numero di
modi nel quale si possono
raggruppare n oggetti presi k a k rispettando
l'ordine
Disposizioni Semplici
n>k
●
●
●
Dn,k
In quanti modi diversi possono essere disposti
su di una libreria 7 libri presi da un gruppo di
20 libri differenti?
In una corsa partono 10 cavalli, quanti sono i
possibili ordini di arrivo nelle prime tre
postazioni?
In un torneo con 16 squadre quante partite
andata e ritorno si debbono disputare?
Disposizioni Semplici
Dn,k
Sappiamo che le partite di campionato sono 16x15, si giocano
240 partite .
Come si procede per ottenere questo dato?
Consideriamo un torneo a 5 squadre le possibili coppie sono:
(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,3) (2,4) (2,5) (3,1) (3,2) (3,4) (3,5)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4)
Cioè
D5,2= 5x4 = 5 (5-2+1)= 5! / (5 - 2)! =5! / 3!
Dn,k = n(n-1).....(n-k+1) = n! / (n-k)!
Disposizioni Semplici
Dn,k
…...I libri della libreria si possono disporre in
D20,7 = 20(20-1).....(20-7+1) = 20!/ (20-7)!= 20!/13!= 390 700 800
…..nelle corsa dei cavalli I possibili ordini sono
D10,3 = 10x9x8 = 720
Nelle Disposizioni Semplici di n > k elementi
presi k a k è
importante l'ordine
●
Se n=k allora
D =P
n,n
n
Disposizioni con Ripetizione
D'n,k
n e k qualsiasi
1elemento
2elemento
n
n
Scelte
Scelte
possibili possibili
…...
k-1
elemento
K
elemento
n
n
Scelte
Scelte
possibili possibili
Disposizioni con Ripetizione
D'n,k
D ' n , k =n
k
Le D'n,k indica il numero di modi nel quale si
possono raggruppare n oggetti presi k a k
rispettando l'ordine MA ogni elemento può
essere ripetuto nel gruppo k volte
Quante colonne si debbono giocare al totocalcio
13
per essere sicuri di fare 13?
●
D ' 3,13 =3
Combinazioni Semplici
Cn,k
Nelle Composizioni Semplici di n
elementi
presi k a k
NON conta l'ordine
Cn ,k
Quindi
n!
n
=
=
Cn,k
=
D
n,k
/
K!
n−k ! k !
k
 
Combinazioni Semplici
●
●
●
Cn,k
In quanti modi possibili si possono estrarre
5 numeri al Lotto? C90,5
In una classe di 22 persone si debbono
eleggere 2 rappresentanti in quanti modi
diversi si può fare la scelta? C22,2
Nel gioco del poker ogni giocatore riceve 5
carte da un mazzo di 32. In quanti modi
diversi si possono ricevere le carte? C32,5
Combinazion con Ripetizioni
C'n,k
n e k qualsiasi
Le combinazioni di n oggetti di classe k
sono i
raggruppamenti che si possono formare con gli n
elementi di un insieme
Ogni gruppo ne contiene k,
k gli elementi nel gruppo
possono essere ripetuti
Due gruppi differiscono tra loro per almeno un
elemento nk −1!
nk
−1
C ' n ,k =

k

=
n−k ! k !
Combinazion con Ripetizioni
C'n,k
●
●
Quale è il numero massimo di termini che può
comparire in un polinomio di 3^ grado
omogeneo nelle variabili x y z t ? C'4,3
In quanti modi diversi si possono distribuire 12
penne a sfera in 5 cassetti differenti? C'5,12
E se in ogni comparto deve essere presente
almeno una penna?