Permutazioni - P(n) - Liceo "Banzi Bazoli"

CALCOLO COMBINATORIO
Il calcolo combinatorio ha come oggetto il calcolo dei modi con i quali possono
essere raggruppati o ordinati, secondo date regole, gli elementi di un insieme finito.
Raggruppamenti
(PRINCIPIO FONDAMENTALE DEL CALCOLO COMBINATORIO)
Quanti gruppi si possono formare assegnando il primo posto ad un elemento di A(n), il
secondo posto a un elemento di B(m), il terzo posto a un elemento di C(k), etc....
n  m  k  ...
Esempio: Una password è formata da 4 caratteri presi da
A(0, ........, 9)
B(b,c,d)
C(a,e,i,o,u)
D(x,y,z)
il numero di password diverse che si possono creare sono 10  3  5  3  450
Esempio: Una sigla è formata da 2 caratteri presi da A(a,b,c) e B(1,2). Posso avere 6 sigle
Esercizi: α22(3,4)
Disposizioni semplici - D(n,k)
Definizione:
Dati n elementi distinti e un numero k  n, si dicono disposizioni di questi n elementi, presi a k
a k (o di classe k), D(n,k), tutti i gruppi che si possono formare con gli elementi dati, in modo
che:


ogni gruppo contenga k elementi distinti
due gruppi qualunque differiscano fra loro per qualche elemento oppure per l'ordine in cui
gli elementi sono disposti
Esempi.
Le disposizioni semplici di 3 elementi (abc) presi a 2 a 2 sono:
ab ac bc ba ca cb
Le disposizioni semplici di 4 elementi (P,Q,R,S) presi a 3 a 3 sono:
PQR PQS PRQ PRS PSQ PSR QPR QPS
QRP QRS QSP QSR RPQ RPS RQP RQS
RSP RSQ SPQ SPR SQP SQR SRP SRQ
(vedi tecnica di costruzione pag 3α)
Calcolo delle disposizioni semplici.
D(n,k) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) =
n!
 n  k !
(definisco: n! = n(n-1)(n-2)(n-3) .... 1 poi 0!=1 e inoltre 1!=1)
Esercizio 1: Ad una corsa di cavalli ci sono 15 cavalli in gara. Quante classifiche possibili dei primi
tre ci possono essere? (2730)
Esercizi: α23(14,17,18,19,22,24,eq34,eq36)
Disposizioni con ripetizione - D'(n,k)
Definizione.
Le disposizioni con ripetizione di n elementi distinti di classe k (con k><=n ) sono tutti i gruppi
di k elementi (anche ripetuti) scelti tra gli n, che differiscono per almeno un elemento o per il
loro ordine
Esempi.
Le disposizioni con ripetizione di 3 elementi (abc) presi a 2 a 2 sono:
aa ab ac ba bb bc ca cb cc
(da notare che tali gruppi sono uguali ai precedenti con l'aggiunta di aa bb e cc)
Le disposizioni con ripetizione di 2 elementi (TC) presi a 3 a 3 sono (vedi pag. 5α):
TTT TTC TCT TCC CTT CTC CCT CCC
Calcolo delle disposizioni con ripetizione.
D'(n,k) = nk
Esercizio 1: Un numero di cellulare di 10 cifre inizia con 347; quanti numeri di telefono posso
formare?
Le 7 cifre rimanenti possono essere, ciascuna, un numero qualsiasi tra 0 e 9. Esistono perciò tanti
numeri di cellulare quante sono le disposizioni con ripetizione di 10 elementi in 7 posti, cioè 107
(vedi anche esempio 2 pag α6)
Esercizi: α25(dal 41 al 51 +eq53,eq54)
Permutazioni o Permutazioni semplici - Pn
Definizione.
Dati n elementi distinti, si dicono permutazioni, Pn, i gruppi che si possono formare in modo
che:


ogni gruppo contenga tutti gli n elementi
ogni gruppo differisca dagli altri solo per l'ordine degli elementi
Esempi: definisci le permutazioni di 2(a,b) e 3(a,b,c) lettere distinte
Per n = 2:
ab; ba.
Per n = 3:
abc acb bac bca cab cba (metto alternativamente come prima lettera a,b,c)
Calcolo delle permutazioni di n elementi.
P(n) = n!
(definisco: n! = n(n-1)(n-2)(n-3) .... 1 poi 0!=1 e inoltre 1!=1)
Esercizio 1 : Numero di anagrammi che si possono ottenere con la parola "CANTO"
Esercizio 2 : Quanti numeri di 6 cifre si possono ottenere da A=(2,3,4,7,8,9)
Esercizi: α26(57,58,59,61,63,64,68,71,72,73,76)
Permutazioni con ripetizioni (cioè gli n elementi non sono tutti
distinti) - Pn(m, r, s, ..)
Definizione.
Queste permutazioni si hanno quando:


negli n elementi da permutare ve ne è uno ripetuto m volte
oppure ve ne sono diversi ripetuti (a1 ripetuto m volte, a2 ripetuto r volte, a3 ripetuto s
volte
etc.)
Esempio.
Ad esempio, se vogliamo costruire le permutazioni di abb, notiamo che b compare 2 volte:



prendiamo le permutazioni di 3 elementi, abc
sostituiamo b al posto di c
eliminiamo le permutazioni uguali
Per n = 3:
abc
acb
bac
bca
cab
cba
Sostituiamo:
abb
abb
bab
bba
bab
bba
Eliminiamo i doppioni e rimane: abb
bab
bba
Si procede allo stesso modo se gli oggetti ripetuti sono più di uno.
Calcolo delle permutazioni di n elementi non tutti diversi (nel quale gruppo un elemento è
ripetuto m volte, un secondo elemento r volte, etc. )
Pn(m, r, s, ...) =
n!
m!r!s!...
Esercizio 1 : Quanti anagrammi (anche privi di significato) posso formare con la parola "TETTO"
Esercizio 2 : Calcoliamo il numero di modi in cui 5 sedie possono essere occupate da 3 persone.
(Ci sono 2 sedie vuote, quindi ripetute)
Esempi
1) In quanti modi si possono sistemare in una libreria 10 libri diversi di cui 6 di letteratura e 4 di
matematica, in un ordine qualsiasi? E se si volesse sistemarli in modo che tutti i libri di una
stessa materia siano vicini?
Nel primo caso il numero di sistemazioni possibili è uguale a quello delle permutazioni di 10
elementi, per cui P10 = 10! = 3628800 possibilità; nel secondo caso i libri di letteratura devono
essere vicini ma possono scambiarsi tra loro, per cui P6 = 6!, analogamente per quelli di
matematica, P4 = 4!, e inoltre un blocco può precedere l'altro o seguirlo; in definita le possibili
sistemazioni saranno uguali a 2*(4!6!) = 34560.
2) Un altro esempio di permutazioni sono gli anagrammi. Ad esempio gli anagrammi della parola
ROMA sono le permutazioni di 4 elementi, quindi P4 = 4! = 24.
Se in una parola una o più lettere sono ripetute, non tutti gli anagrammi sono diversi tra loro. Ad
es. gli anagrammi della parola ASSE non sono 4! = 24, perché ogni volta che si scambiano tra
loro le "S" non si ha una nuova parola, ma saranno 4!/2! = 12.
Analogamente per la parola SASSO, gli anagrammi distinti non saranno 5! = 120 ma 5!/3! = 20.
Esercizi: α28(77,78,80,81,82,83, +eq93,eq96, dis97,dis102))
Tornando a n!
n!= n(n-1)(n-2)(n-3) .... 1
0!=1 e 1!=1
n! = n(n-1)!
(n+1)!=(n+1)n!
Combinazioni semplici - C(n,k)
Definizione.
Dati n elementi distinti e un numero intero positivo k<=n, si chiamano combinazioni C(n,k) di
questi n elementi, a k a k (o di classe k), tutti gruppi che si possono formare con gli elementi
dati, in modo che:


ciascun gruppo contenga k elementi
due gruppi qualunque differiscano per almeno un elemento (ma non per l'ordine).
Esempi.
Le combinazioni di 3 elementi (abc) presi a 2 a 2 sono:
ab ac bc
Le combinazioni di 4 elementi (abcd) presi a 3 a 3 sono:
abc abd acd bcd
Numero di combinazioni semplici
C(n,k) = D(n,k) / P(k)
C(n,k) =
n!
=
 n  k  !k !
n
 
k 
(da notare che le combinazioni sono in numero minore delle disposizioni)
n
n!
Si definisce "coefficiente binomiale"   =
(legge dei 3 fattoriali).
 k   n  k  !k !
n  n 
n n
0
Inoltre si verifica facilmente che   = 
 e poi   =   =1 e inoltre   =1
k  n k 
0 n
0
Esercizio 1: In un gran premio di formula 1 una casa automobilistica ha 5 vetture per 2 piloti. In
quanti modi la scuderia può utilizzare le automobili? (10)
Esercizio 2: Una grossa azienda deve inviare 2 dei suoi 8 ispettori a controllare una filiale lontana.
In quanti modi possibili il capo dell'ufficio può determinare la delegazione di 2 ispettori. (28)
Esercizio 2: Quanti sono i terni che si possono giocare al gioco del lotto? (117480)
Esercizi: α31(110-113,117, +eq125,eq126)
Esercizi: α33(142-145, +eq152,eq153, eq159)
Combinazioni con ripetizione- C'(n,k)
Definizione.
Dati n elementi distinti e un numero intero positivo (con k><=n ), si chiamano combinazioni
con ripetizione C'(n,k) di questi n elementi, a k a k (o di classe k), tutti gruppi che si possono
formare con gli elementi dati, in modo che:



ciascun gruppo contenga k elementi
ogni elemento possa trovarsi ripetuto nel gruppo fino a k volte
due gruppi qualunque differiscano per almeno un elemento
Esempio: Le combinazioni con ripetizione di 3 elementi (abc) presi a 2 a 2 sono:
aa ab ac bb bc cc
Esempio: Nel lancio di una moneta può uscire T oppure C
Se lancio contemporaneamente 2 (k=2, n=2) monete i gruppi che si ottengono sono 3: TT TC CC
Se lancio contemporaneamente 3(k=3, n=2) monete i gruppi che si ottengono sono 4: TTT TTC
TCC CCC
Nei due precedenti esempi si nota come l'ordine non sia importante.
Numero delle combinazioni con ripetizione.
C'(n,k) =
 n  k  1! =  n  k  1


 n  1!k !  k 
Esercizio 1: Quanti possibili tipi di confezioni diverse di 10 caramelle ai gusti di menta, fragola o
limone si possono confezionale? (66) N.B. In questo caso ciascun gruppo deve contenere k=10
caramelle ed n=3.
Esercizio 2: In quanti modi si possono assegnare 15 scrivanie uguali a 4 uffici (ammettendo anche
il caso che a qualche ufficio non venga assegnato alcuna scrivania) (k=15, n=4) (816)
Esercizi: α32(130-134)
Esercizi riassuntivi: α38 (.....
Storicamente è importante ricordare la formula del binomio di Newton (in essa compare per la
prima volta il coefficiente binomiale)
 A  B
e la formula di Stifel
n
n
    An  k B k
k 0  k 
n
 n   n  1   n  1
5  4  4
  =
+
 Esempio   =   +  
 k   k  1  k 
 3  2  3