IL CALCOLO
COMBINATORIO
A cosa serve????
• Wiki says:
“Il calcolo combinatorio studia i modi
per raggruppare e/o ordinare
secondo date regole gli elementi di un
insieme finito di oggetti. “
In altre parole….
Il calcolo combinatorio “conta” le
possibili configurazioni.
Risponde alle seguenti domande:
"Quanti sono...",
"In quanti modi...",
"Quante possibili combinazioni..."
COSA VEDREMO OGGI…
1. DISPOSIZIONI SEMPLICI E CON
RIPETIZIONI
2. PERMUTAZIONI SEMPLICI E CON
RIPETIZIONI
3. COMBINAZIONI
SEMPLICI E CON
RIPETIZIONI
LE DISPOSIZIONI
SEMPLICI
Abbiamo n oggetti e vogliamo prenderli
k per volta…
I gruppi che formiamo devono
distinguersi:
• o per almeno uno degli oggetti
• oppure per l’ordine degli oggetti
Proviamo a contare un pò:
• IN QUANTI MODI
DIVERSI 3 PERSONE
POSSONO OCCUPARE
GLI ULTIMI 2 POSTI
RIMASTI IN UN
CINEMA?
……CONTIAMOLE!
Vediamo la formula…
D
n;k
=
n·(n-1)·...·(n-k+1)
DISPOSIZIONI CON
RIPETIZIONI
Abbiamo n oggetti e vogliamo prenderli
k per volta…
I gruppi che formiamo devono
distinguersi:
• o per almeno uno degli oggetti
• oppure per l’ordine degli oggetti
• oppure per la ripetizione
Ad esempio…
Una ragazza deve scegliere con chi
uscire tra 3 ragazzi diversi:
Marco,Luca e Simone
ma ha solo 2 sere libere a settimana…
In quanti modi può organizzare le sue
sere?
NB: La ragazza può scegliere di uscire
anche sempre con lo stesso ragazzo!
Contiamo le disposizioni con ripetizione di
classe 2 su 3 oggetti, cioe‘
le coppie che si possono formare con questi 3
oggetti:
(Marco;Marco) (Marco;Luca) (Marco;Paolo)
(Luca;Marco)
(Luca;Luca)
(Luca;Paolo)
(Paolo;Marco) (Paolo;Luca)
(Paolo;Paolo)
Luca
Marco
Paolo
Abbiamo 9 possibili modi in cui
organizzare le serate a
seconda delle preferenze!
Vediamo la formula…
D®n;k =n^k
Nell’esempio precedente…
n=3
k=2
D®=3²=9
LE PERMUTAZIONI
SEMPLICI
Si dicono permutazioni semplici di n
oggetti tutti i gruppi che si possono
formare con gli n oggetti prendendoli
ogni volta tutti...
Domani sei a rischio di essere
interrogato in tre materie:
italiano, matematica e inglese
E’ la fine del quadrimestre ed hai tre
ore di tempo decidi di studiare ogni
materia per 1 ora..
In quanti modi puoi "permutare" le
materie?
CONTIAMOLE…
PRIMA ORA
SECONDA ORA TERZA ORA
Italiano
Matematica
Inglese
Italiano
Inglese
Matematica
Matematica
Italiano
Inglese
Matematica
Inglese
Italiano
Inglese
Matematica
Italiano
Inglese
Italiano
Matematica
ABBIAMO 6 MODI POSSIBILI
PER ORGANIZZARE IL
POMERIGGIO!!!
Vediamo la formula…
Pn = n!
COS’E’ IL
FATTORIALE???
ESEMPI…..
5!=5*4*3*2*1=120
3!=3*2*1=6
20!
20!=??
=20*19*18*17*16*15*14*13*12*11*
10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=???
20!=2432902008176640000
LE PERMUTAZIONI
CON RIPETIZIONI
Vediamo cosa succede quando alcuni
degli oggetti su cui dobbiamo fare le
permutazioni sono uguali…
come esempio prendiamo il seguente
problema….
Quanti anagrammi (anche senza
significato) posso fare con le lettere
della parola “CANNONE”?
Sono 7 oggetti (C A N N O N I) ma 3 fra
questi sono uguali (N) quindi prese tutte le
possibili permutazioni su 7 oggetti dovro'
dividere per quelle dove le lettere N non
sono distinguibili…
(come fai a dire se ad esempio la N che
compare al primo posto e' la prima o la
seconda o la terza?)
Le permutazioni possibili di 7
oggetti
sono 7!=5040
Ma dobbiamo dividere per le
permutazioni
di 3 oggetti uguali (N) 3!=6
La soluzione sarà: P=5040/6=840
Proviamo ora con la
parola: “MATEMATICA”
Contiamo gli oggetti
diversi…
Contiamo gli oggetti uguali…
IL RISULTATO
SARA’…………..???????
Vediamo la formula…
n oggetti in cui k1,k2,.....,kh uguali
Pn;k=n! / (k1!*k2!*•••*kh!)
LE COMBINAZIONI
SEMPLICI
Abbiamo n oggetti distinti e un numero
k <n :
Ciascun gruppo deve contenere k degli
n oggetti e due gruppi qualsiasi
devono differire per almeno un
oggetto.
Vediamo un esempio…
Determinare quante strette di
mano si scambiano 4 persone…
CONTIAMOLE…
Vediamo la formula…
n·(n-1)·…·(n-k+1)
C k;n=___________________
k!
LE COMBINAZIONI
CON RIPETIZIONI
Abbiamo n oggetti distinti e un numero
k (anche maggiore di n)
In ciascun gruppo un oggetto può
essere ripetuto fino a k volte in
modo che due gruppi differiscano tra
loro per un elemento oppure per la
ripetizione..
Facciamo un esempio..
Prendiamo 2 oggetti (A,B) e vogliamo
raggrupparli in gruppi da 3:
AAA
AAB
ABB BBB
Abbiamo 4 possibili modi!
Vediamo la formula…
n·(n+1)··(n+k-1)
C®n;k= _______________
k!
Nell’esempio di prima:
n=2
k=3
C®=(2*3*4)/3!=4
NB: USA QUESTA
FORMULA QUANDO
HAI k>n
