Algebra 1

Algebra 1
Anno Accademico 2011-2012
Corso di Laurea in matematica-6CFU
Docente: Anna Guerrieri
Programma sintetico
Teoria degli insiemi, delle funzioni e delle relazioni. Permutazioni.
Aritmetica degli interi e congruenze. Passaggio ai razionali. Complessi.
Polinomi.
Gruppi, sottogruppi, esempi. Omomorfisimi, isomorfismi ed automorfismi.
Programma dettagliato
Nozioni fondamentali, aritmetica, combinatoria
1. Teoria delle funzioni: Iniettività, suriettività, biettività, inverse.
Induzione.
Permutazioni: Notazioni tabellare e ciclica. Operazioni con le
permutazioni.
Ordine dei cicli. Classi delle permutazioni.
2. Aritmetica dei numeri interi: Divisione e divisibilità. Massimo comun
divisore e
minimo comune multiplo. Numeri primi e prime proprietà. Fattorizzazione
unica.
Funzione di Eulero e sue proprietà.
3. Congruenze: Definizione e proprietà. Teorema Cinese del resto.
Teorema di Fermat. Ancora sulla funzione di Eulero.
4. Dagli interi ai razionali.
5. I numeri complessi: Struttura e notazioni, operazioni, norme,
coniugati,
radici, radici dell’unità.
6. Funzioni polinomiali a coefficienti in un campo (Razionali, Reali,
Complessi).
7. Relazioni e corrispondenze: Ordinamenti. Relazioni d’ordine e di
equivalenza.
Esempi e proprietà. Costruzione dei razionali. Concetto di classe di
equivalenza
e di insieme quoziente. Compatibilità tra operazioni e relazioni di
equivalenza.
Operazioni indotte sui quozienti. Teorema fondamentale di
“omomorfismo”
per gli insiemi.
Gruppi
8. Semigruppi, monoidi e gruppi: Definizioni ed esempi.
Prime proprietà. Gruppi numerici, gruppi di classi resto, gruppi di
permutazioni.
Gruppi abeliani. Tabella di Cayley.
Analisi dei possibili gruppi di ordini piccoli.
9. Sottogruppi: Definizione, criteri ed esempi. Gruppi di trasformazione.
Gruppo Diedrale.
10. Classi laterali e teorema di Lagrange: definizioni, esempi, teoremi e
costruzioni concrete.
11. Sottogruppi normali e gruppi quoziente: Rivisitazione di tutti gli
esempi
che sono di fatto quozienti. Definizioni, criteri e teoremi. Il gruppo dei
Quaternioni.
12. Gruppi ciclici: definizioni, esempi, struttura, concetto di ordine di
elementi e
collegamento con le cardinalità. Gruppi di ordine primo. Esempi di gruppi
abeliani
non ciclici.
13. Omomorfismi ed isomorfismi, endomorfismi, automorfismi.
Gruppi come immagini isomorfe di sottogruppi di gruppi di permutazioni.
Testi: I testi di riferimento per il corso sono:
Algebretta – Scimemi – Ed. Decibel
Gruppi – Scimemi – Ed. Decibel
Per gli esercizi si suggerisce:
Esercizi di Algebra – Franciosi, De Giovanni – Ed. Aracne