Programma del corso di ANALISI MATEMATICA I Corso

Programma del corso
di
ANALISI MATEMATICA I
Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura
Sapienza Università di Roma - Anno Accademico 2016/2017
Docenti: Dott. Salvatore Fragapane
Prof.ssa: Bruna Germano
- Richiami: concetto di insieme e sua rappresentazione; sottoinsiemi e insieme complementare; operazioni tra insiemi e loro proprietà; insiemi disgiunti e partizione di un
insieme; cardinalità di un insieme; insieme delle parti e teorema sulla sua cardinalità nota
la cardinalità del’insieme di partenza(*); principali simboli della logica matematica; condizioni necessarie, sufficienti e necessarie e sufficienti; esempi.
- Relazioni e Insiemi numerici: relazione binaria; proprietà delle relazioni; relazione di equivalenza e relazione d’ordine parziale; insiemi numerici (dei naturali, degli interi
√
e dei razionali); principio di induzione; disuguaglianza di Bernoulli (con dim.); 2 è irrazionale (con dim.); numeri reali e loro forma; assiomi dei numeri reali.
- Elementi di calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni e combinazioni (semplici e con ripetizione) e relative formule di calcolo; fattoriale e sue proprietà; coefficiente
binomiale e sue proprietà; binomio di Newton; se |A| = n, allora la cardinalità dell’insieme
delle parti è 2n (con dim.); potenza n-esima di un polinomio.
- Insiemi di numeri reali e topologia di R: intervalli limitati e illimitati; intervalli
aperti e chiusi; estremo inferiore ed estremo superiore; proprietà dell’estremo inferiore e
dell’estremo superiore; massimo e minimo di un insieme; relazione tra gli inf e sup di due
insiemi l’uno contenuto nell’altro (con dim.); intorni e intorni circolari di un punto; punto di accumulazione e punto isolato; teorema di Bolzano-Weierstrass(*); punto interno,
esterno e di frontiera di un insieme; insieme aperto, derivato di un insieme, insieme chiuso
e insieme perfetto; esempi.
- Funzioni: definizione di funzione; dominio, codominio, immagine e grafico; proprietà
delle funzioni; leggi, grafici e caratteristiche delle funzioni elementari; insieme di definizione di una combinazione lineare, prodotto o rapporto di funzioni; funzione composta,
funzione invertibile e restrizione di una funzione; condizione per l’invertibilità e sua giustificazione; insieme di definizione di y = [f (x)]g(x) ; trasformazioni delle funzioni e dei
rispettivi grafici; esempi.
- Successioni: successioni numeriche; distanza tra due punti di R; successione convergenti, divergenti, regolari, infinite; indeterminate e limitate; definizioni di limite; teorema delle proprietà che valgono definitivamente (con dim.); teorema di unicità del limite
(con dim.); teorema sul limite della successione dei moduli di una successione convergente(*); comportamento di alcune successioni notevoli; teorema della permanenza del
segno (con dim.); teorema sulla limitatezza delle successioni convergenti (con dim.); successione estratta; teorema sulle successioni estratte di una successione regolare; teorema
del confronto(*); teorema dei carabinieri (con dim.); successioni monotòne; teorema sulla
regolarità delle successioni monotòne(*); teorema sul limite della combinazione lineare,
il prodotto e il rapporto di successioni convergenti (con dim.); teorema riassuntivo sulle
operazioni sui limiti; forme indeterminate; limiti fondamentali (con dim.); definizione di
R̄; definizione del numero di Nepero, come limite della successione an = (1 + n1 )n , n ∈ N
(con dim.); limiti notevoli (con dim.); criterio del rapporto per successioni (con dim.);
infinitesimo (infinito) di ordine superiore, inferiore o uguale ad un altro infinitesimo (infinito); simboli di o-piccolo e O-grande; ordine di infinito ( infinitesimo), rispetto ad un
infinitesimo ( infinito) principale; uguaglianza asintotica; approssimazione di Stirling(*);
successioni di Cauchy; criterio di convergenza di Cauchy (con dim. necessità); esempi.
- Limiti di funzioni e continuità: definzione di limite di una funzione in un punto
e all’infinito; definizione generale di limite; teorema ponte (con dim.); condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza del limite(*); limite destro e limite sinistro; teorema di
unicità del limite(*); teorema della permanenza del segno(*); teorema dei carabinieri(*);
limite notevoli fondamentali (con dim.); limiti notevoli derivanti dai limiti fondamentale;
uguaglianze asintotiche derivanti da tali limiti; osservazione su come si generalizzano i
limiti notevoli quando vi è una f (x) al posto di x; ulteriori limiti notevoli; infinitesimi e
infiniti di ordine superiore, inferiore e dello stesso ordine per funzioni; ordine di infinito
e infinitesimo rispetto ad un infinito o infinitesimo principale; principali infinitesimi e
infiniti di riferimento; esempi.
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- Funzioni continue: funzione continua in un punto e in un intervallo; teorema sulla
continuità della restrizione(*); condizioni sufficienti per la continuità in un compatto(*);
teorema sulla continuità di alcune funzioni elementari(*); teorema sulla continuità della
somma, differenza, prodotto e rapporto di funzioni(*); punti singolari e loro classificazione ; funzione generalmente continua e continua a tratti; continuità a destra e a sinistra;
teorema di Weierstrass(*); teorema sulla limitatezza delle funzioni continue in un compatto(*); funzione uniformemente continua; relazione tra continuità uniforme e continuità(*);
teorema di Heine-Cantor(*); esempio di funzione continua ma non uniformemente continua; teorema della permanenza del segno(*); teorema di esistenza degli zeri(*); teorema
di esistenza dei valori intermedi (con dim.); funzione inversa e sue caratteristiche; teorema
sulle condizioni di invertibilità e sulla continuità dell’inversa data la f continua; esempi.
- Derivate: problema della ricerca delle tangenti ad una curva; definizione di derivata prima di una funzione in un punto; significato geometrico e analitico della derivata;
legame tra derivata e retta di migliore approssimazione; teorema sul legame tra derivabilità ed esistenza della retta tangente(*); derivate delle funzioni elementari; relazione tra
continuità e derivabilità (con dim.) e controesempio; regole di derivazione (con dim.); teorema di derivazione delle funzioni inverse (con dim.); teorema di derivazione delle funzioni
composte(*); funzioni iperboliche e loro relazione fondamentale e loro derivate; funzione
differenziabile in un punto; teorema che fornisce una condizione necessaria e sufficiente
per la differenziabilità (con dim.); differenziale di una funzione in un punto e sua interpretazione geometrica; funzioni non derivabili e classificazione dei punti di non derivabilità;
derivate successive; formula di Leibnitz per la derivata n-esima di un prodotto; funzioni
di classe C n (A); differenziali successivi al primo; proprietà di invarianza del differenziale
primo(*); funzione crescente e decrescente in un punto; massimo e minimo locale, relativo
e forte; massimo e minimo globale o assoluto; teorema relazione tra crescenza (decrescenza) in un punto e segno della derivata calcolata in tale punto (con dim.); teorema
di Fermat (con dim.) e controesempio; punto stazionario o critico per una funzione; corollario al teorema di Fermat(*); teorema di Rolle (con dim.); teorema di Cauchy (con
dim.); teorema di Lagrange (con dim.) e corollari (con dim.); relazione tra segno della
derivata e monotonia (con dim.); osservazioni sulle forme indeterminate; teorema di De
L’Hôpital(*) e osservazioni; asintoti al grafico di una funzione; funzione convessa e concava e punto di flesso; legame tra convessità di una funzione e crescenza delle sua derivata
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prima(*); relazione tra convessità di una funzione e segno della sua derivata seconda(*);
condizione necessaria affinché un punto sia di flesso per una funzione derivabile due volte(*) + controesempio; passi principali per lo studio di una funzione; approssimazione
di funzioni; polinomi di Taylor e di Maclaurin; proprietà del polinomio di Taylor; teorema di Peano(*); teorema applicazione del teorema di Peano per la classificazione dei
punti critici(*); teorema del resto di Lagrange(*); sviluppi di Maclaurin principali; applicazione dello studio di funzione al calcolo del numero di soluzioni di un equazione; esempi.
- Integrali: insiemi separati e insiemi contigui; primitiva di una funzione; teorema sulla
forma delle primitive (con dim.); teorema sull’unicità della primitiva che soddisfa una certa
condizione (con dim.); decomposizione di un intervallo e ampiezza della decomposizione;
decomposizione più fine di un’altra; somme inferiori e superiori; somma integrale (secondo
Riemann); relazione tra somme inferiori e superiori per una fissata decomposizione; lemma sulle relazioni tra somme inferiori e superiore (con dim.); funzione integrabile secondo
Riemann; interpretazione geometrica dell’integrale esteso ad un intervallo; esempio di funzione non integrabile; condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità(*); condizioni
sufficienti per l’integrabilità(*); teorema sintesi delle proprietà dell’integrale esteso(*);
teorema della media (con dim.); integrale definito; funzione integrale; primo teorema
fondamentale del calcolo integrale (con dim.); secondo teorema fondamentale del calcolo
integrale (con dim.); integrale indefinito; proprietà dell’integrale indefinito; integrali immediati in forma “semplice” e “generalizzata”; funzioni che non ammettono primitive;
differenza tra i concetti di primitiva e di funzione integrale; metodo di integrazione per
parti; metodo di integrazione per sostituzione e sostituzioni notevoli; integrazione delle
funzioni razionali; studio di funzioni integrali; esempi.
- Numeri complessi: definizione di numero complesso; unità immaginaria e sua proprietà; forma algebrica del numero complesso; notazioni sui numeri complessi; coniugato
di un numero complesso; operazioni tra numeri complessi; piano di Argand-Gauss e rappresentazione di un numero complesso; coordinate polari di un punto; modulo, argomento,
argomento principale e forma trigonometrica di un numero complesso; disuguaglianze notevoli tra moduli(*); prodotto tra numeri complessi in forma trigonometrica (con dim.),
formula di De Moivre; radice n-esima di un numero complesso (con dim.); teorema sul
numero di radici n-esime di un numero complesso(*); teorema su come ottenere le radici
n-esime di un numero complesso partendo da quelle dell’unità(*); formula e identità di
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Eulero; formula per il calcolo del logaritmo di un numero complesso; esempi.
- Serie numeriche: definizione e successione delle somme parziali; carattere di una serie;
serie geometrica e studio del suo carattere; serie telescopica e studio del suo carattere;
condizione necessaria per la convergenza (con dim.) e controesempio della seria armonica
(*); serie a termini positivi (e non negativi), a segni alterni e di segno qualsiasi; teorema
sulla non indeterminatezza delle serie a termini positivi(*); criterio del confronto(*); serie
armonica generalizzata; criterio del confronto asintotico(*); criterio del rapporto(*); criterio della radice(*); criterio di Leibniz(*); relazione tra convergenza assoluta e semplice
(con dim.) e controesempio; esempi.
· TESTI CONSIGLIATI:
- A. Ghizzetti, F. Rosati. Analisi Matematica - Vol. 1, Zanichelli.
· NOTE:
1) Le dimostrazioni dei teoremi contrassegnati con (*) possono essere omesse.
2) Con la dicitura “esempi” si intendono tutti gli esercizi risolti a lezione durante lo
svolgimento degli argomenti relativi ad ogni capitolo e non solo quelli di ricapitolazione.
3) Nel Diario delle lezioni è presente il riepilogo dettagliato degli argomenti svolti, lezione per lezione, con i relativi esempi svolti ed esercizi assegnati.
4) Questa versione del programma è provvisoria. A breve sarà pubblicata quella definitiva,
che potrebbe pure risultare coincidente con questa.
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