PROGRAMMA DI GEOMETRIA AA 2006-07 CORSO DI

PROGRAMMA DI GEOMETRIA A.A. 2006-07
CORSO DI LAUREA IN FISICA
Dott. A. Miranda
IL LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI Insiemi. Operazioni tra insiemi. Unione. Intersezione.
Complemento. Prodotto cartesiano.
RELAZIONI E APPLICAZIONI Relazioni. Applicazioni. Iniettivitá. Suriettivitá. Biiettivitá. Prodotto (o composizione) di applicazioni. Comportamento delle proprietá
di iniettivitá, suriettivitá, biiettivitá nel passaggio al prodotto e viceversa. Invertibilitá. Condizione necessaria e sufficiente affinché un’applicazione sia invertibile.
RELAZIONI SU UN INSIEME Relazioni d’ordine. Relazioni di equivalenza. Esempi.
Esempi notevoli: la relazione di equipollenza nell’insieme dei vettori applicati.
OPERAZIONI E STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni su un insieme. Proprietá. Associativitá del prodotto di applicazioni. Non commutativitá del prodotto di applicazioni. Elemento neutro. Invertibiltá (o simmetrizzabilitá) di un elemento.
Strutture algebriche: semigruppi, monoidi, gruppi, anelli, corpi, campi. Esempi.
Sottostrutture algebriche.
STRUTTURE ALGEBRICHE E OMOMORFISMI Omomorfismi di strutture algebriche.
Monomorfismi. Epimorfismi. Isomorfismi. Endomorfismi. Automorfismi. Esempi.
Esempi notevoli di isomorfismi gruppali: vettori geometrici e vettori applicati in
un fissato punto.
MATRICI Definizione di matrice su un campo. Operazioni tra matrici: somma, prodotto
righe per colonne. Il gruppo additivo delle matrici di ordine (m, n) su un campo.
Associativitá del prodotto righe per colonne. Non commutativitá del prodotto
righe per colonne. Invertibilitá (o non singolaritá) di una matrice. Esistenza di
matrici non invertibili. L’anello delle matrici quadrate di ordine n su un campo.
Matrici diagonali. Matrici triangolari. Matrici simmetriche. Operazioni elementari. Operazioni elementari e matrici elementari.
DETERMINANTI Definizione assiomatica. Conseguenze degli assiomi. Il determinante
di una matrice diagonale. Teorema di unicitá per i determinanti. Esistenza per i
determinanti. Formule per lo sviluppo dei determinanti. La formula di Laplace. Il
determinante di una matrice triangolare. Il determinante della matrice trasposta.
La formula del prodotto (Teorema di Binet). Il determinante della matrice inversa
di una matrice invertibile. Minori e cofattori. La matrice cofattore. La matrice cofattore ed il determinante. Formula per il calcolo della matrice inversa. Condizione
necessaria e sufficiente affinché una matrice quadrata sia invertibile. Calcolo del
determinante con il metodo di Gauss-Jordan. Calcolo della matrice inversa con il
metodo di Gauss-Jordan. Il rango di una matrice. Operazioni elementari e rango.
Teorema degli orlati(solo enunciato). Sistemi lineari. Compatibilitá. Equivalenza.
Sistemi omogenei. Sistemi parametrici. Teorema di Rouché Capelli(solo enunciato). Metodo di eliminazione di Gauss. Teorema di Cramer.
SPAZI VETTORIALI NUMERICI Lo spazio vettoriale delle n-ple di numeri reali, Rn .
Prodotto scalare standard. Proprietá. Norma o lunghezza di un vettore. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Distanza tra vettori. Angolo tra due vettori.
Ortogonalitá. Vettori liberi (o geometrici). Interpretazione geometrica di nozioni
definite in Rn per n = 2, 3: prodotto scalare, lunghezza di un vettore, angolo tra
due vettori, perpendicolaritá. Spazio vettoriale generato da un insieme finito di
vettori numerici. Indipendenza lineare. Basi. Basi ortogonali. La base dei versori
(o base canonica). Operazioni elementari e indipendenza lineare. Rango di una
matrice e indipendenza lineare dei vettori riga (Teorema di Kronecker).
APPLICAZIONI DELL’ALGEBRA DI Rn ALLA GEOMETRIA ANALITICA Rette in Rn .
Retta passante per un punto ed avente un assegnato vettore di direzione. Equazione
vettoriale. Proprietá delle rette. I vettori di direzione non sono univocamente determinati. Parallelismo. Teorema di unicitá della parallela. Retta passante per due
punti distinti. Equazioni parametriche scalari. Equazione cartesiana. Proiezione
di un vettore. Distanza di un punto da una retta. Piani in Rn . Piano passante
per un punto ed avente due assegnati vettori di direzione indipendenti. Equazione
vettoriale. Proprietá dei piani. I vettori di direzione non sono univocamente determinati. Parallelismo. Teorema di unicitá del piano parallelo. Piano passante per
tre punti non allineati . Equazioni parametriche scalari. Equazione cartesiana.
Vettori normali ai piani. Prodotto vettoriale(per n=3). Equazione cartesiana
(X − P ) · N = 0. Distanza di un punto da un piano. Distanza tra due piani.
Angolo tra due piani. Posizioni reciproche tra rette in R2 . Posizioni reciproche
tra rette, tra rette e piani, tra piani in R3 .
SPAZI VETTORIALI Definizione assiomatica. Esempi: spazio vettoriale numerico,
spazi di matrici, spazi di polinomi, spazi di funzioni. Sottospazi. Esempi: sottospazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Sottospazi affini. Esempi:
rette e piani. Combinazione lineare. Spazio vettoriale generato da un insieme
di vettori. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Spazio vettoriale generato
da k vettori indipendenti. Lunghezza comune alle basi di uno spazio vettoriale.
Dimensione. Completamento ad una base. Unicitá delle componenti.
SPAZI EUCLIDEI Prodotto scalare. Prodotto scalare euclideo. Spazi euclidei reali o
complessi. Norma. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Angolo. Ortogonalitá
ed ortonormalitá in uno spazio euclideo. Indipendenza di un sistema di vettori
ortogonali non nulli. Componenti di un vettore rispetto ad una base ortogonale.
Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Definizione di matrice ortogonale. Matrici ortogonali e basi ortonormali.
TRASFORMAZIONI LINEARI E MATRICI Definizione e caratterizzazione. Esempi. Nucleo e immagine. Nucleo come spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo. Teorema ’nullitá piú rango’. Conseguenze. Dimensione dello spazio delle soluzioni di
un sistema omogeneo. Caratterizzazione della iniettivitá di una trasformazione
lineare mediante il nucleo. Conservazione della indipendenza di un sistema di
vettori mediante una trasformazione lineare iniettiva. Spazio delle trasformazioni
lineari. Matrice associata ad una trasformazione lineare rispetto a basi fissate nel
dominio e nel codominio. Equazione di una trasformazione. Isomorfismo tra uno
spazio di trasformazioni lineari ed uno spazio di matrici.
AUTOVALORI E AUTOVETTORI Il problema di diagonalizzare un operatore. Autovalori e autovettori. Esempi. Condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilitá di un operatore. Indipendenza di autovettori corrispondenti ad autovalori distinti. Definizione di autospazio. Autospazi e diagonalizzabilitá. Polinomio
caratteristico. Legame tra matrici associate allo stesso operatore. Matrici simili.
Matrici simili e determinante. Matrici simili e polinomio caratteristico. Matrici
diagonalizzabili. Matrici ortogonalmente diagonalizzabili. Operatori ortogonalmente diagonalizzabili. Teorema spettrale (solo enunciato).
AUTOVALORI DI OPERATORI CHE AGISCONO SU SPAZI EUCLIDEI (solo per il vecchio ordinamento) Autovalori e prodotti scalari. Trasformazioni hermitiane e
anti-hermitiane. Autovalori e e autovettori di operatori hermitiani e anti-hermitiani.
Ortogonalitá di autovettori corrispondenti ad autovalori distinti. Esistenza di
un insieme ortonormale di autovettori. Matrici associate. Matrici hermitiane e
anti-hermitiane. L’aggiunta di una matrice. Diagonalizzazione. Matrici unitarie.
Trasformazioni unitarie. Forme quadratiche. Applicazioni alla geometria analitica:
coniche.
TESTI CONSIGLIATI
• T. M. Apostol, Calcolo, volume secondo, GEOMETRIA, Ed. Bollati Boringhieri.
• L. Lomonaco, Un’introduzione all’algebra lineare, Ed. Aracne.