APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA A

APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA A
a cura di Vanna Zanelli
CAPITOLO 1
FATTORIALE ed ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO
FATTORIALE
Preso n ∈ N oppure n = 0 , vogliamo definire n ! (fattoriale di n o n fattoriale).
Se n = 0, si pone 0! = 1,
se n ≠ 0 , si pone n ! = n (n - 1)! (definizione ricorsiva) .
Si ha
1! = 1 ⋅ 0! = 1 ⋅ 1 = 1
2! = 2 ⋅ 1! = 2 ⋅ 1
3! = 3 ⋅ 2! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1
4! = 4 ⋅ 3! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 .
.
.
.
n! = n ( n – 1) … 2 ⋅ 1
Come cresce? Si ha
2n < n ! < nn .
ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO
Dato un insieme A formato da n elementi A = {a1 , a 2 , ..., a n } , considerato k ≤ n , si dice
disposizione di k elementi (tra gli n dati) ogni sottoinsieme ordinato di A formato da k elementi
distinti. Due disposizioni sono diverse se differiscono per gli elementi oppure per l’ordine di tali
elementi.
Esempi :
1) A =
{1, 2 , 3}
e sia k = 2. Le disposizioni di 2 tra i 3 elementi sono
(1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,3) , (3,1) ,(3,2)
e sono 6.
2) A = {a, b , c , d } e sia k = 3, le disposizioni di 3 elementi sono
(a,b,c) (a,c,b) (a,c,d) (a,d,c) (a,b,d) (a,d,b)
(b,a,c) (b,c,a) (b,c,d) (b,d,c) (b,a,d) (b,d,a)
1
…
…
sono 24.
Si dimostra che, in generale, il numero delle disposizioni di k elementi tra n dati è
n (n –1) …(n – k + 1).
Osservazione : il numero precedente può essere scritto in altro modo, infatti si ha
n(n −1)....(n − k + 1) =
n ( n − 1) ... (n − k + 1)
( n − k )! =
( n − k )!
n!
.
( n − k )!
Se si considera k = n, le disposizioni si chiamano permutazioni (degli n elementi).
Il numero delle permutazioni di n elementi è
n ( n – 1) …( n – n + 1) = n ( n – 1) …1 = n!.
Dato un insieme A formato da n elementi e considerato k ≤ n , si dice combinazione di k
elementi, tra gli n dati, ogni sottoinsieme (non ordinato) di A formato da k elementi. Due
combinazioni sono uguali se hanno gli stessi elementi, indipendentemente dall’ordine.
Esempi :
3) A =
{1, 2 , 3}
{ 1, 2 } , {1, 3 }
e sia k = 2. Le combinazioni di 2 elementi sono
,
{2,3 }
e sono 3.
4) A = {a, b , c , d } e sia k = 3, le combinazioni di 3 elementi sono
{ a , b , c} , { a , b , d } , { a , c , d } , { b , c , d }
e sono 4.
In generale si dimostra che il numero di combinazioni di k elementi tra n dati è
n ( n −1 ) ... ( n − k + 1)
n ( n − 1) ... ( n − k + 1 )
n!
=
=
.
1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ k
k!
k | ( n − k )!
n
Questo numero è detto coefficiente binomiale e si indica con il simbolo   ( n su k ).
k 
Verifichiamo i casi precedenti :
2
n =3 e k =
n = 4
3
3 ⋅2
  =
=3;
2 ⋅1
 2
2
e k =
 4
4⋅3⋅2
  =
= 4.
3 ⋅ 2 ⋅1
3
3
Esercizi :
1) in quanti modi si possono sistemare 3 persone in uno scompartimento di 6 posti.
Si ha n = 6 e k = 3 e sono disposizioni in quanto conta l’ordine. Infatti se {1, 2 ,..., 6} indica i
posti e
{P , P
1
2
, P3
}
le persone, ( 1 , 2 , 3) indica che P1 va in 1, P2 va in 2 e P3 in 3 dunque
(1, 2 , 3 ) ≠ (1, 3 , 2 ) . Il numero dei modi è
6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120 .
2) in quanti modi si possono prenotare 3 posti in uno scompartimento da 6 posti.
 6
6⋅5⋅4
= 20 .
Sono combinazioni di 3 elementi tra 6 dati. Il loro numero è   =
3 ⋅ 2 ⋅1
3
Come sopra 1 , 2 , 3 indica che si sono prenotati quei 3 posti, ma anche 2 , 1 , 3 indica gli stessi
posti prenotati ossia l’ordine non conta .
Binomio di Newton
Dati
a ,b∈R e n ∈N
si vuole dare una formula per il calcolo di ( a + b )n .
( a + b )1 = a + b
( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2
( a + b )3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3
e così via.
In generale si dimostra che vale la formula
( a + b )n
 n
n
n
=   a n b 0 +   a n − 1 b1 +   a n − 2 b 2 + ... +
 2
1 
0
Coefficienti binomiali
 n  n ⋅ (n − 1) ⋅ ... ( n − k + 1 )
n!
  =
=
,
k!
k ! ( n − k )!
k 
ad esempio
3
n 0 n
  a b =
n
n
n
k =0
 
∑  k  a
n−k
bk .
n
n!
  =
= 1
0 !n !
0
n
n!
  =
=n
1  1!( n − 1) !
n
n!
n ( n −1)
  =
=
.
2
 2  2!( n − 2 )!
Proprieta’
1)
n n 

  = 
−
k
n
k

  
infatti
2)
n
n 
n!
n!

 =
=
=   .
 n − k  ( n − k )! ( n − n + k )! ( n − k )! k !  k 
n
 n − 1  n − 1
 =  

 + 
k 
 k − 1  k 
infatti
 n − 1  n − 1
( n −1) !
( n −1) !
( n −1) !

 + 
 =
+
=
( k −1) ! ( n − 1 − k ) !
k !( n − 1 − k ) !
 k − 1  k  (k −1 ) !( n − 1 − k + 1) !
n
( n −1) !
n!
n
=
=   .
( k −1 ) !( n − 1 − k )! k ( n − k )
k ! ( n − k )!
k 
 1
1

+  =
 n−k k 
Triangolo di Tartaglia –Pascal
n \ k
0
1
2
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
1
1
1
1
2
1
3
4
3
3
6
1
4
4
1
4
1