Calcolo combinatorio Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Definizione Il Calcolo Combinatorio è l’insieme delle tecniche che permettono di contare efficientemente il numero di possibili scelte, combinazioni, allineamenti etc. di oggetti scelti da insiemi con un numero finito di elementi. Esempio: contare quante diverse colonne del totocalcio si possono giocare. 1 Principi del conteggio (regole del gioco) 1°Principio: Addizione Se un oggetto può essere scelto in p modi da un insieme A e in q modi da un insieme B, B, disgiunto da A, allora esso può essere scelto in p+q modi diversi In altre parole: se A contiene p elementi e B ne contiene q e A∩ B = ∅ Allora A∪ B contiene p+q elementi 2 Esempio Sia A l’insieme delle vocali e B l’insieme delle consonanti dell’alfabeto italiano. A contiene 5 elementi e B ne contiene 16. Se scelgo una qualunque lettera dell’alfabeto ho 21 possibilità di scelta. 2°Principio: Moltiplicazione (versione semplificata) Se A è un insieme di p oggetti e B un insieme di q oggetti, allora l’insieme delle coppie ordinate (a,b), con a ∈ A e b∈ B, contiene p x q elementi. Esempio: Quante coppie ordinate di possono formate dagli insiemi A=B={x,y,z}? (x,x) (x,y) (x,z) (y,x) (y,y) (y,z) (z,x) (z,y) (z,z) p = q = 3, p x q = 9 3 Complichiamo l’esempio Problema: Quante parole di 3 lettere si possono scrivere utilizzando solo le 4 lettere a, b, c, d? Soluzione: scriviamole tutte e poi le contiamo. A B C D AA AB AC AD BA BB BC BD CA CB CC CD DA DB DC DD AAA AAB AAC AAD ABA ABB ABC ABD ACA ACB ACC ACD ADA ADB ADC ADD BAA BAB BAC BAD BBA BBB BBC BBD BCA BCB BCC BCD BDA BDB BDC BDD 2 16=4x4=4 CAA CAB CAC CAD 64=43 CBA CBB CBC CBD CCA CCB CCC CCD CDA CDB CDC CDD DAA DAB DAC DAD DBA DBB DBC DBD DCA DCB DCC DCD DDA DDB DDC DDD 4 Principio della Moltiplicazione Se un oggetto si forma facendo una successione di k scelte tali che ci siano n1 possibilità per la prima scelta, n2 per la seconda, .., e nk per la k-esima scelta, allora il numero complessivo di oggetti che si possono formare è dato dal prodotto n1 x n2 x … x nk Esercizio 1 In un ristorante c’è un menu a prezzo fisso composto da antipasto, primo, secondo dolce. Il menu propone al cliente la scelta tra 2 antipasti, 3 primi, 2 secondi e 4 dolci. Quanti pranzi diversi si possono scegliere con questo menu? 2x3x2x4 5 Esercizio 2 Quante parole di 4 lettere si possono formare con le lettere dell’alfabeto italiano in modo che la parola sia formata da consonante-vocale-consonante-vocale? 16x5x16x5 E se non vogliamo che la stessa lettera compaia due volte? 16x5x15x4 Esercizio 3 Calcolare quante colonne differenti si possono giocare al totocalcio. Per ognuna delle 13 partite possiamo scegliere un risultato tra i 3 possibili {1,2,X}. # colonne = 3 x 3 x … x 3 = 313 = 1594323 . 13 volte 6 Disposizioni con ripetizione Sia S un insieme con n elementi (distinguibili). Una disposizione con ripetizione di lunghezza k di elementi di S è una scelta ordinata di k elementi di S (non necessariamente distinti). “k-uple ordinate da n elementi” Esempio: una colonna del totocalcio è una disposizione di lunghezza 13 di elementi dell’insieme {1,2,X} Disposizioni con ripetizione Quante disposizioni di lunghezza k si possono ottenere da un insieme di n elementi? DRnk= n x n x … x n = nk k volte 7 Insieme delle parti Vogliamo rispondere a questa domanda: quanti sottoinsiemi ha un insieme con n elementi? Esempio: S = {1,2,X} Sottoinsiemi: Ø, {1}, {2}, {X}, {1,2}, {1,X}, {2,X}, {1,2,X} L’insieme delle parti di S ha 8 elementi Rappresentazione di un sottoinsieme (n=10) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Si No No No Si No No Si No No Rappresenta il sottoinsieme {1,5,8} # sottoinsiemi di S = numero di disposizioni con ripetizioni di lunghezza n dell’insieme {Si, No} = 2n 8 Esercizio 2 Quante sono le parole di 7 lettere costruibili utilizzando tutte le lettere dell'alfabeto italiano, ma “senza ripetizione” cioè col vincolo di non utilizzare più di una volta una stessa lettera in una parola? Es: aiuole OK aiuola NO Risposta: 21 x 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x15 Disposizione semplice S è un insieme con n elementi (distinguibili). Una disposizione semplice di lunghezza k, (k≤n) di elementi di S è una scelta ordinata di k elementi di S nella quale non si possono avere ripetizioni di uno stesso oggetto. “disposizione semplice di n elementi su k posti” 9 Disposizioni semplici Il numero di disposizioni semplice di k oggetti scelti tra n e’ dato da Dnk = n x (n-1) x …x (n-k+1) k volte Esercizio 3 Quante cinquine si possono estrarre nel gioco del lotto? Sono disposizioni senza ripetizione: # cinquine = 90 x 89 x 88 x 87 x 86 = = 5.273.912.160 10 Permutazioni Una permutazione di un insieme di oggetti è un qualsiasi ordinamento dei suoi elementi ognuno considerato una ed una sola volta. Ad esempio le permutazioni degli elementi dell'insieme {a,b,c} abc, acb, bac, bca, cab, cba In altre parole una permutazione è una disposizione senza ripetizione di n tra n oggetti. Esempio Supponiamo che 6 corridori gareggino sui 100 metri. Quali sono i possibili ordini di arrivo? S={Antonio, Bruno, Carlo, Davide, Enrico, Filippo} (A,B,C,D,E,F), (A,B,C,D,F,E), (D,E,F,C,B,A), … Sono tutte le permutazioni di 6 oggetti. 11 Permutazioni Quante sono le permutazioni di un insieme con n oggetti? Pn = n x (n-1) x ….x 2 x 1 Questo numero si chiama fattoriale di n e si indica con il simbolo n! Fattoriale Sia n ∈ {0,1,2,…} = ℕ U {0}. Si definisce n fattoriale ( e si indica n!) n!) il numero 0!=1 n! = n x (n(n-1) x ….x 2 x 1 Ad esempio: esempio: 1! = 1, 2! = 2x1 = 2, 3! = 3 x 2 x 1 = 6 10! = 3628800, 20! = 2,433 x1047 12 Osservazioni sul fattoriale • n! = n · (n-1)! • (3!)2 ≠ (32)! ≠ (3!)! Infatti (3!)2 = 36 , (32)!= 9! = 362880, (3!)!= 720 • Per n > k n! = n ⋅ (n − 1) ⋅ K ⋅ (k + 1) k! • 4⋅5⋅6⋅7 = 7! 3! Osservazione importante Il numero di disposizioni semplici si può scrivere: Dnk = n ⋅ (n − 1) ⋅K ⋅ (n − k + 1) = n! (n − k )! 13 Combinazioni Una combinazione semplice di classe k degli n elementi di un insieme S è un qualunque sottoinsieme di S formato da k elementi. “n elementi presi k a k” IDEA BASE: Disposizioni: l’ordine è importante Combinazioni: l’ordine non è importante Esempio • Sia S={1, 2, 3, 4, 5} e sia k=3. • Le terne ordinate (1, 2, 3) e (2,1,3) sono due disposizioni diverse, mentre i sottoinsiemi {1,2,3} e {2,1,3} sono la stessa combinazione. 14 Combinazioni Il numero di combinazioni semplici di n oggetti presi k a k (cioè le combinazioni di classe k di n oggetti) è Dnk n ⋅ (n − 1) ⋅ K ⋅ (n − k + 1) n! C = = = k! k! k!(n − k )! k n Questi numeri vengono detti “coefficienti binomiali” indicati con il simbolo n n! = k k!(n − k )! Esercizio 4 Con i 90 numeri del lotto quanti terni posso costruire? Risposta: 90 90! 90 ⋅ 89 ⋅ 88 C903 = = = = 117480 3! 3 3!⋅87! 15 Il coefficiente binomiale • Proprietà n n n! = = =1 n 0 n ! ⋅ 0 ! n n n! = = k n − k k! ⋅ (n − k )! n n n! = = =n n 1 − 1 ⋅ n − 1 ! ( 1 )! Perché si chiama coefficiente binomiale? Vogliamo calcolare la potenza di un binomio: (a + b )n ( a + b) n = ( a + b) ⋅ ( a + b) ⋅ K ⋅ ( a + b) = = a n + Cn −1a n −1b + K + Ck a n − k b k + K + b n Ck è il numero di modi nei quali posso scegliere k volte a tra n fattori n Ck = k 16 Formula finale n (a + b) = ∑ a n − k b k k =0 k n n 0 (a + b) 0 = a 0b 0 = 1 0 1 1 (a + b)1 = a1b 0 + a 0b1 = a + b 0 1 Alcune verifiche 2 2 2 (a + b) 2 = a 2b 0 + a1b1 + a 0b 2 = a 2 + 2ab + b 2 0 1 2 Ancora sull’insieme delle parti Per contare i sottoinsiemi di un insieme composto da n elementi potremmo sommare il numero di sottoinsieme con 0, 1, 2, …, n-1, n elementi. n n n n n−k k # sottoinsiemi = = 1 1 = ∑k ∑k k =0 k =0 = (1 + 1) n = 2 n 17 Proprietà importante n n n + 1 + = k k + 1 k + 1 Dim. n n n! n! + = + = k k + 1 k! (n − k )! (k + 1)! (n − k − 1)! = = (k + 1)! (n − k )! n + 1 (n + 1) ⋅ n! (n + 1)! = = (k + 1)!(n − k )! (k + 1)!(n − k )! k + 1 Triangolo di Tartaglia 0 0 1 0 2 0 [(k + 1) + (n − k )]⋅ n! = 1 1 2 1 n n n + 1 + = k k + 1 k + 1 2 2 n = 1, k = 0 1 1 2 + = 0 1 1 3 3 3 3 0 1 2 3 4 4 4 4 0 1 2 3 n = 2, k = 0 2 2 3 + = 0 1 1 4 4 5 0 6 0 18 Costruiamo il triangolo n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 n=5 1 5 10 10 5 n=6 1 6 15 20 15 6 n=7 1 7 21 35 35 21 7 1 1 1 1 Disposizioni con elementi uguali Dati n elementi dei quali n1 uguali tra loro, n2 uguali tra loro, …, nk uguali tra loro, gli ordinamenti di questi n oggetti sono n! n1!n2 !K nk ! 19 Esercizio 5 Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA? n = 10, n1= 2, n2= 3, n3= 2 Risposta 10! = 151200 2! 3! 2! Esercizio 6 Se lancio una moneta 7 volte in quanti modi posso ottenere 5 croci e 2 teste? Equivale a contare gli anagrammi della parola TTCCCCC Risposta 7! 2! 5! 20