CALCOLO COMBINATORIO Definizione di n! (si legge enne

CALCOLO COMBINATORIO
Definizione di n! (si legge enne fattoriale)
n !=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅⋅⋅⋅2⋅1
COS'E' IL CALCOLO COMBINATORIO?
Il calcolo combinatorio calcola il numero di gruppi che si possono formare scegliendo k elementi da
un insieme di n.
COME SI DIFFERENZIANO I GRUPPI?
Se consideriamo due gruppi diversi SOLO quando hanno ALMENO un elemento diverso, allora i
gruppi sono chiamati COMBINAZIONI
Es. il gruppo (a,b,c) è diverso dal gruppo (a,b,d) ma non da (a,c,b)
Se consideriamo due gruppi diversi SIA quando hanno almeno un elemento diverso SIA quando
hanno gli stessi elementi ma IN ORDINE DIVERSO, i gruppi sono chiamati DISPOSIZIONI.
Per esempio (a,b,c) è diverso sia da (a,b,d) che da (a,c,b)
Se all'interno di un gruppo possono esserci ELEMENTI UGUALI cioè gli elementi SI POSSONO
RIPETERE si parla di DISPOSIZIONI O COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE altrimenti si
parla di DISPOSIZIONI o COMBINAZIONI semplici
Per esempio il gruppo (a,a,b) non è permesso nelle disposizioni e combinazioni semplici ma è
permesso nelle disposizioni e combinazioni con ripetizione
COME SI COSTRUISCONO I GRUPPI?
Quando si devono costruire dei gruppi ci si deve sempre chiedere:
• è importante l'ordine?
Se SI devo costruire delle disposizioni se NO devo costruire delle combinazioni
• Gli elementi all'interno del gruppo si possono ripetere?
Se SI devo costruire disposizioni o combinazioni con ripetizione, se NO semplici
FRASEOLOGIA
Quando si usa la frase: si scelgono da un insieme k elementi IN BLOCCO, significa che NON sono
interessato all'ordine e gli elementi del gruppo saranno tutti diversi tra loro. Si intendono quindi
COMBINAZIONI SEMPLICI
Quando si usa la frase: si scelgono da un insieme k elementi IN SEQUENZA SENZA
REIMMISSIONE significa che sono interessato all'ordine e gli elementi del gruppo saranno tutti
diversi . Si intendono quindi DISPOSIZIONI SEMPLICI
Quando si usa la frase: si scelgono da un insieme k elementi IN SEQUENZA CON
REIMMISSIONE significa che sono interessato all'ordine e gli elementi del gruppo possono non
essere tutti diversi da tra di loro. Si intendono quindi DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE.
QUALE SIMBOLOGIA SI ADOTTA NEL CALCOLO COMBINATORIO?
•
•
•
Dn , k Disposizioni semplici. Si legge Disposizioni di n elementi di classe k
C n , k Combinazioni semplici. Si legge Combinazioni di n elementi di classe k
Drn , k Disposizioni con ripetizione. Si legge Disposizioni con ripetizione di n elementi di
classe k
•
C rn , k Combinazioni con ripetizione. Si legge Combinazioni con ripetizione di n elementi
di classe k
QUALI SONO LE FORMULE DA UTILIZZARE?
Dn , k =
n!
=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅(n−3)⋅⋅⋅⋅(n−k +1)
(n−k )!
C n, k=
n!
= n
k !⋅(n−k )! k
()
(questa formula viene anche chiamata coefficiente binomiale)
Drn , k =n k
C rn , k =
(n+k−1)!
k !⋅(n−1)!
ESERCIZI
1) In quanti modi possono scegliere due studenti da una classe di 23 come rappresentanti di
classe?
2) In una gara in cui partecipano 50 atleti, quanti podi possono avere (cioè quanti primi,secondi
e terzi posti)?
3) La prima fila di un teatro è composta da 10 sedie. In quanti modi possono essere occupare
da 15 persone?
4) Un'urna contiene 10 palline numerate da 1 a 10. Costruisco un numero facendo tre estrazioni
senza reimmettere (estrazione in sequenza senza reimmissione) la pallina nell'urna. Quanti
numeri posso costruire?
5) Stesso problema del precedente, ma dopo ogni estrazione reinserisco la pallina estratta
(estrazione in sequenza con reimmissione). Quanti numero posso costruire?
CASO PARTICOLARE
Supponiamo di avere un insieme di n elementi e di voler fare gruppi formati da k=n elementi, cioè
di scegliere tutti gli elementi dell'insieme.
Chiaramente, siccome li prendo tutti, due gruppi possono differire SOLO per l'ordine perché non
possono avere elementi diversi.
Quindi il numero di combinazioni è 1. (Ricordo che nelle combinazioni due gruppi differiscono per
almeno un elemento, non per l'ordine).
C n , n=1
D'altro canto il numero di disposizioni è dato dalla formula
Dn , n=n !
Dn , n dipendendo solo da n, si scrive in un modo diverso, P n
e si legge PERMUTAZIONI di n elementi. In sostanza le permutazioni mi danno
tutti i modi con cui possono scambiare gli elementi di un insieme. Corrisponde in pratica agli
anagrammi che posso costrure con le lettere (distinte) di una parola.