Universit`a degli Studi di Parma Corso di Laurea in Matematica (A.A.

Università degli Studi di Parma
Corso di Laurea in Matematica (A.A. 2016–2017)
ESERCIZI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 3
6. Spazi di Hilbert e serie di Fourier
Esercizio 1. Siano H uno spazio di Hilbert e M un suo sottospazio. Provate che
(a) M ⊥ è un sottospazio chiuso;
(b) [cl(M )]⊥ = M ⊥ ;
(c) (M ⊥ )⊥ = cl(M ).
Esercizio 2. Siano H uno spazio di Hilbert e M un suo sottospazio. Provate che le affermazioni
seguenti sono equivalenti:
(a) M è chiuso e dim M ⊥ = 1;
(b) esiste L ∈ H∗ con L 6= 0 tale che M = ker L.
Esercizio 3. Siano H uno spazio di Hilbert, M0 un sottospazio di H e L0 : M0 → C un funzionale
lineare limitato su M0 . Provate che
(a) L0 ha un’unica estensione lineare limitata L ∈ H∗ con kLk = kL0 k;
(b) L = 0 su M0⊥ .
Esercizio 4. Sia U = {un }n un insieme ortonormale di uno spazio di Hilbert H.
(a) Provate che U è chiuso e limitato ma non compatto.
(b) Costruite un sottoinsieme chiuso C di H che non contiene alcun elemento di norma minima:
u∈C
=⇒
kuk > inf kvk : v ∈ C .
Esercizio 5. Siano {un }n un insieme ortonormale di uno spazio di Hilbert H, {an }n una successione
con an ≥ 0 per ogni n e Q il sottoinsieme di H definito da
(
)
X
Q= x∈H: x=
cn un e |cn | ≤ an per ogni n .
n
Provate che Q è
(a) chiuso;
X
(c) compatto se e solo se risulta
a2n < +∞.
n
2
L’insieme Q è detto cubo di Hilbert.
Esercizio 6. Calcolate
Z
1
3
2
2
|t − at − bt − ct| dt : a, b, c ∈ R
min
−1
e calcolate quindi il massimo di
Z
1
max
u
tra le funzioni u ∈ L2 ([−1, 1]) tali che
Z 1
Z 1
Z
u(t) dt =
tu(t) dt =
−1
−1
t3 u(t) dt
−1
1
Z
2
t u(t) dt = 0
1
e
−1
|u(t)|2 dt = 1.
−1
Esercizio 7. Sia {nk }k una successione strettamente crescente di interi positivi e sia
E = t ∈ [−π , π] : {sen (nk t)}k converge .
Provate che risulta E è Lebesgue misurabile con |E| = 0.
Esercizio 8. Sia
Ln u = sn u(0) =
X
u ∈ L2 (T)
û(k),
(n ≥ 0).
|k|≤n
Provate che l’insieme
M = u ∈ L2 (T) : {Ln u}n converge
è un sottospazio denso di prima categoria in L2 (T).
Esercizio 9. Utilizzando la formula di Parseval di u(t) = t, t ∈ T, calcolate la somma di
X 1
n≥1
n2
3
Suggerimenti
Esercizio 2.
(a) Prendete x0 ∈ M ⊥ , x0 6= 0 e costruite L . . .
(b) Scegliete x0 ∈ M ⊥ tale che Lx0 = 1 e per x ∈ M ⊥ considerate x − (Lx)x0 . . .
Esercizio 3. Potete supporre che M0 sia chiuso e utilizzare il teorema di Riesz . . .
Esercizio 4. Calcolate kun − um k per m 6= n.
Esercizio 5.
(b) Si ha
X
a2n = +∞
X
=⇒
n
a2n ≥ 1
nk ≤n<nk+1
per una qualche successione strettamente crescente di indici {nk }k . Costruite quindi
una successione di vettori di Q che non ha sottosuccessioni convergenti. Per il viceversa
ragionate come nella dimostrazione del teorema di Ascoli–Arzelà.
Esercizio 6. Siano mk (t) = tk , t ∈ R, i monomi k ≥ 0 e sia M = span{m0 , m1 , m2 }. Il problema
diviene allora . . .
Esercizio 7. Usate il lemma di Riemann–Lebesgue per calcolare
Z
Z
lim
sen (nt) dt = lim
cos (nt) dt
n→+∞ F
n→+∞ F
per ogni insieme F ⊂ E misurabile e tenete conto di cos (2t) = 1 − 2 sen2 t . . .
Esercizio 8. Usate il teorema di Banach–Steinhaus.