Il contributo di Hilbert
Le limitazioni provenienti dall’uso dei modelli nelle dimostrazioni di
consistenza e il timore che le formulazioni classiche contenessero
contraddizioni più o meno nascoste esigevano un modo nuovo di
affrontare il problema.
Hilbert propose come alternativa alle dimostrazioni relative di
consistenza, l’idea di costruire dimostrazioni assolute, che cioè non
facessero ricorso alla consistenza di un’altra teoria.
Il primo passo da compiere consiste per Hilbert nella completa
formalizzazione di una teoria deduttiva. Si svuotano allora di
significato le espressioni che vengono considerate come semplici
sequenze di segni.
Il secondo passo è quello di enunciare un insieme di regole,
chiaramente precisate, per sapere come combinare e manipolare tali
segni. È questa l’idea alla base dei sistemi formali.
Si costruisce così un sistema di segni, detto calcolo, che non
nasconde nulla e contiene solo ciò che viene esplicitamente introdotto
in esso.
Postulati (assiomi) e teoremi sono sequenze di segni costruite con le
regole date, ed in questo modo viene eliminato il pericolo di usare
modi di ragionamento incontrollati.
Una pagina piena di simboli di una tale matematica non afferma
nulla, e questa costruzione ricorda moltissimo il calcolo cieco di
Leibniz. Tuttavia è possibile descrivere le configurazioni di un tale
sistema e fare delle affermazioni su di esse e sulle relazioni che
sussistono tra tali configurazioni, ottenendo così delle informazioni
sul sistema formale stesso.
È chiaro che queste affermazioni non appartengono al sistema. Esse
appartengono a quella che Hilbert chiama la metamatematica ovvero
al linguaggio che descrive dall’esterno la matematica.
Per esempio:
l’espressione
7+5 = 12
appartiene all’aritmetica ed è composta interamente da segni
aritmetici elementari.
L’affermazione “7+5=12 è una formula aritmetica” asserisce qualcosa
sull’espressione, non esprime un fatto aritmetico e non appartiene al
linguaggio formale dell’aritmetica; essa appartiene invece alla
metamatematica poiché attribuisce il carattere di formula ad una
certa catena di segni aritmetici.
Si osservi che le proposizioni metamatematiche non contengono come
parti costituenti segni e formule del sistema ma solo i loro nomi.
Questa distinzione è fondamentale perché quando non è stata
rispettata sono sorti confusioni e paradossi.
Il tentativo di Hilbert si basa dunque sulla netta distinzione tra un
calcolo formale e la sua descrizione. Egli pensò di sviluppare un
metodo che fornisse prove di coerenza mediante l’analisi di un
numero finito di caratteristiche strutturali delle espressioni presenti
in calcoli completamente formalizzati. Tale analisi consiste in:
1. notare i vari tipi di segni che intervengono nel calcolo,
2. indicare in quale modo tali segni possono essere combinati in
formule,
3. prescrivere la maniera con la quale si possono ottenere formule da
altre formule,
4. stabilire se formule di un dato tipo sono derivabili da altre
mediante regole esplicitamente enunciate.
Hilbert era convinto che ogni calcolo matematico avesse l’aspetto di
una sorta di disegno di formule in cui le formule possedessero
reciprocamente un numero finito di relazioni strutturali e sperava
di poter dimostrare, dall’esame delle proprietà strutturali,
l’impossibilità di dedurre dagli assiomi formule contraddittorie, il che
avrebbe provato in modo assoluto la coerenza del sistema stesso.
Il dato essenziale nella concezione originaria del programma di
Hilbert è proprio nella ricerca di procedimenti che fanno appello ad
un numero finito di proprietà strutturali e ad un numero finito di
operazioni con le formule. Questi procedimenti furono chiamati
finitistici.
Il Calcolo Proposizionale è un esempio di sistema formale per il quale
gli obiettivi della teoria Hilbertiana sono perfettamente realizzati.
Ma il Calcolo Proposizionale codifica una parte piuttosto piccola della
logica formale e non è sufficiente per sviluppare neanche l’aritmetica
elementare.
Tuttavia il programma di Hilbert può essere realizzato con successo
per sistemi più ampi del Calcolo Proposizionale; si possiede per
esempio una dimostrazione assoluta di coerenza di un sistema
aritmetico che ammette l’addizione dei numeri cardinali ma non la
moltiplicazione.
Hilbert fu personaggio di grande rilievo nel XIX secolo e la sua
posizione spinse i matematici a cercare di assiomatizzare e
formalizzare diversi rami della matematica. (Assiomatizzazione della
Matematica).
Poiché il risultato di tanto lavoro fu che varie discipline matematiche
sono esprimibili in termini aritmetici, la domanda fondamentale è
dunque questa:
Il metodo finitistico di Hilbert è abbastanza potente da
dimostrare la coerenza di un sistema logico adatto ad
esprimere l’intera aritmetica e non solo un frammento di essa?
Numerosi tentativi furono fatti per costruire una tale dimostrazione,
ma fallirono tutti.
Giungiamo così al 1931, quando Kurt Gödel, con i suoi famosi
teoremi, pose fine alla questione provando che tutti questi sforzi
operanti nei limiti del programma originario di Hilbert sono
destinati a fallire.
