Spazi di Hilbert/2

Spazi di Hilbert/2
(1) Sia (uk )∞
k=1 una base ortonormale in uno spazio di Hilbert V . Dimostrare che per ogni v, w ∈ V si ha
la cosiddetta relazione di completezza
hv, wi =
∞
X
hv, uk i huk , wi
k=1
(2) Sia πW la proiezione ortogonale sul sottospazio chiuso W di uno spazio di Hilbert V . Dimostrare che
(a)
(b)
(c)
(d)
2
πW
= πW , cioè πW (πW (v)) = πW (v)
πW è simmetrico, cioè hπW v, zi = hv, πW zi per ogni v, z ∈ V .
Se W e Z sono due sottospazi chiusi di V mutuamente ortogonali, allora πW ◦ πZ = 0.
Se W e Z sono due sottospazi chiusi di V tali che W ⊂ Z, allora πW ◦ πZ = πZ ◦ πW = πW .
(3) Sia πW il proiettore ortogonale sul sottospazio chiuso W dello spazio di Hilbert V . Dimostrare che
hu, πW ui ≥ 0 per ogni u ∈ V .
ø
(4) Sia V = R4 e poniamo
v1 = (1, 1, 0, 0)
W = span{v1 , v2 }
v2 = (0, 1, 1, 0)
Determinare la matrice 4 × 4 A che rappresenta πW nella base canonica. Verificare che A2 = A.
(5) Sia V = C2 [0, 1] e W = span{x, x3 }. Determinare il nucleo integrale K(x, y) dell’operatore πW .
Verificare che
Z 1
K(x, y)K(y, z) dy = K(x, z) .
0
2
Calcolare πW x e verificare che x − πW (x2 ) è ortogonale a W .
Risp: Ortogonalizzando x e x3 si ottiene
w1 (x) = x
2
kw1 k2 = 1/3
w2 (x) = x3 − 3x/5
kw2 k2 = 4/175 .
A questo punto si calcola facilmente
πW (x2 ) =
hx2 , w2 i
hx2 , w1 i
35
3
w
(x)
+
w2 (x) = x +
1
kw1 k2
kw2 k2
4
48
„
«
3x
5
x3 −
=
x (3 + 7x2 ) .
5
48
(6) Sia V = C2 [0, π] e W = span{1, sin x}. Determinare il nucleo integrale K(x, y) dell’operatore πW che
rappresenta il proiettore ortogonale su W . Calcolare πW (cos x).
Risp: K(x, y) = π1 + π22π−8 sin x − π2 sin y − π2 . πW (cos x) = 0.
(7) RNello spazio vettoriale P [0, ∞) (i polinomi su [0, ∞)) consideriamo il prodotto scalare hf, gi :=
∞
f (x)g(x) e−x dx. Sia W := span{1 + x, x − x2 }. Determinare la proiezione ortogonale πW (xn ), in
0
cui n è un intero positivo arbitrario.
verifichi che πW (1 + x) = · · · e che πW (x − x2 ) = · · · , come
R ∞ nSi−x
era lecito aspettarsi. (Ricorda: 0 x e dx = n!).
07-08/E3
(8) RNello spazio vettoriale P [0, ∞) (i polinomi su [0, ∞)) consideriamo il prodotto scalare hf, gi :=
∞
f (x)g(x) e−x dx. Sia W := span{x , 2 + x2 }.
0
(a) Determinare la proiezione ortogonale πW (xn ), in cui n è un intero positivo arbitrario.
(b) Utilizzando la formula trovata in precedenza, calcolare esplicitamente le proiezioni πW (1), πW (x),
πW (x2 ). Verificare che πW (x) = · · · e che πW (2 + x2 ) = · · · (com’è giusto che sia).
R∞
(Ricorda: 0 xn e−x dx = n!).
06-07/S1
(9) Sia V = C2 [0, ∞) e W = span{e−x , e−2x }. Determinare il nucleo integrale K(x, y) dell’operatore
πW che rappresenta il proiettore ortogonale su W . Calcolare πW (xn e−x ), in cui n è un intero non
negativo. Controllare che la soluzione
sia giusta nel caso n = 0. (Sugg: verificare preliminarmente,
R∞
ad esempio per induzione, che 0 xn e−ax dx = n!/an+1 per ogni n ∈ N e a > 0).
Volta la pagina +
06-07/S2
(10) Nello spazio vettoriale P (R) (i polinomi su R) consideriamo il prodotto scalare
2
e−x /2
.
f (x)g(x) p(x) dx , in cui p(x) := √
2π
R
Z
hf, gi :=
Sia W := span{1, x2 }. Determinare laRproiezione ortogonale πW (x4 ). (Ricorda:
(2n − 1)!! = 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1), mentre R x2n−1 p(x) dx = 0).
R
R
x2n p(x) dx =
$ H (11) Trovare uno spazio euclideo V e un sistema ortonormale (uk )∞
k=1 non completo in V , tale che non
esista alcun vettore v 6= 0 ortogonale a tutti gli uk . (Sugg: la cosa è possibile solo se V non è
completo. Si prenda come V il sottospazio di `2 definito come V := span{x, e(2) , e(3) , . . .}, in cui
x = (1, 1/2, 1/3, 1/4, . . .) e gli e(n) sono i vettori di base “canonici”. Si consideri poi il sistema
ortonormale {e(2) , e(3) , e(4) , . . .}. È ovvio che non è completo. Nonostante ciò si assuma che y sia un
elemento di V ortogonale a tutti gli e(n) per n = 2, 3, 4, . . . e si dimostri che deve essere necessariamente
y = (0, 0, 0, . . .).)
(12) Fare un esempio specifico e concreto (se l’oggetto non esiste dire semplicemente che non esiste) di:
(a) Un elemento x in `f tale che kxk2 = 5.
(b) Un elemento
x ∈ `f (Q) tale che kx − yk1 < 10−6 , in cui y = (yk )∞
k=1 è la successione data da
√
yk = 2/2k .
(c) Una funzione f in C2∞ (R).
(d) Una successione x = (xn )∞
n=1 che appartiene a `8 ma non a `7 .
(e) Una funzione reale continua non nulla a supporto in [−1, 1]. Disegnare il grafico e darne un’espressione analitica.
(f) Una funzione reale continua f tale che la funzione g = xn f appartiene a C1 (R) per ogni n ∈ N.
(g) Un polinomio p tale che supx∈[0,π] |p(x) − sin x| ≤ 1/10.
(h) Una funzione continua f tale che kf − gk1 < 1/10, in cui g è la funzione discontinua che vale 1
nell’intervallo [−1, 1] e 0 all’esterno di questo intervallo.
(i) Un sottospazio tridimensionale di `2 .
(j) Un sottospazio tridimensionale di `2 denso in (`2 , k · k2 ).
(k) Un sottospazio tridimensionale di C2 (R).
(l) Un sottospazio tridimensionale di C2 (R) denso in C2 (R).
(m) Un sottospazio infinito dimensionale chiuso W di `1 tale che W ( `1 .
(n) Un prodotto scalare su `2 diverso dal prodotto scalare “canonico”.
Varie
(1) Calcolare
P41
k=0
41
k
(−1)k .
(2) Determinare gli autovalori delle matrici


1
 0
A=
 0
0
ø Più
2
5
0
0
3
4
6
0

4
3 

7 
8



B=



o meno svolto nei Rudimenti o sul sito (pagina esercizi svolti)
$ Facoltativo
2
1
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
3
4
0
0
0
0
0
0
3
2
0
0
0
0
1
1







