Università degli Studi di Parma
Corso di Laurea in Matematica (A.A. 2016–2017)
ESERCIZI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 3
5. Spazi di Banach
Esercizio 1. Provate che non esiste alcuno spazio di Banach X avente dimensione (algebrica)
numerabile.
Esercizio 2. Considerate gli spazi di Banach c0 e `p (1 ≤ p ≤ +∞) e provate che
(a) c0 è separabile;
(b) `p è separabile per 1 ≤ p < +∞;
(c) l∞ non è separabile.
Esercizio 3. Provate che lo spazio di Banach L∞ (U ) (U ⊂ RN aperto) non è separabile.
Esercizio 4. Provate che lo spazio di Banach
(a) c∗0 si identifica con `1 : per ogni L ∈ c∗0 esiste y = {ym }m ∈ `1 tale che
X
Lx =
ym xm ,
x = {xm }m ∈ c0 ,
m
con kLk = kyk1 ;
(b) (C0 (R))∗ non si identifica con L1 (R): esiste L ∈ (C0 (R))∗ che non è della forma
Z
Lϕ =
uϕ,
ϕ ∈ C0 (R),
R
per alcuna funzione u ∈ L1 (R).
Esercizio 5. Sia (X , S , µ) uno spazio con misura positiva. Ogni elemento u ∈ L1 (µ) definisce un
funzionale lineare limitato L ∈ (L∞ (µ))∗ tramite la formula
Z
Lv =
uv dµ,
v ∈ L∞ (µ).
X
Provate che
(a) `∗∞ non si identifica con `1 : esiste L ∈ `∗∞ che non è della forma
X
Lx =
yn x n ,
x = {xn }n ∈ `∞ ,
n
per alcuna successione y = {yn }n ∈ `1 ;
(b) (L∞ (R))∗ non si identifica con L1 (R): esiste L ∈ (L∞ (R))∗ che non è della forma
Z
Lv =
uv,
v ∈ L∞ (R),
R
per alcuna funzione u ∈ L1 (R).
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Esercizio 6. Sia {yn }n una successione reale tale che la serie
X
yn xn
n
converge per ogni successione {xn }n tale che xn → 0 per n → +∞. Provate che deve essere
X
|yn | < +∞.
n
Esercizio 7. Sia C il sottoinsieme di C([0, 1]) formato dalle funzioni continue u : [0, 1] → R tali
che
Z 1
Z 1/2
u = 1.
u−
1/2
0
Provate che
(a) C è un sottoinsieme chiuso, convesso e non vuoto di C([0, 1]);
(b) C non contiene alcun elemento di norma minima:
u∈C
=⇒
kuk∞ > inf kvk∞ : v ∈ C .
Confrontate questo esempio con il corrispondente risultato per gli spazi di Hilbert.
Esercizio 8. Sia C il sottoinsieme di L1 ([0, 1]) formato dalle (classi di equivalenza di) funzioni
Lebesgue integrabili u : [0, 1] → R tali che
Z 1
u = 1.
0
Provate che
(a) C è un sottoinsieme chiuso, convesso e non vuoto di L1 ([0, 1]);
(b) C contiene infiniti elementi di norma minima: esistono infinite funzioni u ∈ C per le quali
risulta
kuk1 = inf kvk1 : v ∈ C .
Confrontate anche questo esempio con il corrispondente risultato per gli spazi di Hilbert.
Esercizio 9. Costruite un funzionale lineare limitato definito su un sottospazio di L1 ([0, 1]) che
ammetta due (e quindi infinite) estensioni di eguale norma a tutto L1 ([0, 1]).
Esercizio 10. Sia u ∈ L∞ (U ) (U ⊂ RN aperto) una funzione fissata e sia
Mu v = uv,
v ∈ Lp (U )
(1 ≤ p < +∞)
l’operatore lineare di moltiplicazione per u. Provate che Mu è un operatore lineare limitato da
Lp (U ) in sè con kMu k = kuk∞ . Per quali u ∈ L∞ (U ) l’operatore Mu è suriettivo su Lp (U )?
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Suggerimenti
Esercizio 1. Supponete che {en : n ≥ 1} sia una base (algebrica) di X e considerate i sottospazi
generati da {em : 1 ≤ m ≤ n}.
Esercizio 2.
(c) Costruite una famiglia non numerabile di aperti disgiunti di `∞ .
Esercizio 4.
(b) Alla luce del teorema di Radon–Nikodym pensate all’integrale fatto rispetto alla delta di
Dirac . . .
Esercizio 5. Esistono funzionali lineari limitati non banali che si annullano su c0 e C0 (R) . . .
Esercizio 7.
(b) Se u ∈ C([0, 1]) con kuk∞ ≤ 1 . . .
Esercizio 8.
(b) Se u ∈ L1 ([0, 1]) con kuk1 < 1 . . .
