Esercizio 1 Si enunci il teorema di Weierstrass. Successivamente

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Diploma
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ESAME DI MATEMATICA I (semestrale)
Milano, 27 aprile 2001
Esercizio 1
Si enunci il teorema di Weierstrass.
Successivamente, dato il polinomio p(x) = x3 − x2 − 2x, si dica per quali valori del parametro reale a è
applicabile il teorema di Weierstrass alla funzione
f (x) =
1
p(x)
nell’intervallo [a, a2 ].
Esercizio 2
Si calcolino i seguenti limiti:
2x + 3−x
x→−∞ 2−x + 3x
ex − e
lim
.
x→1 ln x
2
lim xe1/x
lim
x→0
lim
x→0+
x ln x
ln(1 + x)
Esercizio 3
Si studi la funzione
f (x) = ln2 x − x.
È richiesto lo studio della derivata seconda.
Esercizio 4
Si scriva la formula di Taylor arrestata al terzo ordine con punto iniziale π e resto in forma di Peano della
funzione f : R → R definita dalla formula
f (x) =
Z
0
x
sin t
dt
t
(N.B. Non è richiesto il calcolo esplicito di f (π)).
Si calcoli poi il
R x sin t
dt + (2π)−1 (x − π)2
.
lim π t
x→π
(x − π)3
Esercizio 5
Si calcolino i seguenti integrali indefiniti:
Z
8x − 5
dx
2
2x − 5x + 7
Z
x sin x cos2 x dx.
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