Compito di Fisica 2 9 Luglio 2015 1. In una sfera di raggio R1 = 3cm

Compito di Fisica 2
9 Luglio 2015
1. In una sfera di raggio R1 = 3cm è presente una distribuzione di carica volumetrica a
densità costante  = 10-3C/m3 . Tale distribuzione è posta all’interno di un guscio sferico
concentrico di raggio R2 = 2R1 carico con densità superficiale costante  = -
𝜌𝑅1
6
.
Determinare: (a) il campo elettrostatico e (b) il potenziale elettrostatico in tutto lo
spazio e mostrarne gli andamenti in grafico.
R2 -
-
-
-
+
+ R1
+
-
-
-
verticale
2. Il sistema di figura si compone di due piastre metalliche verticali
distanti 2d di area rettangolare S = ab. Tra esse, in posizione
b
equidistante dalle due, è inserita una terza piastra metallica, di
massa m e spessore trascurabile, libera di muoversi verticalmente.
La quota della piastra è indicata mediante il parametro h di figura,
h
quando h = h0 le sommità delle tre piastre hanno stessa quota. Il
sistema delle tre piastre è equivalente ad un condensatore, sia esso
carico con carica q. Supponendo che il sistema venga connesso come in figura, determinare la relazione tra
la quota h della piastra e la carica q perché il sistema sia all’equilibrio.
3. Un cilindro indefinito di raggio R=2cm è costituito da un materiale polarizzato con vettore di polarizzazione
P = a r con a = 10-6 C/m3, r vettore radiale. Determinare il campo elettrico all’interno ed all’esterno del
cilindro. Mostrare che la carica totale per unità di lunghezza del cilindro è nulla. Suggerimento per la
divergenza in coordinate cilindriche utilizzare la relazione : ∇ ∙ 𝑃 =
1 𝑑
(𝑟𝑃𝑟 ) .
𝑟 𝑑𝑟
4. Due conduttori cilindrici coassiali di raggi R1 = 2cm, R2 = 4cm, R3= 6cm, R4 = 8cm sono percorsi
rispettivamente da correnti con densità J1= 2∙103A/m2 e J2= - J1/2. (a) Mostrare in grafico l’andamento del
campo magnetico lungo r, direzione perpendicolare all’asse. (b) Determinare i valori di massimo e minimo
del campo magnetico e le posizioni in cui questi valori si presentano.
5. Una spira circolare di diametro D=0.2m è fatta di un filo conduttore di raggio r = 2mm, resistività
m e densità m=5x103 kg/m3. Essa viene lasciata cadere da una grande altezza z0 all’istante t = 0
in una regione di spazio ove è presente un campo magnetico con componente
B
Bz = B0(1 + kz) con k = 25 1/m, B0 = 0.2T e z asse verticale. Nella caduta la spira
z
mantiene sempre il suo asse verticale. Trascurando l’attrito dell’aria
determinare: (a) la velocità limite raggiunta nel suo moto di caduta; (b) la
potenza dissipata per effetto Joule nelle condizioni del punto (a), (c) la forza
y
elettromotrice nelle condizioni del punto (a).
x
Soluzione
1. Utilizzando il teorema di Gauss si perviene al campo E1 generato dalla distribuzione di carica volumetrica:
𝜌𝑟
𝐸1 = 3𝜀
𝑞
4
r > R1 con 𝑞1 = 3 𝜋𝑅13 𝜌 .
0 < r < R1; 𝐸1 = 4𝜋𝜀1 𝑟2
0
0
Il campo E2 generato dalla distribuzione superficiale di carica risulta invece:
𝑞
R1 < r < R2 con 𝑞2 = 4𝜋𝑅12 𝜎 .
0 < r < R2 ; 𝐸2 = 4𝜋𝜀2 𝑟2
𝐸2 = 0
0
Per il principio di sovrapposizione il campo
elettrostatico è dato da: E = E1 + E2 .
Poichè R2 = 2R1 e  = -
𝜌𝑅1
6
si ha:
𝑞2 = −2𝑞1 = −2𝑞 , quindi :
𝜌𝑟
3𝜀0
0 < r < R1
𝑞
4𝜋𝜀0 𝑟 2
R1 < r < R 2
−𝑞
4𝜋𝜀0 𝑟 2
r > R2
𝐸=
∞
∞
𝑉(𝑟) = ∫𝑟 𝐸𝑑𝑟 = ∫𝑟
(b) Poniamo V(∞) = 0 . r ≥ R2
−𝑞
𝑑𝑟
4𝜋𝜀0 𝑟 2
=
−𝑞
4𝜋𝜀0 𝑟
; 𝑉(𝑅2 ) =
−𝑞
.
4𝜋𝜀0 𝑅2
R1 ≤ r ≤ R 2
𝑅
𝑅
𝑞
𝑉(𝑟) − 𝑉(𝑅2 ) = ∫𝑟 2 𝐸𝑑𝑟 = ∫𝑟 2 4𝜋𝜀
𝑞
1
(
4𝜋𝜀0 𝑟
1
𝑞
1
0𝑟
2
𝑑𝑟 =
2
− 𝑅 ) → 𝑉(𝑟) = 4𝜋𝜀 (𝑟 − 𝑅 );
2
0
2
𝑉(𝑅1 ) = 0 .
0 ≤ r ≤ R1
𝑅
𝑅 𝜌𝑟
𝑑𝑟
3𝜀0
𝑉(𝑟) − 𝑉(𝑅1 ) = 𝑉(𝑟) = ∫𝑟 1 𝐸𝑑𝑟 = ∫𝑟 1
𝜌
(𝑅1 2
6𝜀0
− 𝑟 2 ) → 𝑉(0) =
Fig. 1
𝜌
𝑅 2.
6𝜀0 1
Fig. 2
b
b
b-(h0-h)
h
verticale
verticale
h0
=
2.
Si tratta di due
condensatori in parallelo (le
due lastre esterne infatti sono
allo
stesso
potenziale)
ciascuno carico con carica q/2.
Quando la quota della piastra interna è h=h0 ciascun condensatore ha capacità 𝐶 =
𝜀0 𝑎𝑏
𝑑
(fig. 1). Per h < h0 la
𝜀0 𝑎(𝑏+ℎ−ℎ0 )
(Fig. 2). Quindi la capacità equivalente del sistema
𝑑
𝜀 𝑎(𝑏+ℎ−ℎ0 )
1 𝑞 21
è 𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2 = 2 0
. L’energia elettrostatica del sistema è: 𝑈 = ( )
. Al variare di h varia
𝑑
2 2
𝐶
𝑑𝑈
1 𝑞 2 𝑑 1
2𝑑𝑞2
la capacità del sistema e quindi l’energia elettrostatica:
= ( )
( )=−
. Si ha quindi
𝑑ℎ
2 2
𝑑ℎ 𝐶
8𝜀0 𝑎(𝑏+ℎ−ℎ0 )
𝑑𝑈
2𝑑𝑞2
una forza F in direzione verticale e verso l’alto pari a : 𝐹𝑒 = − 𝑑ℎ = + 8𝜀 𝑎(𝑏+ℎ−ℎ ) . All’equilibrio tale forza è
0
0
capacità di ciascun condensatore è 𝐶1 = 𝐶2 =
𝑞
equilibrata dalla forza peso della piastra P = mg . Ricaviamo quindi: ℎ = √
2 𝜀
𝑑
0 𝑎𝑚𝑔
+ ℎ0 − 𝑏
3. Sulla superficie del cilindro si ha la densità di carica di polarizzazione: 𝜎 = 𝑃 ∙ 𝑢𝑛 = aR . Nel volume del
1 𝑑
cilindro si ha 𝜌 = −∇ ∙ 𝑃 = −2𝑎 , dove si è utilizzata la ∇ ∙ 𝑃 = 𝑟 𝑑𝑟 (𝑟𝑃𝑟 ) .
Da quanto sopra esposto si ha, per un tratto L di cilindro, la quantità totale di carica: Q = R2 L +2RL =-2a
R2 L + 2aR2L = 0 .
𝑎𝑟
D = 0E + P . Poichè non c’è carica libera abbiamo 0E = - P . Il campo elettrico è quindi : 𝐸(𝑟) = − 𝜀 𝑢𝑟 per
0
r < R ed E (r) = 0 per r > R (il dielettrico è globalmente neutro) .


4. (a) Si consideri r ~ 1. Le correnti che scorrono nei due conduttori sono: i1  J1 R22  R12 ;


i2  J 2 R42  R32 . Utilizzando la legge di Ampere:
0 ≤ r ≤ R1 → B = 0.
R1 ≤r ≤ R2 → B 
 0 J 1 r 2  R12 
2 r
R2 ≤r ≤ R3 → B 
 0 i1
2 r
 0 i1  0 J 2 r 2  R32 

R3 ≤r ≤ R4 → B 
2 r
2 r
r ≥ R4 → B 
 0 i1  i2 
.
2 r
Si ottiene l’andamento è mostrato in figura. Il valore massimo è B(R2) = 3.77x10-5 T, il valore minimo del
modulo di B è zero, che si ha per 0 ≤ r ≤ R1 .
d( B)
. Il flusso del campo magnetico attraverso
dt
dz
𝐷 2
S . In questa relazione
la sezione 𝑆 = 𝜋 ( 2 ) della spira è : ( B)  B0 1  kzS e quindi:  ind   B0 k
dt
5. Utilizziamo la legge di Faraday-Neumann-Lenz:  ind  
𝑑𝑧
𝑣 = 𝑑𝑡 è la velocità di caduta della spira. La forza elettromotrice è quindi direttamente proporzionale alla
velocità, a causa di questo si crea perciò una forza magnetica Fm anch’essa direttamente proporzionale alla
velocità che agisce in opposizione alla forza di gravità. La velocità della spira raggiunge il valore limite, 𝑣𝑙𝑖𝑚 ,
quando |Fm|= mg. Utilizzando il principio di conservazione dell’energia, il lavoro compiuto dalla forza di
gravità per una caduta del tratto dz in questo stato di moto stazionario è pari all’energia dissipata per effetto
Joule nella spira:
mgdz  I 2 Rdt con 𝑅 =
𝐷
2
𝜋𝑟 2
𝜌2𝜋
resistenza della spira, 𝑚 = 𝜌𝑚 𝜋𝑟 2 2𝜋
𝑑𝑧
caso 𝑣 = 𝑑𝑡 = 𝑣𝑙𝑖𝑚 si riscrive : mgvlim  I 2 R e quindi: vlim 
(a) la velocità limite: vlim 
Rmg
.
B02 k 2 S 2
(b) la potenza dissipata per effetto Joule: P  I 2 R  mgvlim .
(c) la forza elettromotrice  lim   B0 kvlim S .
𝐷
2
massa della spira. La relazione, nel
2
I 2 R B02 k 2vlim
S2
. Ricaviamo:

mg
Rmg