5. Curvatura
Sappiamo che in un triangolo piano la somma degli angoli interni è uguale a 180o.
Questo ovviamente non è più vero se abbiamo un triangolo disegnato su di una
superficie curva. In particolare, se la superficie è sferica si ha
a + b + c −π =
A
R2
con a, b, c angoli interni del triangolo sferico
A area della superficie del triangolo
R raggio della sfera
In questo caso si definisce curvatura la quantità
K=
1
a + b + c −π
=
.
2
A
R
Se la superficie non è sferica, la curvatura è definita in ogni punto dal limite di quella
espressione per A che tende a zero:
a + b + c −π
A→0
A
K ( P) = lim
che è ovviamente una funzione del punto.
Una superficie tale che per ogni punto P è K(P)=0 è detta piana.
Una superficie tale che per ogni punto P è K(P)<0 è detta iperbolica.
Una superficie tale che per ogni punto P è K(P)>0 è detta ellittica.
Quanto detto finora non affronta il nostro problema nella maniera più idonea, perché
sembra che per discutere la curvatura di una superficie abbiamo necessariamente
bisogno di immergerla in uno spazio con almeno una dimensione in più (nella quale
vive il raggio di curvatura R); tra l'altro proprio per questa ragione K(P) viene detta
curvatura estrinseca.
In effetti abbiamo però uno strumento che ci permette di aggirare l'ostacolo: il
trasporto parallelo.
Consideriamo ancora un triangolo piano ed un vettore applicato in un vertice e parallelo ad uno dei due lati adiacenti. Trasportiamo il vettore per parallelismo lungo i lati
del triangolo, fino a farlo tornare al punto di partenza: ovviamente il vettore all'arrivo
coincideràcon il vettore di partenza.
1
Se compiamo la stessa operazione su di un triangolo sferico, definendo attentamente
il trasporto parallelo lungo una curva chiusa formata da geodetiche, otteniamo un
risultato del tutto diverso: il vettore all'arrivo risulteràruotato rispetto a quello di
partenza e tale rotazione dipenderàdalla forma e dalla grandezza dell'area descritta.
Per formalizzare il problema calcoliamo la variazione di un vettore lungo una curva
chiusa infinitesima (ma non troppo, cioè non tanto da considerare la superficie come
piatta). Se la curva è formata da segmenti di geodetica, l'equazione che dovremo
applicare sarà
n
dAm
l dx
Al
= Γmn
ds
ds
e quindi
Q
l
Am (Q) − Am ( P) = ∫ Γmn
Al
P
dx n
ds
ds
l
Se la curva è piccola possiamo espandere sia Γmn
che Al in serie di potenze attorno al
punto di partenza definito da x = x ( s0 ) :
l
l
l
Γmn
( x) = Γmn
( x ) + ( x r − x r )Γmn
,r ( x)
(
x= x
)
+K
l
Am ( s ) = Am ( s 0 ) + Γmn
( x ) x n ( s ) − x n Al ( s 0 ) + K
fermandoci al primo ordine ed avendo usato per l'espansione di Am la solita equazione
della geodetica.
Sostituendo ed integrando
s
s
(
)
dx n
dx n
s
ds + Bmnr
( x ) As ( s 0 ) ∫ x r − x r
ds
ds
ds
s0
s0
l
Am ( s ) = Am ( s 0 ) + Γmn
( x ) Al ( s 0 ) ∫
con
B
s
mnr
s
∂Γmn
(x)
l
( x ) =
+ Γlrs ( x )Γmn
( x )
r
∂x
2
Se dopo un percorso di geodetiche ritorniamo al punto di partenza, cioè al valore s0
del parametro scelto sulle curve, il primo ed il terzo integrale a secondo membro si
annullano perché
s1
dx n ( s )
∫ ds ds = 0
s0
per s1 = s0
quindi
s1
s
Am ( s1 ) − Am ( s 0 ) = Bmnr
As ( s 0 ) ∫ x r dx s =
s0
1 s
Rmnr As ∫ x r dx n
2
c
e questo perché
r
n
∫ x dx =
c
s1
s
r
1
d (xr xn )
n dx
n
r
ds
−
x
∫s ds
∫s ds ds = − ∫c x dx
0
0
cioè l'ultimo integrale è antisimmetrico nello scambio degli indici n ed r e quindi
s
isola la sola parte antisimmetrica di Bmnr
appunto in quegli indici, che risulta essere
s
Rmnr
=
s
s
∂Γmn
∂Γmr
t
t
−
+ Γmn
Γrts − Γmr
Γnts = 2 Γms [ n ,r ] + Γmt [ n Γrs]t .
∂x r
∂x n
(
)
s
Il tensore Rmnr
è quindi direttamente legato alla non integrabilitàdell'equazione del
trasporto parallelo che ci informa del fatto che non è possibile costruire un campo
tensoriale per trasporto parallelo a partire da un tensore definito in un punto a meno
s
che lo spazio non sia piatto, cioè Rmnr
= 0 in tutto lo spazio considerato.
s
Le 256 funzioni Rmnr
formano, come vedremo fra breve, un tensore di 40 rango noto
come "Tensore di curvatura" o "Tensore di Riemann" e la sua introduzione ci imposta la soluzione di un problema prima citato: l'equazione della geodetica non è
l'equazione della retta come la conosciamo, e cioè
d 2x
= 0,
ds 2
perché abbiamo scelto un sistema di coordinate curvo in uno spazio piatto oppure lo
spazio stesso è intrinsecamente curvo a causa dell'esistenza di un campo
gravitazionale? Possiamo ora rispondere che esiste un campo gravitazionale che
curva lo spazio, e non si è solo usato un sistema si coordinate "sbagliato", se e solo se
s
Rmnr
≠0
3
e la metrica ha segnatura minkowskiana -2 (questo per garantirci che in ogni intorno
di ogni punto valga la relativitàristretta).
Notiamo che in uno spazio non piatto è anche possibile che in un punto sia Γlmn ma
non Rsmnr perché saranno diverse da zero le derivate delle Γlmn anche se le Γlmn
stesse sono nulle (ricordiamo che le Γ non sono tensori).
Notiamo infine che si può dimostrare (vedere Weinberg) che questo tensore è l'unico
che può essere costruito con la metrica e le sue derivate prime e seconde e lineare
nelle derivate seconde: questa proprietàci saràestremamente utile in seguito.
Veniamo alle proprietàalgebriche e differenziali del tensore di curvatura, che sono
più facili da memorizzare tramite la forma completamente covariante Rabcd=garRrbcd;
cominciamo con le proprietàalgebriche di simmetria:
Rabcd = − Rbacd = − Rabdc
Rabcd = Rcdab
Rabcd + Racdb + Radbc = 0
Queste proprietàalgebriche, di verifica abbastanza diretta, riducono le componenti
indipendenti del tensore da 256 a solo 20.
È poi fondamentale la proprietàdifferenziale del tensore di curvatura nota come
"Identitàdi Bianchi":
a
a
a
Rbcd
;l + Rbdl ; c + Rblc ; d = 0 .
Vi sono due tensori che possono essere costruiti a partire da Rabcd tramite
contrazione
a
Il tensore di Ricci Rbd = Rbad
La curvatura scalare R = Raa = g ab Rab .
Notiamo che, date le simmetrie di Rabcd, il tensore di Ricci risulta simmetrico: ha
quindi solo 10 componenti indipendenti ed inoltre si può facilmente dimostrare che le
altre contrazioni di Rabcd possono essere scritte in funzione delle componenti di Rab.
Contraendo l'identitàdi Bianchi si ha
a
Rbd ;l + Rbdl
; a + Rbl ; d = 0 ;
4
contraendo ancora b e d e tenendo conto delle proprietàdi simmetria del tensore di
Riemann
R;l − Rla;a − Rla;a = 0 ;
moltiplicando per glb e sommando
g lb R;l − 2 g lb Rla;a = g lb R;l − 2 R;ab
a = 0
ed infine
ab 1 ab
R − g R = 0
2
;b
che è la forma contratta dell'identitàdi Bianchi.
Definendo il tensore di Einstein
G ab = R ab −
1 ab
g R
2
si ha che l'identitàdi Bianchi assume la forma
G ab ;b = 0 .
In seguito vedremo l'uso dei tensori di Ricci e di Einstein; per ora scriviamo solo due
delle applicazioni del tensore di curvatura completo.
Sappiamo che in uno spazio piatto le derivate parziali seconde commutano, nei limiti
del teorema di Schwartz; ciò non è più vero in uno spazio curvo. Infatti col calcolo si
vede subito che
r
Am;n;k − Am;k ;n = − Ar Rmnk
che è anche la dimostrazione che Rdabc è un tensore, essendo tensori tutte le altre
quantità.
L'altro caso è quello dell'accelerazione relativa di due particelle libere, cioè non
interagenti tra di loro neanche gravitazionalmente, in un campo gravitazionale
esterno. Sincronizzando i parametri affini sulle due geodetiche si ha che
d 2 xm
dx n dx l
m
+
Γ
(
)
=0
x
nl
ds ds
ds 2
d 2 x m + δx m
d ( x n + δx n ) d ( x l + δx l )
m
+ Γnl ( x + δx)
=0
ds
ds
ds 2
(
)
5
Sottraendo membro a membro, al primo ordine in δ xm, otteniamo
l
n
l
n
d 2 (δ x m )
m
r dx dx
m dx d (δ x )
+ Γnl , r (δ x )
+ 2Γnl
=0
ds ds
ds
ds
ds 2
che può essere riscritta come
n
r
D 2 (δ x l )
l
m dx dx
=
R
δ
x
.
nmr
ds ds
ds 2
Questa equazione è nota come "equazione della deviazione geodetica", e ci mostra
come, se lo spazio è curvo, due geodetiche vengono percorse da particelle
opportunamente sincronizzate. Cioè , sebbene una particella in caduta libera appare
ferma in un sistema che cade liberamente con la particella stessa, una coppia di
particelle libere mostra un moto relativo che può rivelare la presenza di un campo
gravitazionale ad un osservatore che cada con esse. Questa ovviamente non è una
violazione del principio di equivalenza, perché gli effetti del secondo membro
dell'equazione della geodetica sono trascurabili quando la separazione tra le particelle
è molto minore delle dimensioni caratteristiche del campo.
D'altra parte questa equazione è paragonabile a quella che deriva dall'analogo
problema newtoniano giàvisto in precedenza: le equazioni del moto sono
d 2 xa
∂φ
= − a per la prima particella, e
2
dt
∂x p
d 2 x a d 2δ x a
∂φ
a
+
= − a per la seconda distante δ x .
2
2
dt
dt
∂x q
Espandendo il secondo membro della seconda equazione al primo ordine
∂ 2φ
∂φ
∂φ
− a = − a − δ x b b a
∂x ∂x
∂x q
∂x p
p
e sottraendo membro a membro
d 2 δx a
∂ 2φ
=
−
δ xb
2
b
a
dt
∂x ∂x
che è appunto l'equazione newtoniana della deviazione geodetica, che si applica alla
teoria delle maree, ma, ovviamente, anche a due geodetiche vicine in un campo
gravitazionale non uniforme.
Da notare che il tensore di Riemann ha qui la stessa funzione della derivata seconda
del potenziale, come ci si doveva aspettare.
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