Esercizi di Gruppi di Lie – A.A. 2006–2007

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Esercizi di Gruppi di Lie – A.A. 2006–2007 - n. 3
[1] Sia g un’algebra di Lie reale di dimensione 3 e sia (E1 , E2 , E3 ) una sua base.
Provare che se
[E1 , E2 ] = ±E3 ,
[E1 , E3 ] = −E2 ,
[E2 , E3 ] = E1 ,
allora g è isomorfa a su(2) (nel caso del segno +), oppure a sl(2, R) (nel caso
del segno –).
[2] Provare che la condizione d2 = 0 per le equazioni di Maurer–Cartan equivale
all’identità di Jacobi.
[3] Sia g una metrica Riemanniana invariante a sinistra su un gruppo di Lie G.
Trovare l’espressione della connessione di Levi Civita, del tensore di curvatura
Riemanniano, della curvatura sezionale e del tensore di Ricci, applicati a campi
invarianti a sinistra. Dedurre le analoghe espressioni nel caso di una metrica
biinvariante.
[4] Sia H n = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn / xn > 0} il semispazio di Poincaré dotato della
metrica Riemanniana
g=
r2 2
2
(dx
)
+
.
.
.
(dx
)
,
1
n
(xn )2
r > 0.
Provare che (H n , g) ha curvatura sezionale costante −
1
.
r2
+
[5] Si consideri lo spazio (R4 ) = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 / x1 > 0} dotato della
metrica Riemanniana (detta metrica di Willmore):
2
ds2 = (x1 )4 (dx21 + dx22 + dx23 ) + x−2
1 dx4 .
Mediante le equazioni di strutture di Cartan, provare che tale metrica è Ricci–
piatta (ossia ρ = 0), nonostante che il tensore di curvatura Riemanniano non
sia nullo.
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