Laboratorio di MatLab

Laboratorio di MatLab
Algebra lineare e Geometria
Alessandro Benfenati
Ph.D. Student
Departments of Mathematics - University of Ferrara
[email protected]
1 / 41
Sommario
1
Introduzione
Organizzazione
Perché i sistemi lineari?
2
Algebra Lineare
Determinante
Rango
Matrice Inversa
3
Sistemi lineari
Matrici e sistemi
Grafica
Sistemi indeterminati
4
Spazi vettoriali
Combinazioni lineari
Basi
Matrici e Basi
2 / 41
Introduzione
Organizzazione
Organizzazione ed Esercizi
Date delle lezioni
07/04/2014 : 1 lezione
14/04/2014 : 2 lezione
28/04/2014 : 3 lezione Che si fa??
05/05/2014 : 4 lezione
12/05/2014 : 5 lezione
19/05/2014 : simulazione di esame
3 / 41
Introduzione
Organizzazione
Organizzazione ed Esercizi
Date delle lezioni
07/04/2014 : 1 lezione
14/04/2014 : 2 lezione
28/04/2014 : 3 lezione Che si fa??
05/05/2014 : 4 lezione
12/05/2014 : 5 lezione
19/05/2014 : simulazione di esame
Esercizi.
4 / 41
Introduzione
Perché i sistemi lineari?
Tariffe telefoniche
Supponiamo di dover scegliere fra due tariffe per il cellulare: con la prima
abbiamo un costo di 0.16 e al minuto senza scatto alla risposta, mentre con la
seconda abbiamo un costo di 0.12 e al minuti con 0.12 e di scatto alla
risposta. Si vuole capire quale delle due è più conveniente.
Se indichiamo con x il tempo di chiamata e con y il costo della stessa
chiamata, allora posso scrivere
0.8
y = 0.16x
y=0.12x+0.12
(x*,y*)=(3,0.48)
0.7
0.6
%
y
0.16x
0.12x
0.5
Costo
$
& y
0.12
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Minuti
3
3.5
4
4.5
Le componenti px , y q della soluzione del sistema rappresentano la durata
della chiamata (x ) per cui il costo (y ) della stessa è uguale,
5
indipendentemente dalla tariffa scelta. Quindi, per decidere quale tariffa
applicare, è necessario vedere la durata media delle chiamate effettuate.
5 / 41
Introduzione
Perché i sistemi lineari?
Masse
Supponiamo di avere una leva, di estremi A e B. Si desidera porre il baricentro
nel punto M, di coordinate date. Si vogliono trovare le masse da porre in A e
in B per fare in modo che il baricentro sia nella posizione voluta.
A
M
B
Ricordando la formula del baricentro in due dimensioni, possiamo scrivere
$
&
%
1
Mtot
pMA xA
MB xB
q xM
1
Mtot
pMA yA
MB yB
q yM
dove MA e MB sono le masse da porre nei punti A e B, mentre Mtot è la massa
totale.
2, 3 , B
8, 3 , M
3, 3 e Mtot 1, allora il sistema
Ad esempio, se A
da risolvere è
$
3
& 2MA 8MB
p q
p q
%
3MA
p q
3MB
3
6 / 41
Introduzione
Perché i sistemi lineari?
Traiettoria parabolica
Siamo interessati a calcolare i coefficienti della traiettoria parabolica1 della
palla in figura.
400
350
300
y
250
200
150
100
50
100
200
300
400
500
600
x
1
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bouncing_ball_strobe_edit.jpg
7 / 41
Introduzione
Perché i sistemi lineari?
Traiettoria parabolica
Siamo interessati a calcolare i coefficienti della traiettoria parabolica1 della
palla in figura.
L’equazione della parabola è
400
y
350
ax 2
bx
c
300
quindi si scelgono tre punti e si impone
il passaggio per questi tre punti:
y
250
200
p150, 256q
B p250, 363q
C p360, 143q
A
150
100
50
100
200
300
400
500
600
x
Si ottiene il sistema
$
22500a
'
'
'
'
&
150b
c
256
62500a
250b
c
363
'
'
'
'
%
1
129600a
360b
c
143
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bouncing_ball_strobe_edit.jpg
8 / 41
Introduzione
Perché i sistemi lineari?
Traiettoria parabolica
Siamo interessati a calcolare i coefficienti della traiettoria parabolica1 della
palla in figura.
L’equazione della parabola è
400
y
350
ax 2
bx
c
300
quindi si scelgono tre punti e si impone
il passaggio per questi tre punti:
y
250
200
p150, 256q
B p250, 363q
C p360, 143q
A
150
100
50
100
200
300
400
500
600
x
Si ottiene il sistema
$
22500a
'
'
'
'
&
150b
c
256
62500a
250b
c
363
'
'
'
'
%
1
129600a
360b
c
143
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bouncing_ball_strobe_edit.jpg
9 / 41
Introduzione
Perché i sistemi lineari?
Traiettoria parabolica
Siamo interessati a calcolare i coefficienti della traiettoria parabolica2 della
palla in figura.
L’equazione della parabola è
400
y
350
ax 2
bx
c
300
quindi si scelgono tre punti e si impone
il passaggio per questi tre punti:
y
250
200
p382, 56q
B p479, 265q
C p590, 52q
A
150
100
50
100
200
300
400
500
600
x
Si ottiene il sistema
$
145924a
'
'
'
'
&
382b
c
56
229441a
479b
c
265
348100a
590b
c
52
'
'
'
'
%
2
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bouncing_ball_strobe_edit.jpg
10 / 41
Algebra Lineare
Determinante
Algebra lineare: richiami.
Per poter risolvere adeguatamente i sistemi lineari, è necessario avere qualche
strumento dall’algebra lineare. Si comincia con i determinanti.
Def.
P
p q P
Determinante Il determinante di una matrice A M11 R
c R è c stesso.
Il determinante di una matrice A M22 R è definito nella maniera seguente:
det
P
a
c
p q
b
d
ad bc
Per poter definire il determinante di matrici di ordine superiore, si necessita di
altre definizioni.
Achtung!!
Il determinante si può calcolare solo per matrice quadrate!
11 / 41
Algebra Lineare
Determinante
Algebra lineare: richiami.
Def.
P
p q
Minore complementare Data una matrice A Mnn R si definisce minore
complementare dell’elemento di posto i, j (e si indica con Mij ) il
determinante della matrice che si ottiene eliminando da A l’i-esima riga e la
j-esima colonna
Ad esempio, se si volesse calcolare M21 della seguente matrice si avrebbe
1
0
9
3
3
2
0
0 1
ñ M21 det
3
2
0
1
31203
Def.
Complemento algerico Si definisce complemento algebrico dell’elemento di
posto i, j (e si indica con Cij ) il termine
1 i j Mij , dove Mij è il rispettivo
minore complementare.
p q
Nell’esempio precedente:
C21
p1q2 1 3 3
12 / 41
Algebra Lineare
Determinante
Algebra lineare: determinante.
Def. (Determinante, Laplace)
P
p q
Il Determinante di una matrice A Mnn R è dato dalla somma degli
elementi di una qualunque riga (o colonna) moltiplicati per i rispettivi
complementi algebrici.
Se si volesse calcolare il determinante di una matrice A rispetto alla riga i si
avrebbe
det A
ai 1 Ci 1 ai 2 Ci 2
ain Cin
p q
rispetto alla colonna j invece
p q a1j C1j
det A
a2j C2j
anj Cnj
Remark
Il determinante non dipende dalla particolare riga o colonna rispetto a cui si
sviluppa, inoltre svilupparlo per righe o per colonne è indifferente.
13 / 41
Algebra Lineare
Determinante
Algebra lineare: determinante.
Ad esempio, se
A
1
0
9
3
3
2
0
0 1
allora, sviluppando secondo la prima colonna
p q 1C11 0C21
p1q2det 32
3 03
det A
9C31
0
1
p1q4 det
9
3
3
0
0
Secondo la seconda riga
p q 0C21 3C22
4
3p1q det
3
det A
0C23
1
9
0
1
14 / 41
Algebra Lineare
Determinante
Proprietà del determinante
Il determinante di una matrice quadrata gode delle seguenti proprietà:
se due colonne (o righe) sono uguali allora il determinante è nullo;
Il valore del determinante rimane immutato se si aggiunge ad una tiga
(colonna) un’altra riga (colonna) moltiplicata per uno scalare;
se si scambiano due righe (colonne) il determinante cambia di segno;
p q detpAt q
detpAB q detpAqdetpB q
det A
Curiosità
Il valore assoluto del determinante di una y
matrice bidimensionale è l’area del parallelogramma che ha per lati le colonne
della matrice.
A
A
1
2
3
1.5
p1, 2q
|detpAq| 4.5
p3, 1.5q
x
Il risultato si generalizza a n dimensioni.
15 / 41
Algebra Lineare
Determinante
Determinante, Matlab
Per fortuna MatLab ci viene in aiuto e ci consente di calcolare il determinante
in maniera comoda:
A
1
0
9
3
3
2
0
0 1
>> A = [1 3 0; 0 3 0; 9 2 1 ]
A =
1
3
0
0
3
0
9
2
1
>> det ( A )
ans =
3
Achtung!
Attenzione alle matrici di determinante prossimo allo zero.
A
1
4
7
2
5
8
3
6 9
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
>> det ( A )
ans =
6.6613 e -16
16 / 41
Algebra Lineare
Rango
Algebra Lineare: rango.
Def. (rango)
P
p q
Si definisce rango di una matrice A Mnn R l’ordine del minore più alto
diverso da zero estraibile dalla matrice A.
A
1
0
9
3
3
2
0
0 1
B
1
0
9
3
0
2
0
0 1
A ha rango 3 mentre B ha rango 2.
Theorem
Una matrice A
P Mnn pRq ha rango n se e soltanto se det(A) 0
In MatLab il rango si calcola con il comando rank:
>> A = [1 3 0; 0 0 0; 9 2 1 ];
>> rank (A )
ans =
2
17 / 41
Algebra Lineare
Matrice Inversa
Algebra Lineare: matrice inversa.
Def. (Matrice inversa)
P
p q
Data A Mnn R si definisce la matrice inversa una matrice B
tale che BA In , e si scrive B A1 .
Si ha che A1 A
AA1 I .
P Mnn pRq
Theorem
A
P Mnn pRq ammette inversa A1 se e soltanto se detpAq 0. In tal caso
A1
t
detMpAq
dove M t è la trasposta della matrice dei complementi algebrici.
In MatLab non è necessario calcolare tutti i complementi algebrici nè il
determinante, basta usare i comandi inv(A) oppure A^(-1).
18 / 41
Sistemi lineari
Matrici e sistemi
Matrici e sistemi lineari
Esaminiamo il seguente sistema lineare:
$
x1
'
'
'
'
&
'
'
'
'
%
Indicando
A
1
4
1
2
0
1
4x1
x1
3x3 0
2x2
2x3
x2
3
6
1
x3
2 x
1
x1
x2 b
x3
0
6 1
allora è possibile scrivere il sistema lineare in forma matriciale e compatta
Ax
b
La prima equazione nel dettaglio:
A1 , x ¡ b1
p1, 2, 3q , px1 , x2 , x3 qt ¡ 0
x1 2x2 3x3 0
t
19 / 41
Sistemi lineari
Matrici e sistemi
Matrici e sistemi lineari: Gauss-Jordan
Per risolvere questo sistema applichiamo il metodo di Gauss-Jordan:
Matrice completa del sistema A b .
p |q
1
4
1
2
0
1
3
2
1
0
6 1
T = [A , b ];
III riga - I riga
1
4
0
2
0
3
3
2
4
0
6 1
T (3 ,:) = T (3 ,:) - T (1 ,:);
Scambio della II riga e della III
1
0
4
2
3
0
3
4
2
0
1 6
T ([3 2] ,:) = T ([2 ,3] ,:);
20 / 41
Sistemi lineari
Matrici e sistemi
Matrici e sistemi lineari: Gauss-Jordan
riga III - 4(riga I)
1
0
0
2
3
8
3
4
14
0
1 6
T (3 ,:) = T (3 ,:) -4* T (1 ,:);
III riga - 38 (II riga)
1
0
0
2
3
0
3
4
10
3
0
1 T (3 ,:) = T (3 ,:) -8/3* T (1 ,:);
10
3
E ora si può procedere con la sostituzione all’indietro. Banalmente, x3
dall’ultima riga. Per la seconda equazione
3x2
1 ñ x2 1
4 1
1
T (2 ,:) = T (2 ,:)/ T (2 ,2);
T (2 ,:) = [0 1 0 T (2 ,4) - T (2 ,3)];
E si procede nello stesso modo per la prima equazione.
21 / 41
Sistemi lineari
Matrici e sistemi
Matrici e sistemi lineari: Gauss-Jordan
Questo metodo però non pare essere molto comodo, sopratutto quando si
devono risolvere sistemi lineari con ben più di 3 equazioni e 3 incognite. In
MatLab è implementato questo algoritmo appena descritto utilizzando
l’operatore di backslash \:
>> A \ b
ans =
1
1
1
il risultato dell’operazione è la soluzione
del sistema.
Un altro metodo è l’utilizzo del comando rref:
>> rref ([ A , b ])
ans =
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
Come input del comando è necessario
porre la matrice dei coefficienti con la
colonna dei termini noti. Nel caso preso
in esempio, A M3 R , quindi A b
M34 R . Il risultato del comando rref
è una matrice 4 3 dove l’ultima colonna
rappresenta la soluzione del sistema.
p q
P
p q
p | qP
22 / 41
Sistemi lineari
Matrici e sistemi
Matrici: operatori backslash e slash
Il comando A\B quando A e B sono matrici restituisce una matrice le cui
colonne sono le soluzioni dei sistemi lineari con vettore dei termini noti uguali
alle colonne di B. Ad esempio:
>> A = [3 ,4; 7 8]
A =
3
4
7
8
>> B = [1 2 ; 6 9]
B =
1
2
6
9
>> A \ B
ans =
4.0000
-2.7500
Equivale quindi a calcolare A1 B.
5.0000
-3.2500
>> A \ B (: ,1)
ans =
4.0000
-2.7500
23 / 41
Sistemi lineari
Matrici e sistemi
Matrici: operatori backslash e slash
Il comando A/B invece calcola BA1
A/B
ans =
-1.0000
-5.0000
0.6667
2.0000
Equivale quindi a calcolare (B’\A’)’.
Per capire ed avere maggiori informazioni sugli operatori aritmetici, digitare ad
esempio doc \ nella shell e navigare nel help browser di MatLab.
24 / 41
Sistemi lineari
Matrici e sistemi
Matrici e sistemi lineari: Cramer
Nel caso in cui si abbia un sistema quadrato (cioè a n equazioni in n incognite)
si può decidere di utilizzare il metodo di Cramer, dove la componente xi del
vettore delle soluzioni è data da
xi
det
A1 , A2 , . . . Ai 1 , b, Ai
det A
1
p q
. . . An
ma non è molto conveniente computazionalmente parlando, in quanto richiede
il calcolo di n 1 determinanti, molto costosi da calcolare.
Ad esempio,
1 2
x1
0
4 5
2
x2
perciò
x1
det
det
0
2
2
5
1
4
2
5
43
x2
det
det
1
4
0
2
1
4
2
5
23
25 / 41
Sistemi lineari
Matrici e sistemi
Matrici e sistemi lineari: inversa
Un’altra idea (malsana) potrebbe essere ispirata dalla scrittura Ax b: se
det A
0, allora possiamo calcolare l’inversa A1 e scrivere la soluzione
p q
A1b
dato che Ax b A1 Ax A1 b Ix A1 b
x
In effetti, concettualmente parlando non è niente di diverso da risolvere
un’equazioni di primo grado come 7x 14, dove moltiplichiamo a destra e a
sinistra per l’inverso di 7 e otteniamo x 2.
Il problema risiede nel fatto che il calcolo dell’inversa della matrice è molto
dispendioso: infatti il tempo impiegato per risolvere il sistema Ax b
tramite il comando inv(A)*b è due o tre volte superiore rispetto al tempo
impiegato da A\b.
A = rand (1000);
b = rand (1000 ,1);
tic
inv ( A )* b ;
toc
tic
A\b;
toc
Si crea la matrice quadrata con
1000 1000 elementi, e un vettore b
di 1000 elementi. Si risolve il sistema
Ax
b prima con il metodo A1 b, poi
con A\b e si confrontano i tempi con tic
e toc.
26 / 41
Sistemi lineari
Grafica
Grafica 2D
f px q nel piano cartesiano, dove
f px q x sinpx q
Supponiamo di voler plottare la funzione y
In MatLab è presente l’istruzione plot che ci consente di creare grafici
bidimensionali. Ricordando la sintassi vettoriale di MatLab, abbiamo:
60
40
20
>> x = -20* pi :0.1:20* pi ;
>> y = x .* sin ( x );
>> plot (x , y )
0
−20
−40
−60
−80
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
MatLab collega con una linea i punti [x(i),y(i)] e [x(i+1),y(i+1)]: più
punti di discretizzazione creiamo, migliore qualità visiva avrà il grafico.
27 / 41
Sistemi lineari
Grafica
Grafica 2D
È possibile personalizzare in vari modi il grafico:
x = -20* pi :0.1:20* pi ;
y = x .* sin ( x );
plot (x , y )
hold on
plot (x , -x , ’r - - ’ , ’ Linewidth ’ ,2)
plot (x ,x , ’ k : ’ , ’ Linewidth ’ ,3)
axis ([ -60 60 -60 60])
box off
h = legend ( ’ $y = x \ sin ( x ) $ ’ ,...
’y = - x ’ ,...
’y = x ’ ,...
’ Location ’ , ’ North ’ );
set (h ,...
’ Interpret e r ’ , ’ Latex ’ )
60
y = x sin(x)
y=-x
y=x
40
20
0
−20
−40
−60
−60
−40
−20
0
20
40
60
Ignoriamo il comando set(h,’Interpreter’,’Latex’).
I tre puntini ... consentono di scrivere un’istruzione MatLab su più righe, ma
il programma legge l’intera istruzione come se fosse su di una riga unica.
28 / 41
Sistemi lineari
Grafica
Grafica 2D
Vediamo nel dettaglio i vari comandi.
™
™
Linewidth consente di specificare lo spessore della linea. Di default è 1.
dopo aver dichiarato la variabile indipendente (x) e quella indipendente
(y), si possono specificare i colori, lo stile e i marker dei punti.
le lettere r,b,k,c,y,m identificano i colori della linea: red, blue, black,
cyan, yellow, magenta;
le scritture -, .-, :, -- identificano lo stile della linea: continuo,
punto-linea, punteggiata, tratteggiata.
le scritture o,+,h,... identificano lo stile dei markers: tondo, +, esagonali,
etc...
™
™
™
È possibile inserire tutte queste opzioni in un’unica chiamata: ad esempio
’sm.-’ disegna una linea di color magenta, con markers quadrati e una
linea punteggiata e tratteggiata.
axis([x1 x2 y1 y2]) consente di limitare la visualizzazione tra x1 e x2
per l’asse delle ascisse e fra y1 e y2 per l’asse delle ordinate;
legend consente di disegnare la legenda del grafico, mettendo fra apici le
descrizione delle linee del grafico nell’ordine in cui son state plottate.
box off consente di eliminare la scatola che appare attorno al grafico
29 / 41
Sistemi lineari
Grafica
Sistemi lineari: interpretazione grafica
Nel caso in cui dovessimo risolvere il seguente sistema lineare
"
3x 4y 2
x y 5
Ñ
"
y
y
34 x
x 5
1
2
i comandi MatLab sono i seguenti:
x = -10:0.1:10;
y1 = -3/4* x +0.5;
y2 = x -5;
hold on
plot (x , y1 , ’r ’ )
plot (x , y2 , ’b ’ )
A = [3 4 ; 1 -1];
b = [2 ;5];
sol = A \ b ;
plot ( sol (1) , sol (2) , ’ or ’ , ’ Markersize ’ ,5 , ’ M a r k e r f a c e c o l o r ’ , ’b ’)
legend ( ’y = -0.75 x +0.5 ’ , ’y =x -5 ’ , ’ sol ’)
xlabel ( ’x ’ ) % Per dare un ’ etichetta all ’ asse x
ylabel ( ’y ’ ) % Per dare un ’ etichetta all ’ asse y
title ( ’ Soluzione grafica ’ ) % Per dare un titolo al grafico
30 / 41
Sistemi lineari
Sistemi indeterminati
Sistemi con soluzione NON unica
Non si può essere sempre fortunati:
$
3x
'
'
'
'
&
'
'
'
'
%
x
6x
4y z 2
y
z
$
& 3x
3
8y 2z 4
Ñ%
x
4y z 2
y
z
3
che ha quindi come soluzione
$
'
'
& x
'
'
% y
2 37 z
1 47 z
p
q Possibili soluzioni sono quindi triplette come 2, 1, 0 ,
del tipo
2
3
z, 1
7
4
z, z ,
7
z
17 3
, , 1 , . . . : cioè
7 7
PR
31 / 41
Sistemi lineari
Sistemi indeterminati
Sistemi con soluzione NON unica in MatLab
Come si può risolvere un problema del genere in MatLab? Nel seguente modo:
>> A = [3 -4 -1; 1 1 1; 6 -8 -2];
>> b = [2; 3; 4];
>> R = rref ([ A , b ])
R =
1.0000
0
0.4286
2.0000
0
1.0000
0.5714
1.0000
0
0
0
0
La matrice R equivale
alla scrittura:
$
& x
0x
%
0x
0y 0.4286z
y 0.5714z
0y 0z 0
2
1
Per poter dire a MatLab di considerare z come un parametro utilizziamo il
comando syms. ı̀
>> syms x3
>> x_temp = [ - x3 * R (1:2 ,3)+ R (1:2 ,4)];
>> sol = [ x_temp ; x3 ];
In questo modo il calcolatore vede x3 non come una variabile numerica ma
come una variabile simbolica.
Per calcolare una particolare soluzione (i.e. dare ad x3 un particolare valore) si
utilizza il comando subs:
subs ( sol , x3 ,0)
ans =
2
1
0
32 / 41
Sistemi lineari
Sistemi indeterminati
Teoremi sull’esistenza delle soluzioni di un sistema
Theorem
Un sistema lineare Ax
0
soltanto se det A
p q
b, con A P Mnn pRq, ha un’unica soluzione se e
Theorem (Rouché-Capelli)
P
p q
p q
Un sistema lineare Ax b con A Mmn R ha soluzioni se e soltanto se
rank A
rank A b . In caso esistano soluzioni, allora esse formano uno
sottospazio affine di dimensione n rank A .
p q
p |q
In MatLab possiamo verificare l’esistenza di soluzioni (uniche o meno)
utilizzando questi due teoremi e i comandi det e rank.
A = [3 -4 -1; 1 -4/3 -1/3; 6 -8 -2];
b = [2; 3; 4];
rankA = rank ( A );
rankAb = rank ([ A , b ]);
if rankA == rankAb
fprintf ( ’ Il sistema Ax = b ha soluzione \ n ’ );
else
fprintf ( ’ Il sistema Ax = b non ha soluzione \ n ’ );
end
33 / 41
Spazi vettoriali
Combinazioni lineari
Spazi vettoriali: alcune definizioni fondamentali
Def.
Dati v1 , . . . , vq vettori una loro combinazione lineare è un’espressione del tipo
a1 v1
. . . aq vq
P
dove ai R.
I vettori w1 , . . . , wq si dicono linearmente indipendenti se
q
¸
i
1
ai wi
0 ñ ai 0 i 1, . . . , q
In caso contrario si dicono linearmente dipendenti.
p q p16, 8q sono linearmente dipendenti in quanto
1p16, 8q 8p2, 1q p0, 0q
I vettori 2, 1 e
34 / 41
Spazi vettoriali
Combinazioni lineari
Combinazioni lineari e matrici
Osserviamo in dettaglio il prodotto matrice vettore Ax
4
2
1
6
3
2
2
2
3 3 1
2
y:
30
19 10
Il vettore y è una combinazione lineare delle colonne della matrice A:
30
19 10
4
2 2 1
6
3 3 2
2
2 3 1
Indicando con Aj la colonna j-esima della matrice A e con xi la componente
i-esima del vettore x, possiamo scrivere
y
x1 A1
x2 A2
x3 A3
35 / 41
Spazi vettoriali
Basi
Spazi vettoriali: alcune definizioni fondamentali
Ricordando la definizione di spazio vettoriale, si riportano le seguenti
Def.
Un sottoinsieme U di uno spazio vettoriale V prende il nome di sottospazio
vettoriale se son verificate le seguenti condizioni:
1
2
3
0
PU
u1, u2 P U, u1 u2 P U
α P R, u P U αu P R
Def.
Una base di uno spazio vettoriale è un insieme di generatori linearmente
indipendenti. Il numero dei vettori appartenenti alla base prende il nome di
dimensione dello spazio vettoriale.
Uno spazio vettoriale può avere più basi, ma avran tutte la stessa dimensione.
Data una base, un vettore è esprimibile in un unico modo in quella determinata
base.
36 / 41
Spazi vettoriali
Basi
Spazi vettoriali: basi
tp q p qu
Ad esempio, R2 può avere le seguenti due basi: B
1, 0 , 0, 1 e
B1
1, 1 , 1, 1 . Il vettore 2, 2 ha coordinate in base B (2,2), mentre in
base B1 ha coordinate 2, 0 :
tp q p qu
3
p q
p q
3
(2,2)
(2,2)
2
2
1
1
(0,1)
y
y
(1,1)
0
(0,0)
0
(0,0)
(1,0)
−1
−1
(1,−1)
−2
−3
−3
−2
−2
−1
0
x
1
2
3
−3
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
A sinistra sono plottati i vettori della base B, mentre a destra i vettori della
base B1 . In rosso sono rappresentati i percorsi da fare nei due casi per
raggiungere il vettore (2,2).
37 / 41
Spazi vettoriali
Basi
Matrici e basi
Def.
p q
P
p q
Lo spazio delle colonne, o R A , di una matrice A Mmn R è dato da tutti i
possibili prodotti del tipo Ax, con x di dimensioni opportune.
Un sistema lineare Ax
b ha soluzione se e soltanto se b P R pAq.
Ricordando che il prodotto Ax è una combinazione lineare delle colonne della
matrice A, possiamo dire che le colonne di A sono linearmente indipendenti
se e soltanto se il sistema Ax 0 ha come unica soluzione x 0, ossia il
vettore nullo.
Def.
Il nucleo, o kernel, di A è dato da tutti i vettori x̃ per cui Ax̃
0:
p q tx̃ P Rm |Ax̃ 0u
N A
p qt u
Quindi, se N A
0 , i.e. è costituito da solo il vettore nullo, allora le
colonne di A sono l.i.; altrimenti, cioè se esistono vettori y diversi da quello
nullo per cui Ay 0, sono l.d.
38 / 41
Spazi vettoriali
Matrici e Basi
Matrici e basi, esempio
p
q
p
q
Supponiamo di avere i seguenti vettori: v1
1, 4, 0, 1 , v2
2, 2, 3, 0 ,
v3
1, 1, 2, 1 , v4
1, 2, 1, 4 . Si vuole capire se sono linearmente
indipendenti o meno. Per farlo, si scrive
p q
p xv1
y v2
q
zv3
0
tv4
x, y , z, t
PR
Si cercano x, y , z, t per cui l’uguaglianza è verificata. Nel caso in cui
px, y , z, t q p0, 0, 0, 0q, allora i vi sono linearmente indipendenti, altrimenti
sono linearmente dipendenti. Quindi:
1
4 Æ
Æ
x
0 1
2
2 Æ
Æ
y
3 0
che equivale a dover risolvere
1
1
z
Æ
Æ
2 1
t
1
2 Æ
Æ
1 4
0
0 Æ
Æ
0 0
$
x 2y z t 0
'
'
'
'
'
'
'
'
z 2t 0
& 4x 2y
'
'
3y
'
'
'
'
'
'
%
x
2z
1t
0
z 4t 0
39 / 41
Spazi vettoriali
Matrici e Basi
Matrici e basi, esempio. Un altro.
p
q
p
q
Supponiamo di avere i seguenti vettori: v1
1, 4, 0, 1 , v2
2, 2, 3, 0 ,
v3
1, 1, 2, 1 . Si vuole capire se sono linearmente indipendenti o meno.
Per farlo, si scrive
xv1 y v2 zv3 0 x, y , z R
p q
P
Si cercano x, y , z per cui l’uguaglianza è verificata. Nel caso in cui
px, y , z, p0, 0, 0q, allora i vi sono linearmente indipendenti, altrimenti sono
linearmente dipendenti. Quindi:
1
4 Æ
Æ
x
0 1
2
2 Æ
Æ
y
3 0
z
1 1 ÆÆ 2 1
0
0 Æ
Æ
0 0
che equivale a dover risolvere
$
x 2y z
'
'
'
'
'
'
'
'
z
& 4x 2y
0
0
'
'
3y
'
'
'
'
'
'
%
x
2z
0
z 0
40 / 41
Spazi vettoriali
Matrici e Basi
Lineare indipendenza e rango
Remark
Il rango di una matrice corrisponde al numero di colonne (o righe) linearmente
indipendenti della matrice stessa.
A
d esempio, se si dovesse verificare quale dei seguenti vettori sono linearmente
indipendenti, si considerano come colonne di una matrice A e se ne calcola il
rango.
1, 1, 1 , v2
3, 6, 1 , v3
1, 2, 1 , v4
6, 12, 2 , v5
2, 2, 2 .
v1
p
q
p
q
p
q
p
q
p q
>> A = [1 1 1
3 6 1
1 2 1
6 12 2
-2 -2 -2] ’;
>> rank (A ) % o anche rref ( A )
41 / 41