Compitino II di Meccanica Quantistica II

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Compitino II di Meccanica Quantistica II
Università degli Studi di Pisa
30 maggio 03 (A.A. 02/03)
Problema 1.
L’atomo di un elemento sconosciuto ha nel suo stato fondamentale un certo numero
di strati completamente occupati; i due elettroni di valenza sono nello strato più
esterno con = 2.
i) Dire quanti stati possibili, permessi della statistica di Fermi-Dirac, ci sono per i
due elettroni equivalenti dello strato esterno;
ii) Dire quali sono i valori possibili del momento angolare orbitale totale e dello spin
totale dell’atomo, (L, S). Verificare che il numero totale di stati corrispondenti
a questi valori di (L, S) coincide con quello del punto i).
iii) Tenendo conto della regola di Hunt e delle interazioni spin-orbita, trovare i numeri
quantici S LJ dello stato fondamentale dell’atomo in questione.
Problema 2.
In un modello a shell nucleare, lo stato di un nucleo è descritto in termini di nucleoni
(protoni e neutroni, ambedue di spin 1/2) che si muovono indipendentemente in un
potenziale efficace comune a simmetria centrale V (r), come nell’approssimazione di
elettroni indipendenti per gli atomi. Supponiamo inoltre che il potenziale efficace per
un singolo nucleone sia approssimata da una buca tridimensionale,
p2
+ V (r),
H=
2m
V (r) =
−V0 , r ≤ a,
0,
r > a,
(1)
con
m = 940 MeV,
V0 = 50 MeV,
a = 3 fm.
(2)
Un’analisi numerica dà tre livelli energetici En, (in MeV):
E1,0 = −34.6,
E1,1 = −19.2,
(I valori numerici non sono realisitici. )
1
E1,2 = −1.4.
(3)
i) Dire quali sono i numeri quantici (L, S) dello stato fondamentale e del primo stato
eccitato del nucleo 42 He e rispettivi gradi di degenerazioni, in questa approssimazione. Dire qual’è l’energia del primo stato di eccitazione (rispetto a quello
fondamentale). Con A
Z (SimboloElemento) sono indicati il numero atomico (Z) e
il numero di massa (A) del nucleo atomico dell’elemento.
ii) Tenendo conto che ci sono delle correzioni di tipo spin orbita
VSP = v(r) · s,
v(r) < 0,
(4)
per ogni nucleone nello strato (n, ), determinare lo spin e parità (J P ) dello stato
fondamentale del nucleo,
17
8 O.
2
SOLUZIONE
Problema 1.
i) Ci sono 2 × 5 = 10 stati nello strato (3d) tenendo conto di spin e le funzione
d’onda orbitale. Dunque ci sono
10
= 45
2
(5)
stati possibili. (45 possibili determinanti di Slater.)
ii) Lo spin totale è o S = 1 (funzione d’onda di spin simmetrico) o S = 0 (funzione
d’onda di spin anti-simmetrico). La funzione d’onda orbitale dei due elettroni
deve essere allora antisimmetrica (L = 3, 1) per S = 1; simmetrica (L = 4, 2, 0)
per S = 0. Il numero totale degli stati è perciò:
3 · (7 + 3) + 1 · (9 + 5 + 1) = 45,
(6)
in accordo con il risultato del punto i).
iii)
(L, S; J)
J(J + 1)
L(L + 1)
S(S + 1)
L·S
(4, 0; 4)
(2, 0; 2)
(0, 0; 0)
(3, 1; 4)
(3, 1; 3)
(3, 1; 2)
(1, 1; 2)
(1, 1; 1)
(1, 1; 0)
20
6
0
20
12
6
6
2
0
20
6
0
12
12
12
2
2
2
0
0
0
2
2
2
2
2
2
0
0
0
3
−1
−4
1
−1
−2
Table 1:
iv) Dalla regola di Hund, sappiamo che gli stati con (L, S) = (3, 1) sono più bassi
in energia. Tra essi, l’interazione spin-orbita è la più attrattiva nello stato
(L, S, J) = (3, 1; 2), poiché la costante di fronte a (L · S) è positiva in questo
caso (lo strato esterno occupato meno della metà), lo stato fondamentale è
3
3
F2
(7)
Problema 2.
i) Avendo quattro stati di nucleone
|p ↑,
|p ↓,
|n ↑,
|n ↓
(8)
a disposizione, lo stato fondamentale dell’elio è quello in cui il livello
(n = 1, = 0) è occupato da quattro nucleoni; non c’è degenerazione nello stato
fondamentale. (L, S) = (0, 0).
Il primo stato di eccitazione della (1) è tre volte degenere,
(, m) = (1, 1), (1, 0), (1, −1). Il nucleone che sta nel primo livello eccitato può
essere un protone o un neutrone (degenerazione 2 per l’isospin). In ciascun caso
due nucleoni dello stesso tipo (due protoni, per es.), uno eccitato e uno nel
livello fondamentale, hanno le funzione d’onda simmetrica o antisimmetrica
√
(ψ (ecc) (1)ψ (f ond) (2) ± ψ (ecc) (2)ψ (f ond) (1))/ 2,
(9)
per lo stato di spin Spp = 0 (spin antiparalleli) o Spp = 1 (spin paralleli),
rispettivamente. Tenendo conto della tripla degenerazione del primo livello
( = 1, m = 1, 0, −1), il grado della degenerazione totale è:
2 · 3 · (3 + 1) = 24.
(10)
Il numero quantico del primo stato eccitato del nucleo è (L, S) = (1, 1) oppure
(L, S) = (1, 0).
ii) Nel nucleo 17
8 O i quattro nucleoni occupano lo strato, (1, 0), i dodici nucleoni
occupano completamente lo strato (1, 1), complessivamente formando
(L, S) = (0, 0). Un neutrone di esubero è nel secondo stato eccitato, (1, 2), con
s = 12 , = 2. Tenendo conto delle interazioni spin-orbita, si trova che lo stato
fondamentale ha
5
(11)
J P = ( )+ .
2
4
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