bosoni

011205
1. Notazione β degli stati di spin
Stati di tripletto e singoletto di due elettroni:
 (1) (2),  (1)  (2),
1 [ (1)  (2)   (1) (2)] .
2
(1)
Completezza:
|  (1) (2) |2  |  (1)  (2) |2  12 |  (1)  (2)   (1) (2) |2  12 |  (1)  (2)   (1) (2) |2 
 [|  (1) |  |  (1) | ][|  (2) |  |  (2) | ]  1
2
2
2
2
(2)
da cui la normalizzazione:
|  (i) |2  |  (i) |2  1
(3)
Ricorda: |  (i) |2 è la probabilità di trovare l’elettrone i-esimo con spin su ( ms   12 ); |  (i) |2 è la
probabilità di trovare l’elettrone i-esimo con spin giù ( ms   12 ).
2. Repulsione coulombiana tra due elettroni
Calcolo il valore d’aspettazione dell’interazione coulombiana
H12  
e2
1
40 | r1  r2 |
(5)
tra due elettroni con posizioni r1 ed r2 nello stato
ab (r1, r2 ; s' , ms )  1 [a (r1)b (r2 )  b (r1)a (r2 )] ab ( s' , ms ) .
2
(6)
Ho caratterizzato lo stato degli spin mediante i numeri quantici totali s’ = 1 (con ms = 1,0,-1) per gli
stati simmetrici di tripletto (per i quali si sceglie il segno – nella f. d’onda orbitale) ed s’ = 0 (con ms
= 0) per lo stato anti-simmetrico di singoletto (per il quale si sceglie il segno + nella f. d’onda
orbitale). La funzione d’onda di spin è definita da
 ab (1,1)   (1) (2);  ab (1,1)   (1)  (2);  ab (1,0) 
 ab (0,0) 
1 [ (1)  (2)   (1) ( 2)]
2
1 [ (1)  ( 2)   (1) ( 2)]
2
(7)
ed è implicitamente assunta normalizzata a 1. Si nota che gli indici a e b non entrano nei secondi
membri e quindi non sono necessari nella funzione di spin, salvo ricordare che aa esiste solo come
singoletto. L’elemento di matrice è dato da:
ab, s ' ms H12 ab, s ' ms 

e2
4o
e2
4o
3
3
 d r1 d r2
| ab (r1 , r2 ; s ' , ms ) |2
| r1  r2 |
3
3
 d r1 d r2
|  a (r1 ) |2 | b (r2 ) |2  a (r1 )b (r1 ) a (r2 )b (r2 )
| r1  r2 |
(8)
KJ
La parte di spin, su cui H12 non opera, dà un fattore 1 e scompare. Ne rimane memoria nel doppio
segno che vale – per gli stati di tripletto e + per lo stato di singoletto. K è l’integrale coulombiano e
dà l’interazione coulombiana classica; J è la correzione quantistica, detta integrale di scambio.
Deriva dall’indistinguibilità delle particelle quantistiche uguali. La repulsione coulombiana, a parità
di distanza, è minore tra elettroni nello stato di tripletto che tra elettroni nello stato di singoletto. La
differenza di energia tra i due stati è pari a due volte l’energia (l’integrale) di scambio.
Se gli stati orbitali sono uguali (ad esempio abbiamo due elettroni sullo stato 1s, naturalmente con
spin opposti in uno stato di singoletto), la funzione d’onda dei due elettroni è data semplicemente da
1s1s (r1, r2 ;0,0)  1s (r1)1s (r2 )1s1s (0,0)
(9)
e l’elemento di matrice (8) contiene solo il temrine classico K.
Esercizio 1: due atomi di 4He (bosoni a spin 0) su due stati a e b interagiscono con un’attrazione di
van der Waals (potenziale: -C6/r6). Discutere il corrispondente termine di scambio che corregge
l’attrazione classica (tenendo presente che ora l’energia potenziale di attrazione è negativa).
Esercizio 2: discutere ora il caso di due bosoni con spin 1 (ad esempio due molecole di ortoidrogeno nello stato fondamentale) che si attraggono con un potenziale simile a quello precedente.
Determinare prima di tutto gli stati di spin del sistema (dove s’= 2,1,0 e quindi si hanno stati di
quintetto, tripletto e singoletto ... )