LICEO SCIENTIFICO “A. EINSTEIN”
CLASSE IV E
A. S. 2015/2016
PROGRAMMA DI MATEMATICA
prof.ssa Maria Caggegi
Riepilogo degli argomenti svolti nell’anno scolastico precedente.
- Funzioni e relative proprietà. La funzione esponenziale e la funzione logaritmica.
- Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche, con valore assoluto.
- Geometria analitica..
Goniometria
- Archi e angoli, definizione di angolo orientato. misura in gradi sessagesimali e
sessadecimali, misura in radianti, formule di trasformazione.
- Circonferenza goniometrica. Funzioni goniometriche: seno, coseno, tangente,
cotangente, secante, cosecante. Funzioni goniometriche inverse.Periodicità e grafici.
Relazioni goniometriche fondamentali. Le funzioni goniometriche di angoli particolari.
- Espressione delle funzioni goniometriche tramite una sola di esse.
- Archi associati: archi supplementari, archi le cui misure differiscono di 180°, archi
opposti, archi esplementari, archi complementari, archi le cui misure differiscono di 90°,
riduzione al primo quadrante.
- Formule goniometriche: formule di addizione e sottrazione, formule di duplicazione,
formule di bisezione, formule parametriche razionali, formule di Werner, formule di
prostaferesi.
- Significato goniometrico del coefficiente angolare di una retta. Tangente dell’angolo
formato da due rette.
- Identità ed equazioni goniometriche, equazioni elementari o riconducibili ad elementari,
equazioni lineari in seno e coseno, equazioni omogenee o riconducibili ad omogenee.
- Sistemi di equazioni goniometriche.
- Disequazioni goniometriche: disequazioni elementari o riconducibili ad elementari,
disequazioni lineari, disequazioni omogenee, disequazioni goniometriche fratte e di
prodotto. Sistemi di disequazioni goniometriche.
- Metodi grafici con l’uso della circonferenza goniometrica.
Trigonometria
- Teoremi sui triangoli rettangoli. Risoluzione dei triangoli rettangoli. Area di un triangolo.
Teorema della corda. Problemi di geometria piana risolubili con l’ausilio della
trigonometria.
- I triangoli qualunque Teorema dei Eulero. Teorema di Carnot. Risoluzione dei triangoli
qualunque. Applicazioni della trigonometria alla risoluzione di problemi con equazioni,
disequazioni e funzioni goniometriche.
Numeri complessi
- I numeri complessi: definizioni, proprietà, operazioni. Unità immaginaria e numeri
complessi immaginari puri.
- Forma algebrica dei numeri complessi: modulo, numeri complessi coniugati, numeri
complessi opposti, operazioni, potenze con numeri immaginari.
- Rappresentazione geometrica dei numeri complessi: vettori, il piano di Gauss.
- Coordinate polari, relazioni tra coordinate polari e coordinate cartesiane, equazioni di
rette e curve in coordinate polari.
- Forma trigonometrica dei numeri complessi: moltiplicazione, divisione, potenza con
esponente intero, formula di De Moivre, radici n-esime dell’unità e radici n-esime di un
numero complesso scritto in forma trigonometrica..
- Equazioni nell’insieme dei numeri complessi.
- Forma esponenziale di un numero complesso, formule di Eulero.
Analisi numerica
- Il numero delle soluzioni di un’equazione polinomiale: le funzioni polinomiali, il numero
massimo delle soluzioni reali di un’equazione polinomiale e loro esistenza nel campo
reale, teorema fondamentale dell’algebra e numero di soluzioni complesse di
un’equazione polinomiale a coefficienti reali e a coefficienti complessi.
- Il calcolo approssimato di una soluzione: separazione delle soluzioni, il metodo di
bisezione.
Trasformazioni geometriche
- Trasformazioni geometriche lineari piane: definizioni, proprietà, equazioni di una
trasformazione geometrica. Trasformazione di grafici. Elementi uniti: punti uniti, rette
puntualmente unite e globalmente unite. Trasformazioni dirette e inverse. Composizione
di trasformazioni.
- Le isometrie.
- Simmetria assiale: definizione, proprietà ed equazioni rispetto agli assi coordinati e ad
una retta qualsiasi, composizione di simmetrie assiali.
- Simmetria centrale: definizione, proprietà ed equazioni rispetto all’origine e a un punto
qualsiasi, composizione di simmetrie centrali.
- Traslazione: definizione, concetto di equipollenza, proprietà ed equazioni, traslazione di
punti, rette e curve
- Glissosimmetria.
- Rotazione: definizione, proprietà, equazioni della rotazione con centro nell’origine degli
assi e con centro qualunque, composizione di rotazioni.
- Proprietà generali di una isometria, determinante, elementi uniti.
- Rappresentazione grafica delle coniche.
- Omotetia: definizione, rapporto di omotetia, proprietà ed equazioni con centro
nel’origine degli assi e centro qualunque.
- Similitudine: definizione e proprietà, rapporto di similitudine. Tipologia delle equazioni di
una similitudine: caso della similitudine diretta e della similitudine indiretta.
- Affinità: definizione, proprietà ed equazioni. Ricerca e definizione dei punti uniti. Affinità
diretta e indiretta. Condizioni affinché una affinità sia una isometria e condizioni
affinché sia una similitudine.
- Dilatazioni: rapporti di dilatazione, dilatazione rispetto l’asse x e rispetto l’asse y.
Dilatazione secondo entrambi gli assi.
- Le funzioni goniometriche e le trasformazioni geometriche.
Calcolo combinatorio
- I raggruppamenti. Le disposizioni semplici e con ripetizione. Le permutazioni semplici e
con ripetizione. La funzione n! Le combinazioni semplici e con ripetizione. Legge dei tre
fattoriali e legge delle classi complementari. I coefficienti binomiali: proprietà e formula
di ricorrenza, formula del binomio di Newton, formula di Stifel nel triangolo di Tartaglia.
Calcolo della probabilità
- Definizione di evento. Probabilità classica: definizione, evento impossibile, evento certo,
evento contrario, calcolo della probabilità di un evento con il calcolo combinatorio.
- Probabilità statistica. Probabilità soggettiva.
- Impostazione assiomatica della probabilità: definizione, spazio dei campioni, evento e
spazio degli eventi. La probabilità della somma logica di eventi: eventi compatibili e
incompatibili, teorema della probabilità totale.
- La probabilità condizionata: eventi stocasticamente indipendenti, eventi stcasticamente
dipendenti correlati positivamente o correlati negativamente.
- La probabilità del prodotto logico di eventi: teorema della probabilità composta per
eventi stocasticamente dipendenti o stocasticamente indipendenti.
- Le prove ripetute: teorema di Bernoulli.
- La disintegrazione e il teorema di Bayes.
Applicazioni degli argomenti trattati in esempi di vita reale, tratti da problemi o quesiti di
prove di esami di Stato o proposti alle Olimpiadi di Matematica o altri giochi matematici.
Alcuni esercizi sono stati proposti in lingua inglese.
Ricerca e utilizzo di applicativi web e app per smartphone o tablet per la rappresentazione
di grafici di funzioni.
GLI ALUNNI
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L’INSEGNANTE
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prof.ssa Maria Caggegi
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