indice - Poisson

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I NDICE
1
Definizioni e proprietà base
2
2
Assiomi di numerabilità e di separazione
3
3
Connessione e connessione per archi
4
4
Identificazioni e quozienti
5
5
Compattezza e simili
5
6
Lemma di Urysohn
7
7
Compattificazioni
8
8
Varietà topologiche
9
9
Gruppi topologici
10
10 Spazi metrici
10
11 Altro (1)
11
12 Esempi ed esercizi (1)
12
13 Omotopia e funtori π0 e π1
17
14 Rivestimenti
18
15 Altro (2)
23
16 Esempi ed esercizi (2)
25
1
1.
D EFINIZIONI E PROPRIET À BASE
Definizione. Una topologia su un insieme X è una famiglia T di sottoinsiemi di X che
• è stabile per unione arbitraria;
• è stabile per intersezione finita;
• contiene ∅ e X.
Gli insiemi di T si dicono aperti.
• Un sottoinsieme di X si dice chiuso se il suo complementare è aperto.
• La famiglia dei chiusi è stabile per intersezione arbitraria, unione finita, contiene X e ∅.
• (Parte interna) A◦ è l’unione di tutti gli aperti contenuti in A (che è un aperto contenuto in A).
• (Chiusura) A è l’intersezione di tutti i chiusi che contengono A (che è un chiuso che contiene A).
c
• A = (Ac )◦
Ac = (A◦ )c
(A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B ◦
(A ∪ B) = A ∪ B
• Base di aperti: una famiglia di aperti tale che ogni aperto si scrive come unione di elementi della base.
• Prebase: una famiglia le cui intersezioni finite formano una base di aperti.
• Intorno di un punto: un insieme che contiene un aperto che contiene il punto.
• Base di intorni di un punto: una famiglia di intorni del punto tale che ogni intorno del punto contiene
anche un elemento del sistema di intorni.
• Punto aderente ad un sottoinsieme: se ogni intorno del punto interseca il sottoinsieme.
• C è l’insieme dei punti aderenti a C.
• Topologia più fine: T è più fine di T 0 se T ⊇ T 0 . La topologia più fine di tutte è quella discreta, cioè
T = P(X). Quella meno fine di tutte è quella indiscreta, cioè T = {∅, X}.
• Data una qualsiasi famiglia A di sottoinsiemi di X, essa è una prebase della topologia meno fine tra
tutte quelle che contengono A (cioè l’intersezione di tutte le topologie che contengono A).
Definizione. Funzione continua (da X in Y ): se (sono equivalenti)
• Controimmagine di aperti è aperta.
• Controimmagine di chiusi è chiusa.
• x aderente ad A ⇒ f (x) aderente ad f (A) (cioè f (A) ⊆ f (A)).
• É continua in ogni punto (vedi sotto).
Nota: f −1 commuta con unione, intersezione e passaggio al complementare.
• Una funzione è continua in un punto x se per ogni intorno V di f (x) c’è un intorno U di x con
f (U ) ⊆ V .
• Composizione di funzioni continue è continua.
• S prebase di Y . f : X → Y continua ⇔ controimmagine di elementi di S è aperta.
• Funzione aperta: se manda aperti in aperti.
• Funzione chiusa: se manda chiusi in chiusi.
• Una funzione è un omeomorfismo se è una corrispondenza biunivoca che conserva la topologia.
Equivalente: continua bigettiva e con inversa continua.
2
• (Topologia di sottospazio) Un sottoinsieme Y di uno spazio topologico X ha la topologia di sottospazio data da T 0 := {T ∩ Y : T ∈ T } (cioè gli aperti nuovi sono gli aperti vecchi intersecati con il
sottoinsieme). É la topologia meno fine che renda continua l’applicazione di inclusione i : Y → X.
• La restrizione di una funzione continua ad un sottoinsieme (con topologia di sottospazio) è continua.
• Sottoinsieme denso: se ogni aperto di X contiene almeno un elemento del sottoinsieme.
• Sottoinsieme discreto: se la topologia di sottospazio è la topologia discreta, cioè se per ogni punto c’è
un aperto che interseca il sottoinsieme esattamente in quel punto.
• Immersione: f : X → Y è un’immersione se è un omeomorfismo tra X e f (X) (dove f (X) ha la
topologia di sottospazio di Y ). Le immersioni sono iniettive.
Lemma. f, g : X → Y continue e Y T2. Se f = g su un denso, allora f = g.
S
Lemma (Lemma di incollamento). Dato X =
Ai con Ai aperti e fi : Ai → Y continue, se per ogni x ∈ Ai ∩Aj
i∈I
vale fi (x) = fj (x) allora f : X → Y definita coincidente con le fi nei vari Ai è ben definita e continua.
Il lemma vale anche se I finito e Ai chiusi.
Q
Definizione. Dati Xi spazi topologici (i ∈ I) si definisce sul loro prodotto cartesiano i Xi la topologia prodotto
(topologia della convergenza puntuale) come la meno fine (cioè l’intersezione) tra tutte quelle che rendono continue le
proiezioni πi sulle componenti.
Q
• Proprietà universale del prodotto: f : Y → Xi continua ⇔ πi ◦ f continua per ogni i.
i
• Una base degli aperti si può ottenere cosı̀: scelgo un po’ di Xi , ma in numero finito, scelgo un aperto
per ognuno di questi, faccio il prodotto cartesiano degli aperti scelti e degli insiemi Xi non scelti;
metto questo aperto nella base.
• Una prebase è ottenuta prendendo un aperto di uno degli insiemi e facendone il prodotto cartesiano
con tutti gli altri insiemi.
2.
A SSIOMI DI NUMERABILIT À E DI SEPARAZIONE
• N1 se ogni punto ammette una base di intorni numerabile.
• Separabile se contiene un sottoinsieme denso e numerabile.
• N2 se esiste una base numerabile di aperti.
• T0 o Kolmogoroff se punti distinti hanno chiusure distinte.
Equivalente: per ogni coppia di punti c’è un aperto che li distingue (che contiene uno ma non l’altro).
• T1 se i punti sono sottoinsiemi chiusi. Equivalente: per ogni coppia di punti c’è un aperto che contiene
uno ma non l’altro, e un aperto che contiene l’altro ma non l’uno.
• T2 o Hausdorff se punti distinti hanno intorni disgiunti.
• Regolare se ogni punto ed ogni chiuso che non lo contiene hanno intorni disgiunti.
Equivalente: ogni punto ha una base di intorni chiusi.
• T3 se regolare e T0.
• Normale se ogni coppia di chiusi disgiunti ha intorni disgiunti.
• T4 se è normale e T1.
• Se uno spazio non è T0, si può quozientare per la relazione di equivalenza che identifica punti che
non hanno un aperto che li distingua. Il quoziente è T0.
3
• T4 ⇒ T3 ⇒ T2 ⇒ T1 ⇒ T0.
• Sottospazi e prodotti di spazi (T0;T1;T2;regolari;T3) sono (T0;T1;T2;regolari;T3).
• Sottospazi chiusi di un normale sono normali.
• N2 ⇒ Lindelöf separabile N1.
• regolare N2 ⇒ normale. (valgono anche [regolare Lindelöf ⇒ normale] e [regolare e ha una base
σ-localmente finita ⇒ normale])
3.
C ONNESSIONE E CONNESSIONE PER ARCHI
• Spazio topologico connesso: se non si scrive come unione disgiunta di due aperti (esclusi ∅ e tutto).
Equivalente: se gli unici sottoinsiemi contemporaneamente chiusi e aperti sono ∅ e X.
• Sottoinsieme connesso: se è connesso con la topologia di sottospazio.
• Immagine continua di connessi è connessa.
• Prodotto cartesiano di spazi connessi è connesso.
• [Y connesso e Y ⊆ W ⊆ Y ] ⇒ W connesso.
• Zi connessi con un punto x comune a tutti: allora
S
Zi è connesso.
• Componente connessa: sottoinsieme connesso massimale per inclusione. Le componenti connesse
partizionano X in classi di equivalenza. La componente connessa che contiene x coincide con l’unione
di tutti i connessi che contengono x.
• [0, 1] con la topologia usuale è connesso.
• Le componenti connesse sono chiuse. Non sono in generale aperte.
• Connesso per archi: se per ogni coppia di punti x,y ∈ X esiste una funzione continua f : [0, 1] → X
con f (0) = x, f (1) = y.
• Connesso per archi ⇒ connesso. Il viceversa non è in generale vero.
• Immagine continua di connessi per archi è connessa per archi.
• Prodotto cartesiano di spazi connessi per archi è connesso per archi.
S
• Zi connessi per archi, x comune a tutti: allora Zi è connesso per archi.
• Componente connessa per archi: sottoinsieme connesso per archi massimale per inclusione. Le componenti connesse per archi partizionano X in classi di equivalenza. La componente connessa per archi
che contiene x è l’unione di tutti i connessi per archi che contengono x.
• Le componenti connesse per archi non sono in generale nè chiuse nè aperte.
• Se in uno spazio topologico ogni punto ha un intorno connesso per archi, allora le componenti connesse per archi sono aperte, chiuse e coincidono con le componenti conesse.
• Spazio localmente connesso: ogni punto ammette una base di intorni connessi.
• Spazio localmente connesso per archi: ogni punto ammette una base di intorni connessi per archi.
• Connesso per archi 6⇒ localmente connesso.
• Sottospazi aperti di localmente connessi (o localmente connessi per archi) sono localmente connessi
(o localmente connessi per archi).
• [0, 1] con la topologia usuale è connesso per archi e localmente connesso per archi.
4
4.
I DENTIFICAZIONI E QUOZIENTI
I DENTIFICAZIONI
• Una funzione f : X → Y continua e surgettiva si dice identificazione se gli aperti di Y sono tutti e
soli quelli che hanno controimmagine aperta in X.
Equivalente: f continua e surgettiva è un’identificazione se gli aperti in Y sono le immagini degli
aperti saturi di X (A saturo vuol dire che A = f −1 (f (A))).
• Proprietà universale delle identificazioni: i : X → Y identificazione e f : X → Z continua. Esiste
g : Y → Z continua con f = g ◦ i se e solo se f è costante sulle fibre di i.
Quindi data i : X → Y identificazione e g : Y → Z, vale g continua ⇔ g ◦ i continua.
• Composizione di identificazioni è un’identificazione.
• Una funzione continua, surgettiva e aperta è anche un’identificazione.
Una funzione continua, surgettiva e chiusa è anche un’identificazione.
• Data f : X → Y surgettiva dove Y non ha struttura topologica (ma X sı̀), essa induce su Y la topologia
in cui un insieme è aperto se e solo se la sua controimmagine è aperta in X. Tale topologia è detta la
topologia quoziente rispetto ad f . Tale topologia è l’unica che renda f un’identificazione ed è la più
fine che renda f continua.
• (Topologia quoziente) Ad una certa relazione di equivalenza su X associo la funzione che manda
un elemento nella sua classe di equivalenza: cosı̀ induco una topologia sull’insieme delle classi di
equivalenza.
Nota: in pratica gli aperti che dividono in due una classe di equivalenza spariscono.
• Quoziente di un compatto è compatto; quoziente di connesso è connesso; quoziente di connesso per
archi è connesso per archi.
Q UOZIENTE PER UN GRUPPO DI OMEOMORFISMI
• Dato un gruppo di omeomorfismi da X in sè, si può quozientare usando la relazione di equivalenza
delle orbite.
• Tale quoziente è un’applicazione aperta. Se il gruppo è finito è anche un’applicazione chiusa.
• Se X è T2 ed esiste un aperto A che interseca tutte le classi di equivalenza e tale che {g : g(A) ∩ A 6= ∅}
è finito, allora il quoziente è T2.
• Se G è finito e X è T2, anche il quoziente è T2.
S PAZI PROIETTIVI
• Pn (R) è il quoziente di Rn+1 \ {0} per il gruppo delle omotetie di centro nell’origine. Analogo Pn (C).
• Pn (R) si ottiene anche quozientando S n per la relazione d’equivalenza degli antipodi.
• Pn (R) e Pn (C) sono T2, connessi per archi e compatti.
5.
C OMPATTEZZA E SIMILI
R ICOPRIMENTI
• Ricoprimento: una famiglia di sottoinsiemi la cui unione sia tutto lo spazio.
• Sottoricoprimento: una sottofamiglia che sia ancora un ricoprimento.
5
• Ricoprimento aperto: se è fatto di aperti. Chiuso: se è fatto di chiusi.
• Ricoprimento localmente finito: se per ogni punto ammette un intorno che interseca al più un numero
finito di sottoinsiemi del ricoprimento.
• Ricoprimento fondamentale: se vale che: per ogni sottoinsieme di U ⊆ X, U è aperto se e solo se per
ogni R del ricoprimento U ∩ R è aperto in R.
• Famiglia localmente finita: una famiglia di sottoinsiemi di X tale che ogni punto ammette un intorno
che interseca un numero finito di elementi della famiglia.
• Una famiglia di insiemi è localmente finita se e solo se la famiglia delle loro chiusure è localmente
finita.
S
S
• A famiglia localmente finita ⇒ A = A.
• A ricoprimento fondamentale di X: allora f : X → Y è continua se e solo se ∀A ∈ A f A è continua.
• I ricoprimenti (aperti;chiusi) localmente finiti sono fondamentali.
S
• A ricoprimento localmente finito con A◦ = X. Allora A fondamentale.
C OMPATTEZZA
• Spazio topologico compatto: se ogni ricoprimento con aperti ammette un sottoricoprimento finito.
• Ogni sottospazio chiuso di un compatto è compatto.
• Ogni sottospazio compatto di uno spazio T2 è chiuso.
• Immagine continua di compatti è compatta.
• Ogni funzione continua da un compatto in un T2 è chiusa. Se è anche invertibile, allora è un omeomorfismo.
• Uno spazio è compatto se e solo se ogni famiglia di chiusi con la FIP ha intersezione non vuota.
• [0, 1] è compatto.
• (Teorema di Wallace) X, Y spazi topologici, K ⊆ X, H ⊆ Y compatti, A ⊆ X × Y aperto tale che
K × H ⊆ A; allora esistono U , V aperti con K ⊆ U ⊆ X, H ⊆ V ⊆ Y tali che U × V ⊆ A.
• Compatto ⇔ compatto per ultrafiltri.
• (Teorema di Alexander) Dato uno spazio X ed una prebase S, si ha che X è compatto se e solo se ogni
ricoprimento con elementi di S ammette sottoricoprimento finito.
• (Teorema di Tyconoff) Prodotto cartesiano di spazi compatti è compatto.
S PAZI LOCALMENTE COMPATTI
• Spazio localmente compatto: se ogni punto ha un intorno compatto.
• Sottospazi chiusi di un localmente compatto sono localmente compatti.
• Immagine tramite applicazione continua e aperta di un localmente compatto è localmente compatta.
• Prodotti finiti di spazi localmente compatti sono localmente compatti.
• T2 localmente compatto ⇒ ogni punto ha una base di intorni chiusi e compatti (e quindi è T3) (in
realtà è anche Tychonoff).
• (Teorema di Baire) T2 localmente compatto ⇒ le unioni numerabili di chiusi a parte interna vuota
hanno parte interna vuota.
6
E SAUSTIONE IN COMPATTI
◦
• Un’esaustione in compatti di uno spazio topologico è una successione di compatti Kn+1
⊇ Kn che
ricoprono lo spazio.
• Se H è un sottospazio compatto, ∃n
Kn ⊇ H.
L INDEL ÖF
• Spazio topologico Lindelöf: ogni ricoprimento aperto ha un sottoricoprimento numerabile.
• Sottospazi chiusi di un Lindelöf sono Lindelöf.
• Immagine continua di Lindelöf è Lindelöf.
• Prodotto di un Lindelöf e di un compatto è Lindelöf.
• N2 ⇒ Lindelöf.
R AFFINAMENTI E PARACOMPATTEZZA
• Dati due ricoprimenti Ui e Vj , si dice che Ui è più fine se ∃f : I → J tale che Ui ⊆ Vf (i) . f si chiama
funzione di raffinamento.
• Un raffinamento di un raffinamento è un raffinamento.
• Paracompatto: se ogni ricoprimento aperto ammette un raffinamento aperto localmente finito.
• Un sottoinsieme chiuso (o anche un Fσ ) di un paracompatto è paracompatto.
• Prodotto di un compatto e di un paracompatto è paracompatto.
• T2 paracompatto ⇒ T4.
• (Teorema di restringimento) Se Ui è un ricoprimento aperto di X paracompatto T2, allora esiste un
ricoprimento aperto localmente finito Vi tale che Vi ⊆ Ui .
• (Teorema di Stone) Gli spazi metrici sono paracompatti.
L EMMI
• T2 N2 localmente compatto ⇒ esaustione in compatti e paracompatto.
• Esaustione in compatti ⇒ localmente compatto.
• T2 esaustione in compatti ⇒ paracompatto.
• Localmente compatto, connesso, paracompatto ⇒ esaustione in compatti.
• T3 Lindelöf ⇒ T4 paracompatto.
6.
L EMMA DI U RYSOHN
Teorema (Lemma di Urysohn). X normale, C e D chiusi disgiunti. Allora esiste una funzione continua f : X →
[0, 1] con f (C) = 1 e f (D) = 0.
7
S PAZI COMPLETAMENTE REGOLARI
• X si dice completamente regolare se per ogni punto e per ogni chiuso C che non lo contiene esiste
una funzione continua da X in [0, 1] che si azzera su C e fa 1 sul punto.
• X si dice T3 12 o Tychonoff se è completamente regolare e T0.
• T4 ⇒ Tychonoff ⇒ T3.
• Sottospazi e prodotti di spazi (completamente regolari;Tychonoff) sono (completamente regolari;Tychonoff).
• T2 localmente compatto ⇒ Tychonoff.
• Tychonoff ⇔ si immerge in [0, 1]ν per ν cardinale abbastanza grande.
Lemma (Embedding Lemma). fα : X → Yα famiglia di funzioni continue, con X T1. Sia f : X →
x 7→ (fα (x)). Se per ogni x ∈
/ C chiuso esiste α con fα (x) ∈
/ fα (C), allora f è un’immersione.
Q
Yα con
A LCUNI TEOREMI
• (Teorema di estensione di Tietze) X normale e C chiuso. Allora ogni funzione continua da C in [a, b]
(risp. R) si estende ad una funzione continua da X in [a, b] (risp. R).
• (Teorema di restringimento) X T4, Ui ricoprimento aperto tale che ogni punto è contenuto in un
numero finito di Ui . Allora esiste un ricoprimento aperto Vi con V i ⊆ Ui .
• Supporto supp(f ) di f : X → R continua: la chiusura di f −1 (R \ {0}).
• Partizione dell’unità: un’insieme di funzioni continue fi : X → [0, 1] tali che ogni punto ha un intorno
in cui solo un numero finito di funzioni è non nulla e la somma delle funzioni fa 1.
• X normale. Ui ricoprimento aperto finito. Allora esiste una partizione dell’unità fi con supp(fi ) ⊆ Ui .
• X paracompatto T2. Ui ricoprimento aperto. Allora esiste una partizione dell’unità fi con supp(fi ) ⊆
Ui .
7.
C OMPATTIFICAZIONI
• Una compattificazione di X è un Y compatto T2 che contiene X come sottospazio denso.
• Due compattificazioni sono equivalenti se esiste un omeomorfismo tra esse che tiene fisso X.
• Per ogni immersione i di X in un compatto T2, i(X) è una compattificazione di X.
• X ammette una compattificazione ⇔ X Tychonoff ⇔ si immerge in [0, 1]ν per qualche cardinale ν.
C OMPATTIFICAZIONE DI A LEXANDROFF
b con la topologia data da {A : A aperto in X} ∪ {X
b \K :K
• Aggiungo un punto ∞ ad X e ottengo X,
compatto in X}.
b è un’immersione aperta.
• L’inclusione naturale da X in X
b è compatto.
• X
b T2 ⇔ X T2 localmente compatto.
• X
b è una compattificazione (compattificazione di Alexandroff).
• Se X T2 localmente compatto, allora X
• X T2 localmente compatto ⇔ esiste Y T2 compatto tale che X è [Y meno un punto] con la topologia
di sottospazio.
• Ogni Y compatto T2 coincide con la compattificazione di Alexandroff di Y \ {y} per ogni y ∈ Y .
8
C OMPATTIFICAZIONE DI S TONE - Č ECH
Cerchiamo ora una compattificazione K di X che permetta di estendere le funzioni continue da X in uno
Z compatto T2 a delle funzioni continue da K in Z.
Per esempio: prendiamo X = (0, 1] e consideriamo queste sue due compattificazioni:
K = [0, 1] con l’inclusione naturale k : X → K;
H il seno del topologo {(x, sin( x1 )) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [−1, 1]} ⊆ R2 con l’inclusione h : X → H data
da x 7→ (x, sin( x1 )).
L’inclusione h : X → H non si estende ad una funzione continua da K in H, mentre l’inclusione k : X → K
si estende ad una funzione continua da H in K. DA FARE
Lemma. f, g : X → Y continue e Y T2. Se f = g su un denso, allora f = g.
Assumo X e Y Tychonoff.
• Compattificazione di Stone-Čech: una compattificazione βX di X che goda della seguente proprietà
universale: per ogni f : X → Z continua con Z compatto T2, ammette un’unica estensione continua
a βX.
• La compattificazione di Stone-Čech è unica a meno di equivalenza.
• Ogni compattificazione di X è omeomorfa ad un quoziente di βX.
• La compattificazione di Stone-Čech è l’unica che goda della seguente proprietà: ogni funzione continua da X in [0, 1] si estende in modo unico ad una funzione continua da βX in [0, 1].
• Modello di βX: indicizzo le funzioni fi continue da X in [0, 1]: considero lo spazio [0, 1]I . Sia h : X →
[0, 1]I con x 7→ (fi (x)): la chiusura di Im h è βX.
• Modello di βX se X ha la topologia discreta: l’insieme degli ultrafiltri su X (identificando ogni x con
b := {U : A ∈ U} al variare di A ⊆ X.
il suo ultrafiltro principale) con la topologia che ha come base A
• X connesso ⇔ βX connesso.
• Ogni funzione continua f : X → Y si estende in modo unico a βf : βX → βY . β1X = 1βX e
β(g ◦ f ) = βg ◦ βf . Quindi β è un funtore.
8.
VARIET À TOPOLOGICHE
Una n-varietà topologica è uno spazio topologico M tale che
• M è T2;
• ogni punto di M ha un intorno aperto omeomorfo ad un aperto di Rn ;
• ogni componente connessa di M è N2.
Si hanno i seguenti fatti:
• La condizione componenti connesse N2 è equivalente a chiedere paracompattezza.
• M è T4 N1 paracompatto localmente compatto localmente connesso per archi.
• Ogni componente connessa è N2 aperta chiusa e ha un’esaustione in compatti.
• Il prodotto di due varietà topologiche è una varietà topologica (e la dimensione è la somma delle
dimensioni).
• Data una varietà topologica connessa M e due suoi punti p e q, esiste un omeomorfismo che manda p
in q (ovvero le varietà topologiche connesse sono omogenee).
9
9.
G RUPPI TOPOLOGICI
• Gruppo topologico: un gruppo dotato di una topologia tale che la moltiplicazione µ : G × G → G
e la funzione inverso (·)−1 : G → G siano continue. (occhio: è più forte rispetto a chiedere che la
moltiplicazione a destra e a sinistra per un elemento siano continue).
• Le funzioni λg e ρg di moltiplicazione per un elemento a sinistra e a destra e la funzione (·)−1 di
inverso sono omeomorfismi del gruppo in sè. Quindi G è omogeneo, cioè per ogni x, y ∈ G esiste un
omeomorfismo di G in sè che manda x in y.
• G T1. U intorno di e. Allora esiste V intorno simmetrico (V = V −1 ) di e con V V ⊆ U .
• {e} è chiuso ⇒ G Tychonoff.
• La componente connessa di e è un sottogruppo normale chiuso.
• H sottogruppo a parte interna non vuota; allora H chiuso e aperto.
• H sottogruppo ⇒ H sottogruppo. H sottogruppo normale ⇒ H sottogruppo normale.
• H sottogruppo. G/H è l’insieme delle classi laterali destre con la topologia quoziente:
(i) G/H è omogeneo (per ogni x, y ∈ G/H c’è un omeomorfismo di G/H in sè che manda uno
nell’altro).
(ii) La proiezione al quoziente è un’identificazione aperta.
(iii) G localmente compatto ⇒ G/H localmente compatto.
(iv) Se H è chiuso, G/H è T3.
(v) Se H è un sottogruppo chiuso e normale, G/H è un gruppo topologico.
T
T
• A = AU = AU −1 dove U varia tra gli intorni di e.
• G T1 e H sottogruppo discreto; allora H è chiuso.
• A sottoinsieme chiuso e B sottoinsieme compatto ⇒ AB chiuso.
10.
S PAZI METRICI
S PAZI METRICI
In spazi metrici, valgono:
• T4 N1.
• N2 ⇔ separabile ⇔ Lindelöf.
• Compatto ⇔ compatto per successioni ⇔ completo e totalmente limitato (cioè per ogni si ricopre
con un numero finito di palle di raggio ).
• compatto ⇒ N2.
• (Numero di Lebesgue) Se X spazio metrico e A ricoprimento aperto, si definisce numero di Lebesgue di
A il sup dei ρ tali che per ogni palla di raggio ρ c’è un aperto del ricoprimento che la contiene. Se X è
compatto, ogni ricoprimento ha numero di Lebesgue positivo.
• (Cacciopoli-Banach) X spazio metrico completo. f : X → X tale che esiste l < 1 con |d(f x1 , f x2 )| <
l|d(x1 , x2 )| allora f ammette un unico punto fisso.
• (Teorema di Baire) Se X completo allora un’unione numerabile di chiusi a parte interna vuota ha parte
interna vuota.
• (Teorema di Stone) Metrizzabile ⇒ paracompatto.
10
M ETRIZZABILIT À
• Uno spazio si dice metrizzabile se esiste una distanza che induce la sua topologia.
• Prodotto numerabile di spazi metrizzabili è metrizzabile.
• (Teorema di Urysohn) T3 N2 ⇔ metrizzabile N2.
• (Teorema di Smirnov) Metrizzabile ⇔ T2 paracompatto localmente metrizzabile.
• (Teorema di Nagata-Smirnov) Metrizzabile ⇔ T3 e ha una base σ-localmente finita (una base data da
un’unione numerabile di famiglie localmente finite).
• X compatto T2. X metrizzabile ⇔ X N2.
• T3 Lindelöf localmente metrizzabile ⇒ metrizzabile.
11.
A LTRO (1)
S UCCESSIONI
Domanda: sotto quali condizioni si può ragionare per successioni nel parlare di continuità e compattezza?
• X N1, C ⊆ X. Allora C chiuso ⇔ C chiuso per successioni (per ogni successione di elementi di C
convergente a l vale l ∈ C).
• X N1 e f : X → Y . Allora f continua ⇔ f continua per successioni (cioè per ogni successione
tendente ad l, le loro immagini tendono ad f (l)).
• X N1. Allora X T2 ⇔ ogni successione ammette al più un limite.
• X N2 (non basta N1). Allora X compatto ⇔ ogni successione ammette almeno un limite.
Successioni generalizzate o reti:
• Un insieme ’diretto’ è un insieme con una relazione simmetrica e transitiva (un preordine).
• Una rete in uno spazio topologico X è una funzione f : I → X con I insieme diretto.
• La rete converge ad un punto x se per ogni intorno U di x esiste iU tale che ∀i ≥ iU
f (i) ∈ U .
• La rete ha x come punto di accumulazione se per ogni intorno U di x e per ogni i0 esiste i ≥ i0 con
f (i) ∈ U .
• C ⊆ X. Allora C chiuso ⇔ per ogni rete contenuta in C e convergente ad x, vale x ∈ C.
• f : X → Y . Allora f continua ⇔ per ogni rete r : I → X convergente ad x la rete f ◦ r converge ad
f (x).
• X T2 ⇔ ogni rete ammette al più un limite.
• X compatto ⇔ ogni rete in X ammette almeno un punto di accumulazione.
Successioni e limiti lungo ultrafiltri:
• C ⊆ X. Allora C chiuso ⇔ per ogni U ultrafiltro su I e per ogni I-successione contenuta in C e
U-tendente ad l si ha l ∈ C.
• f : X → Y . Allora f continua ⇔ per ogni U ultrafiltro su I e per ogni I-successione in X convergente,
si ha che la successione delle loro immagini U-converge in Y .
• X T2 ⇔ per ogni U ultrafiltro su I e per ogni I-successione in X, essa ammette al più un U-limite.
• X compatto ⇔ per ogni U ultrafiltro su I e per ogni I-successione in X, essa ammette almeno un
U-limite.
11
T OPOLOGIA COMPATTA - APERTA
• C(X, Y ) è l’insieme delle funzioni continue da X in Y .
• (Topologia compatta-aperta) Dati X e Y spazi topologici, diamo sull’insieme C(X, Y ) la topologia che
ha come prebase A(K, U ) := {f ∈ C(X, Y ) : f (K) ⊆ U } con K ⊆ X compatto e U ⊆ Y aperto.
• Se X ha la topologia discreta, la topologia compatta-aperta coincide con quella della convergenza
puntuale.
• Se (Y, d) è uno
ad f con tale topologia ⇔ per ogni K ⊆ X
spazio metrico, fi : X → Y convergono
compatto fi K convergono uniformemente a f K .
• La topologia compatta-aperta è la meno fine che renda l’applicazione di valutazione X ×C(X, Y ) → Y
con (x, f ) 7→ f x continua.
• (Legge esponenziale) Se X, Y localmente compatti T2, allora C(X, C(Y, Z)) omeomorfo a C(X × Y, Z).
Ad esempio, se Y = [0, 1] e X T2 localmente compatto, un’omotopia tra due funzioni in C(X, Z) può
essere vista come un cammino in C(X, Z).
• X localmente compatto T2: allora C(X, Y × Z) omeomorfo a C(X, Y ) × C(X, Z).
• Y T2 ⇒ C(X, Y ) T2.
Y regolare ⇒ C(X, Y ) regolare.
• (Teorema di Ascoli-Arzelà) X spazio topologico, (Y, d) spazio metrico. F ⊆ C(X, Y ).
Se ∀x ∈ X[le funzioni di F sono equicontinue in x e le immagini di x tramite tali funzioni sono
contenute in un compatto di Y ], allora F è contenuto in un compatto di C(X, Y ).
Se X T2 localmente compatto, vale anche il viceversa.
12.
E SEMPI ED ESERCIZI (1)
E SEMPI E CONTROESEMPI
• (Topologia dell’unione disgiunta) Dati Xi spazi topologici, si può porre sulla loro unione disgiunta la
topologia che ha come base l’unione delle loro topologie.
• X spazio topologico componenti connesse aperte. La sua topologia è la stessa che si ottiene prendendo
le sue componenti connesse con la topologia di sottospazio e facendone l’unione disgiunta (con la
topologia dell’unione disgiunta).
Se le componenti connesse non sono aperte, lo spezzamento di sopra si può fare un numero finito di
volte (e non è detto che si possa fare di più).
• (Topologia iniziale) Dati Yi spazi topologici e fi : X → Yi , pongo su X la topologia meno fine che
renda le applicazioni fi continue (quella che ha come prebase fi−1 (Ui ) al variare di i e di Ui ⊆ Yi
aperto).
Q
Se X = Yi e le fi sono le proiezioni sulle componenti, la topologia iniziale è la topologia prodotto.
Se X ⊆ Y e i : X → Y è l’inclusione, la topologia iniziale è la topologia di sottospazio.
Proprietà universale: g : Z → X continua ⇔ sono continue tutte le fi ◦ g.
• (Topologia finale) Dati Yi spazi topologici e fi : Yi → X, pongo su X la più fine topologia che renda
fi continue (U ⊆ X aperto ⇔ ∀i fi−1 (U ) è aperto).
Se c’è una sola fi ed è surgettiva, la topologia finale è la topologia quoziente.
F
Se X = Yi e le fi sono le inclusioni, la topologia finale è la topologia dell’unione disgiunta.
Proprietà universale: g : X → Z è continua ⇔ sono continue tutte le g ◦ fi .
12
• (Topologia di Zariski) in Kn uso come base di aperti i D(f ) := {x ∈ Kn : f (x) 6= 0} al variare di
f ∈ K[x1 , ..., xn ].
Q
Q
• (Box topology) Metto su Xi La topologia che ha come base Ui al variare di Ui aperto in Xi .
• Coincide con l’usuale topologia prodotto per prodotti finiti. Sui prodotti infiniti è più fine.
• RN con la box topology è Tychonoff. Se vale l’ipotesi del continuo, è paracompatto.
• RN con la box topology non è compatto, connesso, N1, separabile.
• La funzione R → RN (con la box topology su RN ) x 7→ (x, x, ...) non è continua.
• (Topologia d’ordine) Dato (X, ) totalmente ordinato, poniamo su di esso la topologia che ha come
prebase gli insiemi del tipo {x : x a} e {x : x ≺ a} al variare di a ∈ X.
• (Long ray) L’insieme ordinato ω1 × [0, 1) (ordine lessicografico) con la topologia d’ordine.
• Long ray è T4 N1 localmente compatto, compatto per successioni, connesso per archi, localmente
connesso per archi, semplicemente connesso (e sarebbe una 1-varietà topologica se fosse N2) ma non
è separabile, paracompatto, Lindelöf, contrattile.
• La compattificazione di Alexandroff del long ray coincide con quella di Stone-Cech.
• (Retta di Sorgenfrey) Rsf è R con la topologia che ha come base [a, b). É più fine della solita topologia.
• Rsf è T2 N1 separabile ma non è N2 nè metrizzabile. Chi sono le sue componenti connesse?
• Rsf T4 paracompatto Lindelöf mentre R2sf nessuna delle tre.
• (Spazio di Baire) NN omeomorfo all’insieme degli irrazionali di R con la topologia di sottospazio.
• (Insieme di Cantor) L’insieme C dei numeri in [0, 1] che scritti in base 3 hanno solo cifre 0 e 2 (eventualmente anche definitivamente cifre 2).
• C omeomorfo a {0, 1}N .
• C 2 omeomorfo a C. C N omeomorfo a C.
• Esiste f : C → [0, 1] continua e surgettiva.
• Preso un sottospazio chiuso D ⊆ C, esiste f : D → C continua surgettiva.
• X spazio metrico separabile. Allora esiste un sottospazio D ⊆ C ed una f : D → X continua e
surgettiva.
• Ogni spazio metrico compatto è omeomorfo ad un quoziente dell’insieme di Cantor.
C ONNESSIONE E CONNESSIONE PER ARCHI
• X localmente connesso ⇔ per ogni U ⊆ X aperto, le componenti connesse di U sono aperte in X.
• X localmente connesso per archi ⇔ per ogni U ⊆ X aperto, le componenti connesse per archi di U
sono aperte in X.
• In X, per ogni x e per ogni suo intorno U , esiste un suo intorno V tale che ogni coppia di punti in V
può essere congiunta con un arco in U . Allora X è localmente connesso per archi.
• Se A, B aperti e A ∪ B, A ∩ B connessi per archi, allora A e B connessi per archi.
• Esistono due sottoinsiemi disgiunti e connessi di [0, 1]2 tali che il primo contiene (0, 0) e (1, 1), l’altro
contiene (0, 1) e (1, 0).
13
C OMPATTEZZA
• f : X → Y continua e aperta. X localmente compatto ⇒ f (X) localmente compatto.
• X T2. Due compatti disgiunti ammettono intorni disgiunti.
• X compatto T2. C famiglia di chiusi connessi totalmente ordinata da ⊆. Allora
T
C connesso.
• In un localmente compatto, ogni sottospazio compatto ha un intorno compatto.
• Se ogni ricoprimento aperto di X ammette un sottoricoprimento localmente finito, allora X è compatto.
S PAZI COMPATTAMENTE GENERATI E APPLICAZIONI PROPRIE E SEMIPROPRIE
• Spazio topologico compattamente generato: se la famiglia di tutti i suoi sottospazi compatti forma un
ricoprimento fondamentale.
• Localmente compatto ⇒ compattamente generato.
• N1 ⇒ compattamente generato.
• Una funzione continua si dice propria se controimmagine di compatti è compatta.
• f : X → Y chiusa con fibre f −1 ({y}) compatte. Allora f è propria.
• f : X → Y propria, con Y T2 localmente compatto. Allora f chiusa con fibre f −1 ({y}) compatte.
b → Yb continua (compattifica• Ogni funzione propria f : X → Y si estende in modo naturale a fb : X
zione di Alexandroff).
• X T2. X compattamente generato ⇔ ogni applicazione propria f : Y → X è chiusa.
• f : X → Y continua con X, Y T2 localmente compatti. Allora f si dice semipropria se per ogni
compatto K ⊆ Y esiste un compatto H ⊆ X con f (H) = f (X) ∩ K.
• Ogni applicazione propria tra spazi T2 localmente compatti è semipropria.
• Se f : X → Y semipropria (e quindi X, Y T2 localmente compatti) allora f (X) è chiuso in Y . f è
necessariamente un’applicazione chiusa?
P RODOTTI
• (A × B)◦ = A◦ × B ◦ . A × B = A × B. Valgono anche per prodotti arbitrari? (NO; SI)
• Date f1 : X1 → Y1 e f2 : X2 → Y2 definisco f1 × f2 : X1 × X2 → Y1 × Y2 con (f1 × f2 )(x1 , x2 ) =
(f1 (x1 ), f2 (x2 ))
• (f1 × f2 )(A1 × A2 ) = f1 (A1 ) × f2 (A2 )
(f1 × f2 )−1 (B1 × B2 ) = f1−1 (B1 ) × f2−1 (B2 )
• Se f1 ed f2 sono continue allora f1 × f2 è continua.
Se f1 ed f2 sono aperte allora f1 × f2 è aperta.
Non è in generale vero che se f1 ed f2 sono chiuse allora f1 × f2 è chiusa.
• (X, d) metrico. Allora la funzione distanza d : X × X → R è continua.
• X T2 ⇔ {(x, x) : x ∈ X} è chiuso in X × X.
• Y T2 ⇔ per ogni f : X → Y continua il grafico {(x, f x) : x ∈ X} è chiuso in X × Y .
• (tube lemma) Se X compatto allora π2 : X × Y → Y è chiusa.
• X sottospazio di un compatto T2. Allora X compatto ⇔ ∀Y π2 : X × Y → Y è chiusa.
14
• G gruppo di omeomorfismi da X in X: X/G è T2 ⇔ {(x, g(x)) : x ∈ X g ∈ G} è chiuso in X × X.
• Se f1 , f2 sono identificazioni aperte, allora anche f1 × f2 lo è. Se f1 , f2 sono identificazioni, f1 × f2
potrebbe non esserlo.
• f : X → Y identificazione e Z localmente compatto T2. Allora f × Id : X × Z → Y × Z è
un’identificazione.
• i1 : A1 → B1 e i2 : A2 → B2 identificazioni. B1 e A2 localmente compatti T2. Allora i1 × i2
identificazione.
• (Prodotto fibrato) f1 : X1 → Y e f2 : X2 → Y continue. P := {(x1 , x2 ) : f1 x1 = f2 x2 } con la topologia
di sottospazio del prodotto e π1 : P → X1 la proiezione sulla prima componente (e analoga π2 ).
(i) π1 e π2 sono continue e f1 ◦ p1 = f2 ◦ p2 .
(ii) Per ogni coppia di applicazioni continue g1 : W → X1 e g2 : W → X2 tali che f1 ◦ g1 = f2 ◦ g2
esiste un’unica applicazione continua h : W → P con π1 ◦ h = g1 e π2 ◦ h = g2 .
S PAZI METRICI
• Se A ⊆ Rn aperto, allora le componenti connesse di A sono aperte, chiuse e coincidono con le
componenti connesse per archi.
• K ⊆ Rn . K compatto ⇔ K chiuso e limitato.
• C’è un controesempio a Cacciopoli-Banach con l = 1.
• X metrico compatto e d(f x, f y) < d(x, y). Allora f ammette un unico punto fisso.
• X metrico completo. A ⊆ X aperto. Allora esiste una distanza su A che induce la topologia di
sottospazio e lo rende completo.
• A ⊆ R denso e numerabile. f : R → (0, +∞). Allora esistono a ∈ A e b ∈ Ac con min{f a, f b} > |a − b|.
• (X, d) metrico. Indico con K(X) l’insieme dei sottoinsiemi compatti di X. Metto su K(X) la distanza
δ(K1 , K2 ) = sup{d(k1 , K2 ), d(K1 , k2 ) : k1 ∈ K1 e k2 ∈ K2 }. Allora:
X compatto ⇒ K(X) compatto.
X completo ⇒ K(X) completo.
• R2 meno una quantità numerabile di punti è connesso per archi.
R3 meno una quantità numerabile di rette è connesso per archi.
• T2 N2 6⇒ metrizzabile.
• X metrizzabile. Allora sono equivalenti: (i) X compatto per successioni (ii) ogni funzione continua
da X in R è limitata (iii) X è limitato secondo ogni metrica che induca la sua topologia.
• Sottospazi aperti di un metrico con esaustione in compatti ammettono esaustione in compatti.
(DA FARE si generalizza ai topologici, magari aggiungendo qualche ipotesi?)
• Gli spazi di Banach di dimensione infinita non sono localmente compatti.
M ISCELLANEA
• Prodotto di al più c spazi separabili è separabile.
Non è detto che un sottospazio di un separabile sia separabile.
• R/ ∼ non è N1, dove x ∼ y se x = y o x, y ∈ Z.
• I non numerabile. Allora RI non è normale.
15
• X N2 e A sottoinsieme più che numerabile. Allora l’insieme dei punti di A che sono di accumulazione
per A è più che numerabile.
• X connesso Tychonoff con almeno due punti. Allora X ha almeno cardinalità del continuo.
• Esiste su N una topologia che lo renda T2 connesso?
T2 compatto?
T2 connesso compatto?
T3 connesso?
• Q3 ∩ S 2 è compatto con la topologia di sottospazio di R3 ?
• Un sottoinsieme S ⊆ X si dice localmente chiuso se (sono equivalenti): (i) S aperto in S; (ii) S è aperto
in un chiuso di X; (iii) S è chiuso in un aperto di X; (iv) ogni s ∈ S ha un intorno aperto in cui S è
chiuso.
• Domanda: come si trasmettono proprietà come Ti, Ni, connessione, compattezza, continuità per
passaggio a topologie più o meno fini?
Passano a topologie più fini: T0, T1, T2, ma non T3, T4, N1, separabile, N2, connesso, compatto.
Passano a topologie meno fini: separabile, connesso, compatto ma non T0, T1, T2, T3, T4, N2. (N1?)
Sia f : X → Y continua: f resta continua se raffino la topologia su X o se de-raffino quella su Y .
• Uno spazio topologico si dice irriducibile se ogni coppia di aperti non vuoti si interseca (equivalente:
ogni aperto è denso).
A sottospazio aperto di X irriducibile ⇒ A irriducibile.
Se D ⊆ X è un sottospazio irriducibile, anche D lo è.
Un’unione di sottospazi irriducibili con un punto comune a tutti è un sottospazio irriducibile.
Ogni spazio si partiziona nelle sue ’componenti irriducibili’. Tali componenti sono chiuse.
Chi sono le componenti irriducibili di un T2?
• f : X → Y continua surgettiva chiusa con fibre f −1 ({y}) compatte.
X T2 ⇒ Y T2 (e qui non serve l’ipotesi f continua);
X regolare ⇒ Y regolare;
X localmente compatto ⇒ Y localmente compatto;
X N2 ⇒ Y N2.
• f : X → Y continua chiusa surgettiva. X T4 ⇒ Y T4.
• f : X → Y surgettiva e [aperta o chiusa], Y connesso e fibre f −1 ({y}) connesse. Allora X connesso.
• f : X → Y chiusa, Y compatto e fibre f −1 ({y}) compatte. Allora X compatto.
• Z T2, X Y spazi topologici, i : X → Y identificazione aperta, f : X → Z continua, D denso in Y , f
costante su ogni i-fibra di un elemento di D. Allora f è costante su ogni i-fibra di ogni elemento di Y .
• G gruppo topologico N1 e uno tra (separabile; Lindelöf). Allora è N2.
• G gruppo topologico compatto, X spazio topologico. α : G × X → X azione continua di G su X.
X T2 ⇒ X/G T2;
X regolare ⇒ X/G regolare;
X normale ⇒ X/G normale;
X localmente compatto ⇒ X/G localmente compatto;
X N2 ⇒ X/G N2.
• D ⊆ X denso, Y compatto T2, f : D → Y continua. Allora f si estende a tutto X ⇔ contoimmagini
di chiusi disgiunti hanno chiusure disgiunte.
16
13.
O MOTOPIA E FUNTORI π0 E π1
O MOTOPIA
• Funzioni omotope: f0 ed f1 continue da X in Y si dicono omotope se esiste F : X × [0, 1] → Y
continua con F (x, 0) = f0 (x) e F (x, 1) = f1 (x). F è detta omotopia.
• La relazione di omotopia è di equivalenza su C(X, Y ).
• Se f0 omotopa a f1 e g0 omotopa a g1 allora g0 ◦ f0 omotopa a g1 ◦ f1 .
• Una funzione f : X → Y è un’equivalenza omotopica se esiste g : Y → X con g ◦ f e f ◦ g omotope all’identità su X e all’identità su Y rispettivamente. g si dice inversa omotopica di f . L’inversa
omotopica è unica a meno di omotopia.
• Spazi omotopicamente equivalenti: se esiste un’equivalenza omotopica tra essi. É una relazione di
equivalenza.
• Spazio topologico contrattile: se è omotopicamente equivalente ad un punto. Equivalente: se l’identità è omotopicamente equivalente ad una funzione costante.
• Il prodotto di due spazi contrattili è contrattile.
O MOTOPIA DI CAMMINI
• Spazio dei cammini: Ω(X, a, b) l’insieme dei cammini α : [0, 1] → X (α(0) = a α(1) = b) continui da
a a b. Si possono comporre due cammini α ∈ Ω(X, a, b) e β ∈ Ω(X, b, c) (parametrizzando α ∗ β con
[0, 21 ] per α e [ 12 , 1] per β) e si può fare l’inverso i(α) di un cammino (parametrizzando α con 1 − t al
posto di t).
• Cammini omotopicamente equivalenti: α , β ∈ Ω(X, a, b) omotopicamente equivalenti a se esiste
F : [0, 1] × [0, 1] → X continua e F (t, 0) = α(t) F (t, 1) = β(t) F (0, s) = a F (1, s) = b
• La relazione di omotopia tra cammini è di equivalenza.
• Un cammino è equivalente a se stesso riparametrizzato in modo continuo.
• Se α0 ∼ α1 e β0 ∼ β1 allora α0 ∗β0 ∼ α1 ∗β1 . Se α0 ∼ α1 allora i(α0 ) ∼ i(α1 ). Inoltre 1a ∗α ∼ α∗1b ∼ α
e α ∗ i(α) ∼ 1a .
• La composizione tra classi di equivalenza cammini è associativa (basta una riparametrizzazione).
• Se f : X → Y continua e α ∼ β cammini in X, allora f ◦ α ∼ f ◦ β.
• Se f : X → Y continua e α, β cammini in X, allora valgono f ◦ (α ∗ β) = (f ◦ α) ∗ (f ◦ β) e f (i(α)) =
i(f (α)).
F UNTORE π0
• π0 (X) := X/ ∼ (dove ∼ è la relazione di equivalenza che identifica due punti se sono connessi da un
arco) è l’insieme delle componenti connesse per archi di X.
• Se ho f : X → Y continua, gli archi vengono mandati in archi. Quindi posso definire π0 (f ) : π0 (X) →
π0 (Y ).
• π0 (IdX ) = IdX/∼ . π0 (g ◦ f ) = π0 (g) ◦ π0 (f ).
• π0 è un funtore dalla categoria degli spazi topologici con le applicazioni continue alla categoria degli
insiemi con le funzioni.
• Se f omotopa a g allora π0 (f ) = π0 (g).
17
F UNTORE π1
• π1 (X, a) è il quoziente di Ω(X, a, a) per l’equivalenza omotopica. É detto anche gruppo fondamentale
o primo gruppo di omotopia.
• π1 (X, a) ha una struttura di gruppo data dalla composizione di classi di equivalenza di cammini. ∗ e
i sono ben definiti sulle classi di equivalenza.
• Se a e b stanno nella stessa componente connessa per archi di X, allora π1 (X, a) è isomorfo a π1 (X, b).
Si definisce, data una classe di equivalenza di cammini [γ] da a a b, [γ]# : π1 (X, a) → π1 (X, b) con
[γ]# ([α]) = i([γ]) ∗ [α] ∗ [γ].
• [γ]# ◦ [δ]# = [δ ∗ γ]# . [γ]# è un isomorfismo tra gruppi con inverso i([γ])# .
• [γ]# non dipende da [γ] ⇔ π1 (X, a) è abeliano.
• Semplicemente connesso: connesso per archi e il suo gruppo fondamentale è banale.
• Il gruppo fondamentale del prodotto è isomorfo al prodotto dei gruppi fondamentali.
• Data f : X → Y continua, possiamo definire π1 (f ) : π1 (X, a) → π1 (Y, f (a)) con [α] 7→ [f α]. Questo è
un omomorfismo tra gruppi. Si indica anche con f∗ (e quindi f∗ [α] = [f α]).
• Si ha che π1 (g ◦ f ) = π1 (g) ◦ π1 (f ) e che π1 (id) = id (occhio: sono due identità diverse).
• π1 è un funtore dalla categoria degli spazi topologici puntati con le applicazioni continue nella categoria dei gruppi con gli omomorfismi.
• Se F : X × [0, 1] → Y è un’omotopia tra f e g e γ(t) := F (x, t), allora per ogni [α] ∈ π1 (X, x) vale
g∗ [α] = [γ]# (f∗ [α]).
• f : X → Y equivalenza omotopica. Allora f∗ : π1 (X, x) → π1 (Y, f x) è un’isomorfismo tra gruppi.
R ETRAZIONI
• Retratto: un sottospazio Y ⊆ X tale che esiste r : X → Y (detta retrazione) continua e rY costante.
• Retratto per deformazione: se esiste R : X × [0, 1] → X continua R(x, 1) = x, R(x, 0) ∈ Y, R(y, t) = y.
R(·, 0) : X → Y è un’equivalenza omotopica, con inversa omotopica l’inclusione.
• Un retratto per deformazione è un retratto.
Un retratto di un retratto è un retratto. (Idem per i retratti per deformazione)
• In un T2 ogni retratto è chiuso.
• A ⊆ X, a ∈ A e i : A → X l’inclusione. Non è detto che i∗ : π1 (A, a) → π1 (X, a) sia iniettiva o
suriettiva.
Se A è un retratto di X, allora i∗ è iniettiva.
Se è un retratto per deformazione i∗ è un isomorfismo.
14.
R IVESTIMENTI
R IVESTIMENTI
• X connesso e localmente connesso per archi, p : E → X continua e surgettiva si dice rivestimento se
ogni x ha un intorno aperto connesso Ux p-omeomorfo ad ogni componente connessa di p−1 (Ux ). X
è detto base, E spazio totale, Ux aperto banalizzante.
• Per ogni punto e ∈ E, la componente connessa contenente e di p−1 (Up(e) ) è connessa aperta localmente connessa per archi.
18
• E è localmente connesso per archi. p è un’applicazione aperta.
X è connesso per archi. Se E è connesso, allora è connesso per archi.
• Le fibre hanno la stessa cardinalità. Tale cardinalità è detta grado del rivestimento.
• Se E 0 componenete connessa di E, allora pE 0 è un rivestimento. L’unione disgiunta di due rivestimenti è un rivestimento.
• Se Y ⊆ X connesso e localmente connesso per archi, allora pp−1 (Y ) è un rivestimento.
• X T2 ⇒ E T2.
X T3 ⇒ E T3.
X Tychonoff ⇒ E Tychonoff.
X T2 localmente compatto ⇒ E T2 localmente compatto.
S OLLEVAMENTO
• p : E → X rivestimento; f : Y → X continua; un sollevamento di f è una funzione continua
g : Y → E con f = pg.
• p : E → X rivestimento, f : Y → X continua. Se Y connesso e due sollevamenti g, h coincidono in un
punto, allora g = h.
• (Sollevamento di cammini) p : E → X rivestimento, α : [0, 1] → X continua. Allora per ogni elemento
e ∈ p−1 (α(0)) esiste un unico sollevamento αe di α con αe (0) = e.
• (Sollevamento dell’omotopia) p : E → X rivestimento, F : [0, 1]×[0, 1] → X continua, e ∈ p−1 (F (0, 0)).
Allora esiste un unico sollevamento G : [0, 1] × [0, 1] → E di F con G(0, 0) = e.
• p : E → X rivestimento, α e β cammini continui da x a y in X, e ∈ p−1 (x), αe e βe i sollevamenti in E
di tali cammini con αe (0) = βe (0) = e. Allora α ∼ β se e solo se αe ∼ βe .
• (Sollevamento di applicazioni qualsiasi) vedi la fine del prossimo paragrafo.
M ONODROMIA
• Dato p : E → X rivestimento, si definisce monodromia l’applicazione Mon: p−1 (x) × Ω(X, x, y) →
p−1 (y) l’applicazione che manda (e, α) in αe (1). Si indica αe (1) =Mon(e, α) = e · α.
In pratica e · α è ciò che ottengo partendo da e e spostandomi lungo il sollevamento di α (occhio che
α vive in X e non in E).
• e · 1x = e
• e · (α ∗ β) = (e · α) · β
• Fissato α, l’applicazione da p−1 (x) in p−1 (y) con ex 7→ ex · α è bigettiva con inversa ey 7→ ey · i(α).
• α ∼ β ⇒ e · α = e · β. Quindi si può definire e · [α].
• π1 (X, x) agisce a destra su p−1 (x) tramite la monodromia.
• p : E → X rivestimento. L’omomorfismo p∗ : π1 (E, ex ) → π1 (X, x) è iniettivo ed ha come immagine
le classi di congruenza [α] tali che ex · [α] = ex (cioè lo stabilizzatore di ex ).
• p : E → X rivestimento. E connesso. Fissati x ed ex , la fibra p−1 (x) è in corrispondenza biunivoca
con le classi laterali destre di p∗ (π1 (E, ex )) in π1 (X, x).
• p : E → X rivestimento. Allora per ogni [α] ∈ π1 (X, x) si ha che p∗ (π1 (E, ex · [α])) = [α]−1 ∗
p∗ (π1 (E, ex )) ∗ [α] = [α]# p∗ (π1 (E, ex )). Quindi se ex1 ed ex2 stanno nella stessa componente connessa,
allora le immagini tramite π1 (p) dei rispettivi π1 (E, ex1 ) e π1 (E, ex2 ) sono sottogruppi coniugati in
π1 (X, x).
19
• Se p : E → X e q : F → Y sono rivestimenti e ϕ : E → F e f : X → Y continue con f ◦ p = q ◦ ϕ allora
ϕ(e · [α]) = ϕ(e) · f∗ [α].
• (Sollevamento di applicazioni qualsiasi) p : E → X rivestimento, f : Y → X continua, x0 = f (y0 ) =
p(e0 ). X e Y connessi e localmente connessi per archi. Allora esiste un sollevamento g di f con
g(y0 ) = e0 ⇔ f∗ (π1 (Y, y0 )) ⊆ p∗ (π1 (E, e0 )).
A ZIONI DI GRUPPI
• G gruppo che agisce a sinistra su X. H agisce a destra su X.
Azione libera: se per ogni x e per ogni g 6= id vale gx 6= x.
Azione transitiva: se per ogni x, y esiste g con gx = y.
Azioni compatibili: se (gx)h = g(xh).
• G agisce a destra su X, H a sinistra. Le azioni sono compatibili. G agisce liberamente e transitivamente. Allora fissati x e h esiste un’unico g con xh = gx. Quindi è ben definita θx : H → G; inoltre è
un omomorfismo tra gruppi.
A ZIONI DI GRUPPI DI OMEOMORFISMI
• G gruppo di omeomorfismi di X agisce in modo propriamente discontinuo se ogni x ha un intorno
Ux disgiunto da tutte le sue immagini secondo elementi di G (eccetto l’identità).
• Se G agisce in modo propriamente discontinuo su X T1, allora le orbite sono chiuse e discrete.
• X T2, G agisce liberamente, ogni x ha Ux che interseca un numero finito di sue immagini secondo
elementi di G; allora G agisce in modo propriamente discontinuo.
• E localmente connesso per archi, G agisce in modo propriamente discontinuo, E/G connesso. Allora
la proiezione p da E in E/G è un rivestimento.
• Nella ipotesi di sopra, l’azione destra di G su p−1 (x) è libera, transitiva e compatibile con l’azione
sinistra di π1 (E/G, x) data dalla monodromia. Quindi θex : π1 (E/G, x) → G è un omomorfismo tra
gruppi. Il nucleo di θex è p∗ (π1 (E, ex )) ed è dunque un sottogruppo normale.
In pratica θex prende in input un arco da x in x, lo fa agire su ex , trova un altro punto in p−1 (x) e dà
in output l’unico omeomorfismo di G che manda ex in quel punto.
• E localmente connesso per archi. G agisce in modo propriamente discontinuo. E/G connesso. Allora
π1 (E/G,x)
p∗ (π1 (E,ex )) è isomorfo a G.
• E semplicemente connesso e localmente connesso per archi. G agisce in modo propriamente discontinuo. Allora G isomorfo a π1 (E/G). (Nota: in questo caso la proiezione al quoziente è un rivestimento
universale)
M ORFISMI DI RIVESTIMENTI
• Morfismo di rivestimenti: dati p1 : E1 → X e p2 : E2 → X rivestimenti, ϕ : E1 → E2 continua è detta
morfismo di rivestimenti se p1 = p2 ◦ ϕ. Equivalente: se ϕ è un sollevamento di p1 .
• Isomorfismo di rivestimenti: un morfismo di rivestimenti che è anche un omeomorfismo.
• p : E → X rivestimento. Gli isomorfismi di tale rivestimento in sè (con l’operazione di composizione)
formano un gruppo, Aut(E, p).
• E connesso. Allora:
Aut(E, p) agisce su E in modo propriamente discontinuo;
e1 ed e2 stanno nella stessa orbita ⇔ p(e1 ) = p(e2 ) e p∗ (π1 (E, e1 )) = p∗ (π(E, e2 )).
20
T IRARE LE FILA DEL DISCORSO
p : E → X rivestimento. x ∈ X e ex ∈ p−1 (x).
Se E non è connesso, le singole componenti connesse danno comunque un rivestimento, quindi posso
restringermi ad una di quelle. Dunque per le prossime 3 osservazioni suppongo E connesso.
• Preso ex , l’immagine p∗ (π1 (E, ex )) è un sottogruppo di π1 (X, x). La proiezione p∗ ha nucleo banale,
quindi π1 (E, ex ) è isomorfo alla sua immagine (in pratica, il gruppo fondamentale π1 (E, ex ) è un
sottogruppo di π1 (X, x)). Al variare di ex ∈ p−1 (x), proiettando i rispettivi gruppi fondamentali in
π1 (X, x) ottengo una classe di coniugio di sottogruppi di π1 (X, x): infatti se riesco a congiungere
ex1 e ex2 con un arco allora le proiezioni dei rispettivi π1 sono sottogruppi coniugati; viceversa, se
uso un cammino [α] ∈ π1 (X, x) per coniugare (usando [α]# ) il sottogruppo p∗ (π1 (E, ex )), ottengo il
sottogruppo p∗ (π1 (E, ex · [α])).
• Se ho un’azione propriamente discontinua di G su E, allora G/E è un rivestimento: fisso x ∈ E/G, e
proiettando il π1 di E nel π1 di X ottengo un sottogruppo normale: quindi non importa quale punto io
scelga della fibra p−1 (x), tanto coniugando un sottogruppo normale ottengo sempre lui stesso. Infine
(X,x)
.
si ha G ' ππ11(E,e
x)
• Definisco Aut(E, p): la sua azione su E è propriamente discontinua, sarebbe bello se il rivestimento
p fosse proprio dato dal quoziente di E per tale azione; peccato che ciò in generale non succeda:
infatti due punti della stessa fibra, per essere nella stessa orbita, devono avere lo stesso π1 (visto come
sottogruppo di π1 (X, x)), mentre in generale i due gruppi di punti della stessa orbita sono soltanto
sottogruppi coniugati di π1 (X, x), e non necessariamente lo stesso sottogruppo.
Coniugando un sottogruppo ottengo sempre lui stesso ⇔ è un sottogruppo normale. Questo motiva
la definizione del prossimo paragrafo.
Se E non è connesso allora le proiezioni p∗ (π1 (E, ex )) non si parlano se prendo due punti ex1 ed ex2 in
componenti connesse diverse.
Se E non è connesso allora non è neppure detto che l’azione di Aut(E, p) sia propriamente discontinua:
potrebbero per esempio esserci automorfismi che muovono una componente connessa lasciando ferme
tutte le altre.
• π1 (X, x) agisce sulla fibra p−1 (x): due punti ex1 ed ex2 stanno nella stessa orbita ⇔ stanno nella stessa
componente connessa. Quindi come a solito punti in componenti connesse diverse non si parlano. Se
E è connesso, allora, fissato un elemento, si ha la solita corrispondenza biunivoca tra un’orbita e le
classi laterali (in questo caso destre) dello stabilizzatore dell’elemento.
• Per strada abbiamo collezionato un utile lemma che dice quando è possibile sollevare un’applicazione
f : Y → X. Ovviamente anche qui si possono fare un po’ di discorsi sulla connessione di Y ...
R IVESTIMENTI REGOLARI
• (Rivestimento regolare) p : E → Y rivestimento è detto regolare se E connesso e per ogni e ∈ E si ha
che p∗ (π1 (E, e)) è un sottogruppo normale di π1 (X, pe).
• E connesso. p : E → X rivestimento. Allora p è regolare ⇔ Aut(E, p) agisce transitivamente sulle
fibre di p ⇔ il rivestimento è ’isomorfo’ a quello ottenuto quozientando E per l’azione di Aut(E, p).
• E connesso. p : E → X rivestimento regolare. Allora i gruppi Aut(E, p) e
π1 (X,p(e))
p∗ (π1 (E,e))
sono isomorfi.
R IVESTIMENTO UNIVERSALE
e → X rivestimento è detto universale se X
e semplicemente connesso.
• (Rivestimento universale) u : X
e u) agisce liberamente e transitivamente sulle fibre di u ed è isomorfo a π1 (X).
• u è regolare e Aut(X,
e → X rivestimento universale e p : E →
• (Proprietà universale del rivestimento universale) Dato u : X
e → E con
X rivestimento, per ogni x
e e e con u(e
x) = p(e) c’e un unico morfismo di rivestimenti ϕ : X
ϕ(e
x) = e.
21
• Tutti i rivestimenti universali di X sono isomorfi.
• X è semilocalmente semplicemente connesso se x ha un intorno Ux connesso per archi tale che ogni
cammino da x ad x contenuto in Ux è omotopo in X al cammino banale.
e → X rivestimento universale ⇔ X
• X connesso e localmente connesso per archi. Esiste u : X
semilocalmente semplicemente connesso.
R IVESTIMENTI CON MONODROMIA ASSEGNATA
• p : E → X rivestimento. E connesso ⇔ l’azione di monodromia è transitiva.
• p : E → X universale ⇔ l’azione di monodromia è transitiva e libera.
• p : E → X regolare ⇔ l’azione di monodromia è transitiva e gli stabilizzatori sono sottogruppi
normali.
• X connesso, localmente connesso per archi, semilocalmente semplicemente connesso. Per ogni insieme T e per ogni azione destra di π1 (X, x) su T esiste un rivestimento p : E → X ed una bigezione
φ : T → p−1 (x) con φ(t[α]) = φ(t) · [α]. Tale rivestimento è unico a meno di isomorfismo.
• X connesso, localmente connesso per archi, semilocalmente semplicemente connesso. Dato H sottogruppo di π1 (X, x), esiste un rivestimento p : E → X e un e ∈ p−1 (x) con p∗ (π1 (E, e)) = H.
VAN K AMPEN
• (Van Kampen weak) X = A∪B aperti. A, B e A∩B connessi per archi. x ∈ A∩B, j A e j B le inclusioni
da A e B in X. Allora π1 (X, x) è generato da j∗A (π1 (A, x)) e j∗B (π1 (B, x)).
• Se X = A ∪ B con A e B aperti semplicemente connessi e A ∩ B connesso per archi, allora X
semplicemente connesso.
• (Van Kampen: proprietà universale) X = A ∪ B aperti. A, B e A ∩ B connessi per archi. x ∈ A ∩ B, iA
e iB le inclusioni da A ∩ B in A e B, j A e j B le inclusioni da A e B in X.
B
G gruppo e a : π1 (A, x) → G e b : π1 (B, x) → G omomorfismi tali che a ◦ iA
∗ = b ◦ i∗ .
Allora esiste un unico omomorfismo ϕ : π1 (X, x) → G tale che ϕ ◦ j∗A = a e h ◦ j∗B = b.
• (Van Kampen gold edition) X = A ∪ B aperti. A, B e A ∩ B connessi per archi. x ∈ A ∩ B, iA e iB le
inclusioni da A ∩ B in A e B, j A e j B le inclusioni da A e B in X.
Consideriamo il prodotto libero π1 (A, x) ∗ π1 (B, x), e siano a : π1 (A, x) → π1 (A, x) ∗ π1 (B, x) e b :
π1 (B, x) → π1 (A, x) ∗ π1 (B, x) gli omomorfismi naturali.
Allora π1 (X, x) è isomorfo a π1 (A, x) ∗ π1 (B, x) quozientato per il sottogruppo normale generato da
(aj∗A [α])(bj∗B [α])−1 al variare di [α] ∈ π1 (A ∩ B, x). (Nota: basta considerare (aj∗A [α])(bj∗B [α])−1 al
variare di [α] in un insieme di generatori di π1 (A ∩ B, x))
A
A
B
• Se iB
∗ surgettivo allora j∗ surgettivo e il nucleo è il sottogruppo normale generato da j∗ (Ker j∗ ).
π1 (A)
Quindi in tal caso π1 (X) ' iA Ker (iB ) .
∗
• Se
iB
∗
∗
è un isomorfismo, allora anche j∗A è un’isomorfismo.
• Se A ∩ B semplicemente connesso allora π1 (A ∪ B, x) ' π1 (A, x) ∗ π1 (B, x).
22
FATTI
X e Y spazi connessi per archi.
• Spazi omotopicamente equivalenti hanno lo stesso π1 .
• Il π1 di un retratto per deformazione è isomorfo al π1 dello spazio.
• Dati due spazi omotopicamente equivalenti, esiste un terzo spazio di cui entrambi questi siano retratti
per deformazione.
• π1 (X × Y ) = π1 (X) × π1 (Y ).
• Se X = A ∪ B con A, B aperti connessi per archi e A ∩ B semplicemente connesso (e non vuoto) allora
π1 (X) = π1 (A) ∗ π1 (B).
• Il π1 dell’unione disgiunta di due spazi connessi con un arco che connette un punto dell’uno ad un
punto dell’altro è il prodotto libero tra i π1 .
• π1 (X con una 1-cella attaccata) = π1 (X) ∗ Z.
• Il π1 di X con una 2-cella attaccata lungo il cammino chiuso α è
π1 (X)
N ([α])
(qui N ([α]) è il sottogruppo normale generato da [α].
• Il π1 di X con una n-cella attaccata (n ≥ 3) è il π1 di X.
• (Bouquet di S 1 ) Considero lo spazio topologico ottenuto considerando ν (cardinale) copie di S 1 , ciascuna delle quali con un punto a fissato, e quozientando assieme tutti questi punti (ovvero x ∼ y ⇔
x = y o x e y sono i due punti scelti di due copie di S 1 ). Il π1 di tale spazio è il prodotto libero tra ν
copie di Z.
• Per ogni gruppo G che si ottenga quozientando un gruppo libero per un sottogruppo normale finitamente generato, esiste uno spazio topologico il cui gruppo fondamentale sia isomorfo a G.
15.
A LTRO (2)
B ROWER , B ORSUK E SIMILI
• S n è la superficie della sfera unitaria in Rn+1 . Dn è la palla unitaria chiusa in Rn .
• S 1 non è un retratto di D2 . (vale anche per S n e Dn+1 )
• (Brower) Ogni f : D2 → D2 continua ammette almeno un punto fisso. (vale anche per Dn )
• (Borsuk) Non esiste f : S 2 → S 1 continua ’antipode-preserving’ (cioè f (−x) = −f (x)). (vale anche
per S n+1 → S n )
• (Borsuk-Ulam) f : S 2 → R2 continua: allora esiste x con f (x) = f (−x). (vale anche per S n → Rn )
• (Teorema del cocomero) Dato un cocomero e un punto, esiste un piano passante per quel punto che
divide il cocomero e i semi in parti di uguale massa.
Ovvero: data f : S 2 → R2 continua antipode-preserving, esiste a con f (a) = 0.
• (Teorema del pane prosciutto e formaggio)(Stone-Tukey) Dati 3 aperti in R3 esiste un piano che divide
ciascuno in parti di uguale volume. (Vale anche con n aperti in Rn )
• Dato un campo di vettori continuo su D2 che non si annulla mai, c’è un punto in cui il campo è diretto
verso l’interno ed un punto in cui è diretto verso l’esterno.
• Non esiste f : D2 → S 1 continua tale che per ogni x ∈ S 1 valga f (−x) = −f (x).
• Ogni funzione continua f : S 2 → S 1 è omotopa alla funzione costante.
23
• A ⊆ Rn (n ≥ 3) aperto, f : A → R2 continua: allora f non iniettiva.
• g : S 2 → S 2 continua con g(x) 6= g(−x). Allora g surgettiva.
• f, g : S 1 → S 1 con f (x) 6= g(x) per ogni x: allora sono omotope.
• f : S n → S n con x 7→ −x è omotopa all’identità per n dispari.
• Ogni funzione continua da [due segmenti messi a croce] in sè ha un punto fisso.
• (Teorema di Lusternik-Schnirelmann) Dati C1 ∪ C2 ∪ C3 = S 2 chiusi, almeno un dei tre contiene due
punti antipodali.
• Dati C1 ∪ C2 ∪ C3 = S 2 chiusi connessi e d ∈ [0, 2], almeno uno dei tre contiene due punti a distanza d.
O MEOMORFISMI LOCALI
• Omeomorfismo locale: p : X → Y tale che per ogni x esistono due aperti Ux e A tali che pU Ux → A
x
è un omeomorfismo.
• Ogni omeomorfismo locale è un’applicazione aperta.
• Le applicazioni continue iniettive aperte sono omeomorfismi locali.
• I rivestimenti sono omeomorfismi locali.
• Le fibre di un omeomorfismo locale sono discrete.
• p : X → Y omeomorfismo locale. Allora
Y N1 ⇒ X N1
Y separabile e fibre numerabili ⇒ X separabile.
S EZIONI
• Sezione di una funzione suriettiva f : X → Y : una funzione s : Y → X che associa ad ogni elemento
di Y un elemento della sua controimmagine.
• Se f : X → Y continua e s sezione continua di f , allora f è un’identificazione. Se X T2, s è
un’immersione chiusa.
• Ogni retrazione r : X → A è una sezione continua dell’inclusione i : A → X.
• p : E → X rivestimento, U aperto banalizzante, e ∈ p−1 (U ): allora esiste un’unica sezione continua
se : U → p−1 (U ) con se (p(e)) = e.
M ONOIDI TOPOLOGICI
• (Monoide topologico) Una terna (X, µ, e) con X spazio topologico, µ : X × X → X associativa e
continua ed e ∈ X elemento neutro per µ.
• (X, µ, e) monoide topologico. Allora per ogni [α], [β] ∈ π1 (X, e) si ha π1 (µ)([α], [β]) = [α] ∗ [β].
In altre parole, se α, β cammini e γ(t) = µ(α(t), β(t)), allora γ è un cammino omotopo a α ∗ β.
• (X, µ, e) monoide topologico. Allora π1 (X, e) è abeliano.
• X T2 localmente compatto. C(X, X) con la topologia compatta aperta e la composizione è un monoide
topologico.
24
GL(n, R) E SIMILI
• GL(n, R) sono le matrici invertibili. GL+ (n, R) sono le matrici a determinante positivo. SL(n, R) sono
le matrici a determinante 1. Idem su C.
• O(n, R) sono le matrici ortogonali. SO(n, R) sono quelle a determinante 1.
U(n, C) le matrici ortogonali secondo il prodotto Hermitiano. SU(n, C) quelle a determinante 1.
• Metto sui gruppi definiti sopra la topologia prodotto di R o C. Sono gruppi topologici.
• GL+ (n, R), GL(n, C), SL(n, R), SL(n, C) sono connessi. GL(n, R) ha due componenti connesse.
• GL(n, R) e GL(n, C) non sono compatti.
• SO(n, R), U(n, C) e SU(n, C) sono connessi e compatti.
• SL(n, R) è un retratto per deformazione di GL+ (n, R).
• Lo spazio delle matrici (n − 1) × n di rango massimo è omotopicamente equivalente a GL(n, R).
• Trovare il gruppo fondamentale delle matrici reali 3 × 3 di rango 1.
• Dimostrare che il gruppo fondamentale di GL(n, C) è infinito.
• SU(2, C) omeomorfo a S 3 .
• G ⊆GL(R, 3) le matrici triangolari superiori con 1 sulla diagonale, Γ il sottogruppo di quelle a entrate
intere. Esiste un rivestimento di G/Γ omeomorfo a (S 1 )3 ?
• SO(3, R) è omeomorfo a P3 (R).
• Esiste f :SO(3, R) → PSU(2, C) che è omeomorfismo e isomorfismo di gruppi.
16.
E SEMPI ED ESERCIZI (2)
E SEMPI DI RIVESTIMENTI
• p : R → S 1 con t 7→ e2iπt .
• p : C → C \ {0} con z 7→ e2iπz .
• p : S n → Pn (R) la proiezione naturale.
• p : C \ {0} → C \ {0} con z 7→ z 2 .
1
1
1
1
• p : S × S → S × S con (θ, φ) 7→ (aθ + bφ, cθ + dφ). a, b, c, d interi e A =
a
c
b
. Il grado è |det (A)|.
d
• Vedi la sezione sugli spazi topologici notevoli.
R IVESTIMENTI
• Y retratto di X, i : Y → X l’inclusione, r : X → Y la retrazione. Se π1 (i)(π1 (Y, y)) è un sottogruppo
normale di π1 (X, y) allora π1 (X, y) ' π1 (Y, y) × Ker (π1 (r)).
• X semplicemente connesso. p : E → X rivestimento. Allora ogni componente connessa di E è
p-omeomorfa a X.
• p : E → X omeomorfismo locale, E e X connessi e localmente connessi per archi. E compatto T2, X
T2. Allora p è un rivestimento di grado finito.
25
• p : E → X rivestimento. Allora ogni funzione continua
f : D2 → X oppure
f : R2 → X oppure
f : Y → X (esiste g : [0, 1]2 → Y identificazione con fibre connesse)
ammette un sollevamento.
• p : E → F e q : F → X continue surgettive con E, F e X connessi.
qp rivestimento ⇒ p e q rivestimenti.
p e q rivestimenti e q ha grado finito ⇒ qp rivestimento.
p e q rivestimenti e ogni x ∈ X ha un intorno aperto semplicemente connesso ⇒ qp rivestimento.
p e q rivestimenti e X ha un rivestimento universale ⇒ qp rivestimento.
• A, E, X, Y connessi e localmente connessi per archi. f : A → E continua. p : E → X rivestimento. F :
Y → X continua. q : A → Y continua e induce un omomorfismo surgettivo tra i gruppi fondamentali.
pf = F q. Allora esiste G : Y → E con p ◦ G = F e G ◦ q = f .
• ϕ : E1 → E2 morfismo di rivestimenti. E2 connesso. Allora ϕ è un rivestimento.
• p : E → X rivestimento. E connesso. e ∈ E. Per ogni [α] ∈ N (π1 (p)π1 (E, e)) esiste un unico
ϕ ∈Aut(E, p) con ϕ(e) = e·[α]. L’applicazione N (π1 (p)π1 (E, e)) →Aut(E, p) che ne deriva è surgettiva
(p)π1 (E,e))
'Aut(E, p).
e induce un isomorfismo N π(π11(p)π
1 (E,e)
e → Ye continua.
• Ogni f : X → Y continua si solleva ad fe : X
• p : E → X rivestimento. E connesso. A ⊆ X aperto. i : A → X l’inclusione. e ∈ p−1 (A). Allora
p−1 (A) connesso ⇔ π1 (i)π1 (A, pe) interseca ogni laterale destro di π1 (p)π1 (E, e).
• X connesso, localemente connesso, semilocalmente semplicemente connesso. X ha un retratto omeomorfo a S 1 . Allora per ogni d > 0 intero, X ammette un rivestimento connesso regolare di grado
d.
M ISCELLANEA
• [S 1 , X] è l’insieme delle classi di omotopia di funzioni continue da S 1 in X. Se X connesso per archi,
allora [S 1 , X] è in bigezione con le classi di coniugio di π1 (X).
• X semplicemente connesso ⇔ ogni applicazione continua f : S 1 → X si estende ad f : D2 → X.
• X T2 localmente compatto, G agisce liberamente, ogni K compatto interseca un numero finito di
sue immagini secondo elementi di G; allora G agisce in modo propriamente discontinuo e X/G T2
localmente compatto.
• La proiezione p : S n → Pn (R) non ha sezioni continue.
• Il rivestimento p : R → S 1 non ha sezioni continue.
• p : E → X rivestimento connesso di grado≥ 2. Allora p non ammette sezioni continue.
• α (da (0, 0) a (1, 1)) e β (da (1, 0) a (0, 1)) cammini in [0, 1]2 . Mostrare che si intersecano.
• X ⊆ R2 omeomorfo a S 1 ed esiste una palla tale che l’intersezione di X con tale palla è un segmento.
Allora R2 \ X non è connesso.
• Il bordo del nastro di Moebius non è un retratto.
• Ogni funzione continua da [seno del topolgo] in sè ha un punto fisso (il seno del topologo è il grafico
di sin( x1 ) in (0, 1] unito il segmento {(0, y) : Y ∈ [−1, 1]}.
26
C ALCOLARE IL π1
• Il toro meno un punto.
• S 2 unito i tre piani coordinati di R3 .
• La salsiccia (tante S 2 in fila che si tangono).
• La collana (tante S 2 in fila distanziate e ogni coppia di S 2 consecutive collegata da un arco).
• R3 \ ({(0, 0, z)} ∪ {(cos, sin, 0)})
• f : S 1 × S 1 → S 2 continua e Γ il suo grafico. Calcolare il π1 di S 1 × S 1 × S 2 \ Γ.
• Determinare il rivestimento universale di S 2 con due punti a caso identificati.
• Due copie di S 1 con un punto in comune. Mostrare che il π1 non è abeliano. Calcolarlo.
• R3 \retta∪punto omeomorfo a R \ S 1 . Calcolarne il π1 .
• R3 \ ({(sin, 0, cos)} ∪ {(≥ 1, 0, 0)}).
• R3 \ ({(sin, 0, cos)} ∪ {(sin + 1, cos, 0)}).
• Tre S 2 tangenti a due a due.
• Due spazi topologici connessi per archi X1 e X2 , più un arco che abbia un estremo in X1 ed un estremo
in X2 .
• R3 \ ({(sin − 2, 0, cos)} ∪ {(sin + 2, 0, cos)}).
• R3 \ ({(x, 0, 0)} ∪ {(0, y, 0)} ∪ {(0, 0, z)}).
• S 2 \ n punti.
• Il piano meno n punti.
• Il perimetro del quadrato e le due diagonali.
• R3 \ una circonferenza ed n rette passanti dentro essa.
• Rn meno un sottospazio di dimensione k.
• Cn meno un sottospazio di dimensione k.
• Pn (C) meno un sottospazio proiettivo di dimensione k.
• Cn meno due sottopsazi distinti di dimensione n − 1.
• Una quadrica non degenere in P2 (C).
• Una quadrica semplicemente degenere in P2 (C).
P RODOTTI
• Se f : E → X è un omeomorfismo locale con E T2, allora la diagonale di E × E è aperta e chiusa in
{(e1 , e2 ) : f (e1 ) = f (e2 )}.
• Se p e q sono rivestimenti, allora p × q è un rivestimento.
• p : E → X rivestimento. Y connesso e localmente connesso per archi. f : Y → X continua. Allora
g : {(e, y) : p(e) = f (y)} → Y con (e, y) 7→ y è un rivestimento.
• p : E → X rivestimento. A = {(e1 , e2 ) : pe1 = pe2 } e ∆ = {(e, e) : e ∈ E}. Allora ∆ è aperto e chiuso
in A.
27
A LCUNI SPAZI TOPOLOGICI NOTEVOLI
• S n e Dn sono T4 N2 compatti; connessi per archi, localmente connessi per archi (eccetto S 0 ); semplicemente connessi (eccetto S 0 e S 1 ).
• S 1 . Connesso per archi. Rivestimento universale dato da R quozientato per il gruppo di omomorfismi
{x 7→ x + n}. Gruppo fondamentale: Z.
• S n semplicemente connesso per n ≥ 2.
• Dn semplicemente connesso per n ≥ 1.
• S ∞ ⊆ l2 (R) lo spazio delle successioni a quadrato sommabile e di norma 1. S ∞ è omotopicamente
equivalente ad un punto.
• Toro: S 1 × S 1 . Connesso per archi. Rivestimento universale dato da R2 quozientato per il gruppo di
omeomorfismi {(x, y) 7→ (x + n, y + m)}. Gruppo fondamentale: Z2 .
• Nastro di Moebius. Rivestimento universale dato da R × [−1, 1] quozientato per il gruppo di omeomorfismi {(x, y) 7→ (x + n, (−1)n y)}. Gruppo fondamentale: Z.
• Bottiglia di Klein. Rivestimento universale: R2 quozientato per il gruppo di omeomorfismi generato
da (x, y) 7→ (x, y + 1) e (x, y) 7→ (x + 1, 1 − y). Gruppo fondamentale: generato da a e b con bab = a.
Non è abeliano.
• Tutti i convessi (o anche gli stellati) di Rn sono omotopicamente equivalenti ad un punto.
• Rn (n ≥ 3) meno un numero finito di punti è semplicemente connesso.
• P1 (R) omeomorfo ad S 1 .
• P1 (C) omeomorfo a S 2 .
• P2 (R) omeomorfo ad un nastro di Moebius e un disco con il bordo quozientato.
• Pn (R). Connesso per archi. Rivestimento universale dato da S n quozientato per il gruppo di omeomorfismi generato da x 7→ −x. Gruppo fondamentale: Z2 .
• Pn (C) (n ≥ 0) semplicemente connesso.
• (Spazio lenticolare) 0 < p < q e ω radice q-esima dell’unità. S 3 = {(z, w) : |z|2 + |w|2 = 1}. Allora il
gruppo generato da (z, w) 7→ (ωz, ω p w) agisce in modo propriamente discontinuo.
• Due tori pieni con i bordi quozientati (ogni punto di un bordo identificato con il rispettivo dell’altro
bordo) è omeomorfo a S 3 .
• S n × S n \ {(p, p)} è omotopicamente equivalente a S n e a R2 \ 2 punti.
S PAZI TRA LORO NON OMEOMORFI
• (0, 1) e (0, 1] e [0, 1] sono a due a due non omeomorfi.
• R2 non omeomorfo a R2 \ {0}.
• R2 non omeomorfo a R × [0, 1].
• R2 non omeomorfo a R × [0, +∞).
• aperto di R non omeomorfo ad aperto di Rn .
• Rn \ a punti non è omeomorfo a Rm \ b punti (n, m ≥ 2 e a 6= b).
• Il cilindro aperto (infinito) in R3 non è omeomorfo al cilindro chiuso (infinito) in R3 .
• {z > 0} ∪ {z = 0 x2 + y 2 < 1} non omeomorfo a {z > 0} ∪ {z = 0 x2 + y 2 > 1}.
28
VARIANTI DI π0
E
π1
• Ki esaustione in compatti tale che π0 (X \ Ki ) siano definitivamente equipotenti al variare di i. Allora
per ogni altra esaustione in compatti Hi anche π0 (X \ Hi ) sono definitivamente equipotenti.
Q
π0 (U \ {x}) : s è
• (π0 locale) Presa una base di intorni A di x, definiamo π0 (X \ {x}, x) come {s ∈
U ∈A
coerente} dove s coerente vuol dire che se U ⊆ V allora π0 (i)(sU ) = sV con i : U → V l’inclusione.
π0 (X \ {x}, x) non dipende da A.
• Kn esaustione in compatti e a ∈ K1 . Se ∀n l’inclusione in : Kn → Kn+1 induce un isomorfismo
π1 (in ) : π1 (Kn , a) → π1 (Kn+1 , a) allora ogni inclusione da Kn in X induce un’isomorfismo tra i
gruppi fondamentali.
G RUPPI TOPOLOGICI
• p : G → H rivestimento e omomorfismo di gruppi topologici connessi e localmente connessi per archi.
Allora Ker (p) ⊆ Z(G).
• Determinare gli omomorfismi di gruppi continui da S 1 in S 1 .
• p : E → G rivestimento di un gruppo topologico con unità 1. Fissato e ∈ p−1 (1), esiste un’unica
operazione che rende E gruppo con e elemento neutro e p omomorfismo. Se G è abeliano anche E è
abeliano.
• G gruppo topologico connesso compatto localmente connesso per archi con elemento neutro e. Allora
ogni omomorfismo continuo f : G → S 1 è univocamente determinato da π1 (f ).
• (X, µ, e) monoide topologico. pn : x 7→ xn . Allora π1 (pn ) : [α] 7→ [α]n .
• G gruppo topologico connesso per archi, e elemento neutro, g̃ l’automorfismo di coniugio per g.
Allora π1 (g̃) : π1 (G, e) → π1 (G, e) è l’identità.
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