Esercizi di topologia Definizione. Sia x un punto di uno spazio

Esercizi di topologia
Definizione. Sia x un punto di uno spazio topologico (X, τ ), e sia Ix la famiglia
degli intorni di x. Un sottoinsieme Bx di Ix si dice una base di intorni per x se
per ogni I in Ix esiste B in Bx con B ⊆ I.
Esempio. In uno spazio metrico la famiglia
Bx = {Br (x), r > 0}
è una base di intorni di x (per la topogia indotta dalla metrica).
Definizione. Uno spazio topologico (X, τ ) si dice localmente connesso per archi
se ogni punto ammette una base di intorni connessi per archi (ovvero una base
di intorni i cui elementi sono tutti sottospazi connessi per archi di x).
Esempio. Lo spazio topologico Rn con la topologia euclidea è localmente connesso per archi.
Esercizi.
1. Sia (X, τ ) uno spazio topologico. Dimostrare che la relazione x ∼ y su X
definita da x ∼ y se e solo se esiste un arco da x in y è una relazione di
equivalenza.
2. Sia (X, τ ) uno spazio topologico. Dimostrare che X è connesso per archi
se e solo se esiste un punto x0 in X con la proprietà che ogni altro punto
x può essere congiunto ad x0 mediante un arco.
3. Sia (X, τ ) uno spazio topologico localmente connesso per archi. Dimostrare
che X è connesso se e solo se è connesso per archi.
4. Dimostrare che un aperto di Rn (con la topologia euclidea) è connesso se
e solo se è connesso per archi.
5. Costruire un esempio di spazio topologico connesso per archi che non è
localmente connesso per archi (suggerimento: costruire una variante de
“la pulce e il pettine”).
6. Dimostrare che Rn \ {0} (con la topologia euclidea) è sconnesso per n = 1
ed è connesso per archi per ogni n > 1.
7. Dimostrare che Cn \ {0} (con la topologia euclidea) è connesso per archi
per ogni n > 0.
8. Sia GL(n; R) il gruppo delle matrici invertibili n × n a coefficienti reali.
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Identificando l’insieme delle matrici n × n a coefficienti reali con Rn ,
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possiamo pensare GL(n; R) come un sottoinsieme di Rn . Dimostrare che
GL(n; R) è aperto (rispetto alla topologia euclidea di Rn ).
9. Dimostrare che GL(n; R) non è connesso.
10. Sia e1 = (1, 0, . . . , 0) il primo vettore della base canonica di Rn . Si consideri l’applicazione f : GL(n; R) → Rn data da f (A) = A · e1 . Dimostrare
che f è continua e aperta.
11. Sia GL+ (n; R) il gruppo delle matrici invertibili n × n a coefficienti reali
e determinante positivo. Dimostrare che GL+ (n; R) è connesso per archi.
12. Dimostrare che GL(n; C) è connesso per archi.
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