ESAME DI GEOMETRIA 2. 1-07-2013, SOLUZIONI: ESERCIZIO 1

ESAME DI GEOMETRIA 2. 1-07-2013, SOLUZIONI:
ESERCIZIO 1 Sia X il sottoinsieme di R3 definito da
X=
[
{(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1/n2 },
06=n∈N
dotato della topologia indotta.
1. Determinare la parte interna di X.
2. Determinare la chiusura X̄ di X in R3 .
3. Si dica se X è connesso.
4. Si dica se X̄ è localmente connesso.
5. Si dica se X̄ è compatto
6. Si dica se X̄ è omeomorfo alla compattificazione di Alexandrov di X.
7. Sia Y = X ∩ {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 < 1/2}. Si dica se Y è omeomorfo a X.
SOLUZIONE
1. X è l’unione delle sfere di raggio 1/n. Preso un punto che dista dall’origine 1/n
per un intero n, un suo intorno, esempio di raggio , contiene punti che distano
dall’origine (1/n − , 1/n + ) quindi, per opportuno, che non appartengono a X.
Quindi int(X) = ∅.
2. X ∪ {(0, 0, 0)} è contenuto in X̄ in quanto la successione (1/n, 0, 0) di punti di X
ha l’origine come punto limite. D’altra parte il complementare di X ∪ {(0, 0, 0)} è
l’insieme dei punti la cui distanza dall’origine è 6= 0, 6= 1/n. La funzione R3 → R
data da (x, y, z) → x2 + y 2 + z 2 è continua e il complementare di X ∪ {(0, 0, 0)} è la
retroimmagine di R \ {0} ∪ {1/n} che e’ un aperto. Quindi X̂ = X ∪ {(0, 0, 0)}.
3. Ogni sfera Sn := {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 = 1/n2 } è, nella topologia indotta,
aperta e chiusa in X. Quindi non è connesso.
4. Ogni intorno dell’origine contiene una palla, quindi interseca infinite sfere Sn . In
particolare X̄ non è localmente connesso.
5. Essendo chiuso e limitato in R3 si ha che X̄ è compatto.
6. Sia X̂ la compattificazione di Alexandrov di X. Definiamo F : X̂ → X̄ estende
l’identità su X mandando ”∞” in (0, 0, 0). E’ chiaramante biiettiva. Per il ”compact Hausdorff theorem” basta mostrare che è continua. L’unico punto che si deve
controllare è ∞. Un intorno aperto di (0, 0, 0) ha come complementare un numero
finito di sfere Sn , che è compatto quindi, letto in X̂ è, per la definizione della
topologia sulla compattificazione, un intorno aperto di ∞. L’applicazione dunque è
continua ed è un omoemorfismo.
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7. Sono omeomorfi: Y = X \ S1 . basta definire omeomorfismi Sn → Sn+1 e metterli
insieme.
ESERCIZIO 2 (punti 2+2+2+4+4+4) Sia τ la topologia di R2 generata dai semipiani
affini aperti. In altre parole la piú piccola (in altre parole la meno fine) topologia contenente
gli insiemi del tipo
Aabc = {ax + by + c > 0}, con a, b, c ∈ R.
1. (R2 , τ ) è connesso?
2. (R2 , τ ) è compatto?
3. (R2 , τ ) è Hausdorff?
Sia ora σ la topologia di R2 generata dai semipiani aperti. In altre parole la piú piccola
topologia contenente gli insiemi del tipo Aab = {ax + by > 0} con a, b ∈ R.
1. (R2 , σ) è connesso?
2. (R2 , σ) è compatto?
3. (R2 , σ) è Hausdorff?
SOLUZIONE
1. Poiché i semipiani affini sono aperti nella topologia euclidea, τ non sar à pi ù fine
di questa. La topologia meno fine che contiene i semipiani affini dovrà contenere
anche le loro intersezioni, quindi conterrà ad esempio i rettangoli. Questi sono una
base per la topologia euclidea. Quindi τ è la topologia euclidea su R2 . In particolare
(R2 , τ ) è connesso, Hausdorff, non compatto.
2. Poiché i semipiani affini sono aperti nella topologia euclidea, σ non sarà pi ù fine di
questa. Quindi (R2 , σ) è ancora connesso. Osserviamo che l’unico aperto di σ contenente l’origine è tutto R2 . Quindi ogni ricoprimento aperto, dovendo contenere un
qualche aperto he contiene l’origine, avrà R2 tra i suoi aperti. In particolare (R2 , σ)
è compatto. Poiché l’unico aperto contenente l’origine è tutto R2 si ha ovviamente
che (R2 , σ) non è Hausdorff.
ESERCIZIO 3 (punti 2+2+2+2) Dimostrare o trovare un controesempio per ciascuna
delle seguenti affermazioni.
1. Sia X un’insieme tale che per ogni topologia τ su X, (X, τ ) sia compatto. Allora X
è un insieme di cardinalità finita.
2. Sia X un’insieme tale che per ogni topologia τ su X, (X, τ ) sia connesso. Allora X
è un insieme di cardinalità zero o uno.
3. Per ogni insieme X esiste una topologia su X che lo rende compatto.
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4. Uno spazio topologico X dotato della topologia discreta è compatto se e solo se X
è finito.
SOLUZIONE: Intanto osserviamo che se uno spazio ha topologia discreta è connesso
se e solo se è vuoto oppure ha un solo elemento. (altrimenti esiste u sottoinsieme proprio
che sarà aperto e chiuso), ed è compatto se e solo se è finito (altrimenti si prende il
ricoprimento costituito dai suoi punti, che sono aperti. Chiaramente non si può togliere
alcun aperto da questo ricoprimento quindi se lo spazio è compatto questo ricprimento,
che ha cardinalità uguale alo spazio è finito).
1. Prendendo τ = la topologia discreta si vede che è vero.
2. Prendendo τ = la topologia discreta si vede che è vero.
3. Vero, ogni spazio è compatto per la topologia grossolana.
4. Vedi premessa
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