GONIOMETRIA funzioni goniometriche di angoli acuti © 2006 Corso multimediale di matematica Prof. Calogero Contrino goniometria: funzioni goniometriche di angoli acuti Sia dato un generico angolo acuto = aOb di vertice O e lati a, b . Si consideri su uno dei suoi lati (p.e. il secondo) una generica sequenza di punti (anche infinita) P, P, P” …. Si effettui la proiezione ortogonale dei punti P, P, P” …. sull’ altro lato (nell’esempio il primo) ottenendo la sequenza di punti H , H’ , H” ….. Nella figura così ottenuta si individuano i triangoli rettangoli OHP , OH’P’ , OH”P” …. Tali triangoli risultano simili . vedi HP = OP H’P’ = OP’ H”P” = ... OP” b) OH = OP O’H’ = OP’ O”H” . . . = OP” c) HP = OH H’P’ = OH’ H”P” = ... OH” a) Pertanto si ha : Fig.1 P” P’ O H Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino P H’ H” 24/10/2014 a 2/8 goniometria: funzioni goniometriche di angoli acuti Le catene di rapporti viste prima assumo valori che dipendono dal valore dell’angolo in modo univoco, vale a dire per ogni ampiezza dell’angolo acuto si ha uno ed un sol valore per ciascuna di esse , pertanto ognuna delle tre catene è una funzione dell’angolo . A ciascuna di esse viene assegnata un nome specifico, in particolare si ha : definizione 1 Dicesi seno dell’angolo (in simboli sen) il valore della catena di rapporti : HP = H’P’ = H”P” = . . . OP OP’ OP” Fig.1 definizione 2 Dicesi coseno dell’angolo (in simboli cos) il valore della catena di rapporti : OH = O’H’ = O”H” = . . . OP OP’ OP” P” P’ P definizione 3 Dicesi tangente dell’angolo (in simboli tg) il valore della catena di rapporti : HP = H’P’ = H”P” = . . . OH OH’ OH” Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino O H H’ H” 24/10/2014 a 3/8 goniometria: funzioni goniometriche di angoli acuti delle catene di rapporti viste prima si possono considerare i valori reciproci che individuano altre tre funzioni dell’angolo cosi definite : definizione 4 Dicesi cosecante dell’angolo (in simboli cosec) il valore della catena di rapporti : OP = OP’ = OP” = . . . HP H’P’ H”P” Fig.1 definizione 5 Dicesi secante dell’angolo (in simboli sec) il valore della catena di rapporti : OP = OP’ = OP” = . . . OH OH’ OH” P” P’ P definizione 6 Dicesi cotangente dell’angolo (in simboli cotg) il valore della catena di rapporti : OH = OH’ = OH” = . . . HP H’P’ H”P” Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino O H H’ H” 24/10/2014 a 4/8 goniometria: funzioni goniometriche di angoli acuti Le definizioni precedenti possono essere riformulate in relazione ad un generico triangolo rettangolo OHP . In tal caso si ha : sen = HP ; cos = OH ; tg = HP ; cosec = OP ; sec = OP ; cotg = OH . OP OP OH HP OH HP definizione 1’ In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti Fig.1 P sen è il valore del rapporto tra le misure del cateto opposto all’angolo e dell’ipotenusa . definizione 2’ In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti O H P” cos è il valore del rapporto tra le misure del cateto P’ adiacente all’angolo e dell’ipotenusa . definizione 3’ In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti tg è il valore del rapporto tra le misure del cateto opposto e di quello adiacente all’angolo . Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino P O H H’ H” 24/10/2014 a 5/8 goniometria: funzioni goniometriche di angoli acuti sen = HP ; cos = OH ; tg = HP ; cosec = OP ; sec = OP ; cotg = OH . OP OP OH HP OH HP Si completa la riformulazione delle definizioni : definizione 4’ In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti Fig.1 cosec è il valore del rapporto tra le misure dell’ipotenusa P e del cateto opposto all’angolo. definizione 5’ In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti sec è il valore del rapporto ttra le misure dell’ipotenusa e del cateto adiacente all’angolo. O H definizione 6’ In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti cotg è il valore del rapporto tra le misure del cateto adiacente e di quello opposto all’angolo . Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino 24/10/2014 6/8 goniometria: funzioni goniometriche di angoli acuti Le relazioni che esprimono sen , cos ,cosec e sec nel caso di un triangolo rettangolo OHP con ipotenusa OP unitaria diventano : sen = HP = HP ; cos = OH = OH ; cosec = OP = 1 OP OP HP HP Le definizioni di sen riformulate : e cos ; vengono ancora così sec = OP = 1 OH OH Fig.1 P definizione 1” In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti sen è il valore della misura del cateto opposto all’angolo . O H definizione 2” In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti cos è il valore della misura del cateto adiacente all’angolo . Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino 24/10/2014 7/8 goniometria: funzioni goniometriche di angoli acuti sen = HP = HP ; cos = OH = OH ; cosec = OP = 1 OP OP HP HP ; Mentre quelle di cosec e sec diventano : sec = OP = 1 OH OH Fig.1 definizione 4” In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti P cosec è il reciproco del valore della misura del cateto opposto all’angolo . O H definizione 5” In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti sec è il reciproco del valore della misura del cateto adiacente all’angolo . Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino 24/10/2014 8/8 goniometria: Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche E’ importante evidenziare alcune relazioni che intercorrono tra le diverse funzioni goniometriche , alcune di esse sono ricavabili direttamente dalle definizioni precedenti ed in particolare si ha : sen = HP OP cosec = OP HP sen = 1 cosec cos = OH OP sec = OP OH cos = 1 sec tg = HP OH cotg = OH HP tg = tg = sen cos cotg = cos sen 1 cotg Inoltre : tg = HP = HP OP = HP OP OH OP OH cotg = OH = OH OP = OH HP OP HP OP Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino OH OP HP OP 24/10/2014 9/8 goniometria: Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche Un’altra importante relazione si può determinare applicando il teorema di Pitagora al triangolo OHP. P Fig.1 O H Si ha infatti successivamente : OH2 + HP2 2 = OP Corso multimediale di matematica Prof Calogero Contrino OH2 HP2 + OP2 OP2 OP2 = OP2 sen2 + cos2 = 1 24/10/2014 1 10/8