Diapositiva 1 - Giudici Saetta e Livatino

GONIOMETRIA
funzioni goniometriche di angoli acuti
© 2006
Corso multimediale di matematica
Prof. Calogero Contrino
goniometria:
funzioni goniometriche di angoli acuti
Sia dato un generico angolo acuto  = aOb di vertice O e lati a, b .
Si consideri su uno dei suoi lati (p.e. il secondo) una generica sequenza di punti (anche infinita)
P, P, P” ….
Si effettui la proiezione ortogonale dei punti P, P, P” …. sull’ altro lato (nell’esempio il primo)
ottenendo la sequenza di punti H , H’ , H” …..
Nella figura così ottenuta si individuano i triangoli rettangoli OHP , OH’P’ , OH”P” ….
Tali triangoli risultano simili . vedi
HP
=
OP
H’P’
=
OP’
H”P”
= ...
OP”
b)
OH
=
OP
O’H’
=
OP’
O”H” . . .
=
OP”
c)
HP
=
OH
H’P’
=
OH’
H”P”
= ...
OH”
a)
Pertanto si ha :
Fig.1
P”
P’
O
H
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
P
H’
H”
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a
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goniometria:
funzioni goniometriche di angoli acuti
Le catene di rapporti viste prima assumo valori che dipendono dal valore dell’angolo  in
modo univoco, vale a dire per ogni ampiezza dell’angolo acuto si ha uno ed un sol valore per
ciascuna di esse , pertanto ognuna delle tre catene è una funzione dell’angolo  .
A ciascuna di esse viene assegnata un nome specifico, in particolare si ha :
definizione 1
Dicesi seno dell’angolo  (in simboli sen) il valore della
catena di rapporti : HP = H’P’ = H”P” = . . .
OP
OP’
OP”
Fig.1
definizione 2
Dicesi coseno dell’angolo  (in simboli cos) il valore della
catena di rapporti : OH = O’H’ = O”H” = . . .
OP
OP’
OP”
P”
P’

P
definizione 3
Dicesi tangente dell’angolo  (in simboli tg) il valore della
catena di rapporti : HP = H’P’ = H”P” = . . .
OH
OH’
OH”
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O
H
H’
H”
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a
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goniometria:
funzioni goniometriche di angoli acuti
delle catene di rapporti viste prima si possono considerare i valori reciproci che individuano
altre tre funzioni dell’angolo  cosi definite :
definizione 4
Dicesi cosecante dell’angolo  (in simboli cosec) il valore
della catena di rapporti : OP = OP’ = OP” = . . .
HP
H’P’
H”P”
Fig.1
definizione 5
Dicesi secante dell’angolo  (in simboli sec) il valore della
catena di rapporti : OP = OP’ = OP” = . . .
OH
OH’
OH”
P”
P’

P
definizione 6
Dicesi cotangente dell’angolo  (in simboli cotg) il valore
della catena di rapporti : OH = OH’ = OH” = . . .
HP
H’P’
H”P”
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O
H
H’
H”
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a
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goniometria:
funzioni goniometriche di angoli acuti
Le definizioni precedenti possono essere riformulate in relazione ad un generico triangolo
rettangolo OHP . In tal caso si ha :
sen = HP ; cos = OH ; tg = HP ; cosec = OP ; sec = OP ; cotg = OH .
OP
OP
OH
HP
OH
HP
definizione 1’
In un triangolo rettangolo detto  uno dei due angoli acuti
Fig.1
P
sen è il valore del rapporto tra le misure del cateto
opposto all’angolo e dell’ipotenusa .
definizione 2’
In un triangolo rettangolo detto  uno dei due angoli acuti

O
H
P”
cos è il valore del rapporto tra le misure del cateto
P’
adiacente all’angolo e dell’ipotenusa .
definizione 3’
In un triangolo rettangolo detto  uno dei due angoli acuti
tg è il valore del rapporto tra le misure del cateto opposto
e di quello adiacente all’angolo .
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
P
O
H
H’
H”
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a
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goniometria:
funzioni goniometriche di angoli acuti
sen = HP ; cos = OH ; tg = HP ; cosec = OP ; sec = OP ; cotg = OH .
OP
OP
OH
HP
OH
HP
Si completa la riformulazione delle definizioni :
definizione 4’
In un triangolo rettangolo detto  uno dei due angoli acuti
Fig.1
cosec è il valore del rapporto tra le misure dell’ipotenusa
P
e del cateto opposto all’angolo.
definizione 5’
In un triangolo rettangolo detto  uno dei due angoli acuti
sec è il valore del rapporto ttra le misure dell’ipotenusa e
del cateto adiacente all’angolo.

O
H
definizione 6’
In un triangolo rettangolo detto  uno dei due angoli acuti
cotg è il valore del rapporto tra le misure del cateto
adiacente e di quello opposto all’angolo .
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goniometria:
funzioni goniometriche di angoli acuti
Le relazioni che esprimono sen , cos ,cosec e sec nel caso di un triangolo rettangolo
OHP con ipotenusa OP unitaria diventano :
sen = HP = HP ; cos = OH = OH ; cosec = OP = 1
OP
OP
HP
HP
Le definizioni di sen
riformulate :
e cos
;
vengono ancora così
sec = OP = 1
OH
OH
Fig.1
P
definizione 1”
In un triangolo rettangolo detto  uno dei due angoli acuti
sen è il valore della misura del cateto opposto all’angolo .

O
H
definizione 2”
In un triangolo rettangolo detto  uno dei due angoli acuti
cos è il valore della misura del cateto adiacente all’angolo
.
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goniometria:
funzioni goniometriche di angoli acuti
sen = HP = HP ; cos = OH = OH ; cosec = OP = 1
OP
OP
HP
HP
;
Mentre quelle di cosec e sec diventano :
sec = OP = 1
OH
OH
Fig.1
definizione 4”
In un triangolo rettangolo detto  uno dei due angoli acuti
P
cosec è il reciproco del valore della misura del cateto
opposto all’angolo .

O
H
definizione 5”
In un triangolo rettangolo detto  uno dei due angoli acuti
sec è il reciproco del valore della misura del cateto
adiacente all’angolo .
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goniometria:
Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche
E’ importante evidenziare alcune relazioni che intercorrono tra le diverse funzioni
goniometriche , alcune di esse sono ricavabili direttamente dalle definizioni precedenti ed in
particolare si ha :
sen = HP
OP

cosec = OP
HP

sen =
1
cosec
cos = OH
OP

sec
=
OP
OH

cos =
1
sec
tg = HP
OH

cotg
=
OH
HP

tg =

tg = sen
cos

cotg = cos
sen
1
cotg
Inoltre :
tg = HP = HP OP = HP
OP
OH
OP OH
cotg = OH = OH OP = OH
HP
OP HP
OP
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OH
OP
HP
OP
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goniometria:
Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche
Un’altra importante relazione si può determinare applicando il teorema di Pitagora al triangolo
OHP.
P
Fig.1

O
H
Si ha infatti successivamente :
OH2 + HP2
2
= OP
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
OH2
HP2
+
OP2
OP2
OP2
=
OP2

sen2 + cos2 = 1
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