IL MODELLO DI CRESCITA DI SOLOW
C. SARDONI
Indice
1. Introduzione
2. La funzione di produzione well-behaved
3. La dinamica: il modello di solow
4. Il progresso tecnico
Appendice A. La distribuzione del reddito nella Cobb-Douglas
Riferimenti bibliografici
1
1
3
6
9
9
1. Introduzione
Il modello di crescita di Solow (1956) si basa sull’uso di una funzione di produzione cosiddetta well-behaved, cioè con delle precise proprietà. Questa funzione di
produzione è introdotta e spiegata nel paragrafo 2. Il paragrafo 3 considera il modello di crescita di Solow, mentre il paragrafo 4 è dedicato ad alcune sue estensioni
e generalizzazioni.
2. La funzione di produzione well-behaved
Consideriamo un’economia con due soli fattori della produzione, capitale e lavoro; una generica funzione di produzione è
Y = F (K, L)
(2.1)
Si ipotizzano rendimenti di scala costanti, vale a dire che
F (λK, λL) = λF (K, L)
(2.2)
che equivale ad assumere che la funzione è omogenea di primo grado.
Si assumono poi rendimenti decrescenti per entrambi i fattori, cioè
∂F (K, L)
∂ 2 F (K, L)
> 0 and
<0
∂K
∂K 2
∂F (K, L)
∂ 2 F (K, L)
> 0 and
<0
∂L
∂L2
Date: 11 dicembre 2014.
1
(2.3)
2
C. SARDONI
Spesso si usa una forma intensiva della funzione di produzione, che si ottiene
dividendo entrambi i fattori per L:1
K L
Y
= F( , )
L
L L
che scriviamo come
y = f (k)
(2.4)
La funzione (2.4) ha le stesse proprietà della (2.1), cioè
f (0) = 0
fk0 (k) > 0
fk00 (k) < 0
dove fk0 (k) denota la derivata prima di f rispetto a k e fk00 (k) la derivata seconda.
Queste proprietà possono essere espresse anche nel modo seguente:
f (0) = 0
fk0 (0) = ∞
fk0 (∞) = 0
(2.5)
Note anche come condizioni di Inada.
2.1. La funzione Cobb-Douglas. Introduciamo ora una funzione di produzione
specifica, la funzione Cobb-Douglas che ha la seguente forma
Y = F (K, L) = k α L1−α
(2.6)
con
∂F
= αK α−1 L1−α
(2.7)
∂K
∂F
= (1 − α)L−α K α
∂L
Si noti anche che gli esponenti di K e L, α e (1 − α) esprimono rispettivamente
l’elasticità della produzione rispetto al capitale e rispetto al lavoro.2
Anche per la Cobb-Douglas prendiamo la sua forma intensiva:
K L
K α L1−α
y=f
,
=
= kα
(2.8)
L L
L
1Si
noti che questa trasformazione è possibile grazie all’ipotesi di rendimenti di scala costanti.
della produzione Y rispetto al capitale K è
∂Y K
K
= [αK α−1 Lα ] = α
∂K Y
Y
L’elasticità della produzione rispetto al lavoro è
∂Y KL
L
= [(1 − α)Lα K α ] = (1 − α).
∂L Y
Y
Si veda l’Appendice A per l’analisi della distribuzione del reddito che deriva dalla Cobb-Douglas.
2L’elasticità
IL MODELLO DI CRESCITA DI SOLOW
3
3. La dinamica: il modello di solow
3.1. Lo stato stazionario. Assumiamo innanzi tutto che il lavoro L cresca al
tasso n, vale a dire
L̇
dL
= L̇ = nL e quindi n =
dt
L
Per quanto riguarda il capitale K, abbiamo
K̇ = sY − δK
(3.1)
dove δK (con 0 < δ < 1) denota la quota dello stock di capitale che si erode di
periodo in periodo.
Dalla (3.1) abbiamo che
sY = K̇ + δK
Tutto il risparmio sY è investito e destinato all’aumento dello stock di capitale
(K̇) e al rimpiazzo del capitale eroso (δK).
In un’economia chiusa e senza settore pubblico, l’equilibrio si realizza quando
Y = C + I = C + K̇ + δK
Passiamo alla forma intensiva e calcoliamo k̇.
∂K
∂ K
−1
=L
− nK
k̇ =
∂t L
∂t
Essendo K̇ =
∂K
∂t
= sY − δK e
Y
L
= f (k), si ottiene
∂ K
= sf (k) − (δ + n)k
(3.2)
∂t L
La funzione di produzione considerata è rappresentata graficamente qui sotto. Il
punto di equilibrio k ∗ è lo stato stazionario, dove l’investimento è giusto sufficiente
a rimpiazzare il capitale eroso (δk) e far crescere lo stock di capitale proporzionalmente alla popolazione. In tal modo, in k ∗ il rapporto capitale/lavoro (k) resta
costante, cioè si ha k̇ = ∂k
= 0.
∂t
k̇ =
3.2. Il tasso di crescita dell’output. Usando la funzione Cobb-Douglas calcoliamo il tasso di crescita dell’output y, cioè ẏy . Essendo y = k α , si ha
k̇
ẏ
=
y
k
D’altro canto, poiché k̇ = sk α − (δ + n)k, si ottiene
ẏ
sα
= 1−α − α(s + n)
y
k
(3.3)
(3.4)
Dalla (3.3) si vede che il tasso di crescita di y è positivo fintanto che k̇ è positivo
ed è nullo per k̇ = 0, cioè nello stato stazionario. Dalla (3.4) si ricava che un
aumento della propensione marginale al risparmio, s, ha un effetto ambiguo sul
4
C. SARDONI
( +n)k
y
y
y=f(k)
sf(k)
k*
k
Figura 1. La funzione di produzione
tasso di crescita. Un aumento di s ha un effetto positivo sul primo termine della
(3.4), ma negativo sul secondo. Inoltre si osserva anche che un aumento di n e/o
δ provoca una riduzione del tasso di crescita.3
Il valore di stato stazionario di k e y si ricava anche analiticamente. In stato
stazionario deve essere k̇ = 0 il che implica dalla (3.2) che
sk α = (δ + n)k
ovvero
1
1−α
s
k =
(δ + n)
α
1−α
s
∗
y =
(δ + n)
∗
(3.5)
(3.6)
Lo stock di capitale e l’output pro-capite di stato stazionario sono crescenti in s e
decrescenti in δ e n.
Quanto detto si può descrivere graficamente.
3Se
si parte da uno stato stazionario, dove ẏy = 0, un aumento di n e/o δ determina un tasso
di crescita negativo che porterà l’economia a un nuovo stato stazionario più basso.
IL MODELLO DI CRESCITA DI SOLOW
5
y
y
y=f(k)
(n+δ)k
s'f(k)
sf(k)
k*
k*'
k
Figura 2. L’effetto di un aumento della propensione al risparmio:
l’aumento di s a s0 provoca una rotazione verso sinistra della funzione
del risparmio e si determina un nuovo stato stazionario caratterizzato
da un più elevato k e un più elevato y.
( +n)k
y
y
y=f(k)
( '+n')k
sf(k)
k*
k
Figura 3. L’effetto di un aumento di δ e/o n: l’aumento di n
e/o δ provoca una rotazione verso sinistra della retta (δ + n)k e si
determina un nuovo stato stazionario caratterizzato da un più basso
k e un più basso y.
6
C. SARDONI
3.3. La golden rule. La cosiddetta golden rule determina lo stato stazionario al
quale è associato il massimo consumo pro-capite ottenibile dall’economia.
Il consumo pro-capite è
c = (1 − s)f (k)
e, in stato stazionario è
c∗ = (1 − s)f (k ∗ ) = f (k ∗ ) − (n + δ)k ∗
(3.7)
Al crescere di s cresce k ∗ con effetto positivo su y ∗ e c∗ , ma cresce anche l’effetto
negativo dovuto alla presenza di n e δ.
Il massimo di c∗ si ottiene quando la sua derivata prima rispetto a s è uguale a
zero,
∂c∗
=0
∂s
cioè
∂f (k ∗ )
=n+δ
(3.8)
∂s
Il valore di k ∗ determinato dalla (3.8) dà il valore massimo di c∗ . Se k ∗ va oltre
questo valore, il consumo pro-capite diminuisce.
3.4. La convergenza dei tassi di crescita. L’implicazione del modello è che
le economie che hanno inizialmente uno stock di capitale pro-capite più basso
crescono più rapidamente di quelle con uno stock più elevato.4 Ne deriva pertanto
che tutte le economie convergono verso lo stesso stato stazionario.
Considerando la funzione Cobb-Douglas, il tasso di crescita del prodotto procapite, in base alla (3.4), può essere scritto
ẏ
= α(sk α−1 − δ − n)
(3.9)
y
che è decrescente in k.5
Ciò, espresso in termini di confronto fra diverse economie, significa che le economie ‘povere’, con un basso k crescono più rapidamente di quelle ‘ricche’ con
un elevato k. Pertanto si dovrà assistere ad un processo di convergenza verso un
comune stato stazionario.
4. Il progresso tecnico
Il progresso tecnico è introdotto assumendo che esso fa crescere la produttività
del lavoro, il che può essere espresso considerando la nozione di lavoro effettivo. Il
lavoro effettivo è ottenuto moltiplicando il numero dei lavoratori L per un fattore
A > 0 che misura il grado di progresso tecnico in un dato momento che ha effetto
sulla effettiva capacità produttiva dei lavoratori.
4Questa
5k α−1
=
è una conseguenza immediata dell’ipotesi di rendimenti decrescenti del capitale.
1
k1−α .
IL MODELLO DI CRESCITA DI SOLOW
7
La funzione di produzione diventa quindi,
Y = F (K, AL)
e, nella sua forma Cobb-Douglas,
Y = K α (AL)1−α
(4.1)
Il tasso di crescita della tecnologia (A) è assunto essere esogenamente dato,
Ȧt
=g>0
At
La forma intensiva della funzione di produzione si ottiene dividendo per AL.
Avremo pertanto
K
∂ AL
sF (K, AL)
k̇ =
=
− k(g + n + δ) = sf (k) − k(g + n + δ)
∂t
AL
(4.2)
Lo stato stazionario si ha quando k̇ = 0 e dalla (4.2) ciò si realizza per
∗
k =
s
δ + n + g)
1
1−α
(4.3)
che è decrescente in g.
Per quanto riguarda il tasso di crescita del prodotto pro-capite, tenendo conto
che
Y
K α (AL)1−α
=
= Ak α
L
L
si ha
k̇
k̇
ẏ
Ȧk α + αk α−1 k̇A
Ȧ
=
=
+
α
=
g
+
α
(4.4)
y
Ak α
A
k
k
Essendo k̇ = sf (k) − (δ + g + n)k, abbiamo quindi
ẏ
sf (k)
=g+α
−δ−g−n
y
k
(4.5)
Si noti che quando è k = k ∗ , cioè quando si è in stato stazionario, si ha che
sf (k) =)δ + g + n)k e quindi il termine in parentesi della (4.5) è uguale a zero.
Perciò, in stato stazionario il tasso di crescita del prodotto pro-capite è pari al
tasso di crescita della tecnologia, g.
ẏ
=g
y
(4.6)
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C. SARDONI
4.1. Il capitale umano. Il capitale umano si forma principalmente attraverso
l’istruzione che viene considerata come una forma di investimento. Introduciamo il capitale umano nel modello di Solow, indicandolo con H. La funzione di
produzione diventa
Y = F (K, AL, H)
che nella forma Cobb-Douglas è
Y = K α (AL)1−α−β H β
Ponendo k =
K
AL
eη=
H
,
AL
y=
(4.7)
abbiamo
Y
K α H β (AL)1−α−β
=
= kαηβ
AL
AL
(4.8)
Abbiamo inoltre,
k̇ = sk k α η β − k(δ + n + g)
α β
η̇ = sη k η − η(δ + n + g)
(4.9)
(4.10)
sk > 0 indica la quota del prodotto totale risparmiata e investita in capitale fisico;
sη è invece la quota investita in capitale umano.6
Lo stato stazionario si ha quando k̇ = η̇ = 0. Attraverso diversi passaggi si
ottengono i valori di k e η di stato stazionario,
1
! 1−α−β
β 1−β
s
s
η k
k∗ =
(4.11)
δ+n+g
1
α 1−α 1−α−β
s
s
η
k
η∗ =
(4.12)
δ+n+g
k ∗ è crescente in sη e η ∗ è crescente in sk . Infatti un aumento di sη determina
un aumento di η e quindi di y, che consente un maggiore investimento in capitale
fisico. D’altro canto un aumento di sk determina un aumento di k e quindi di y
che consente una maggiore investimento in capitale umano.
6Si
assume che sia il capitale fisico sia quello umano si deprezzano allo stesso tasso δ.
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Appendice A. La distribuzione del reddito nella Cobb-Douglas
In equilibrio, in concorrenza perfetta, la remunerazione dei fattori è uguale alla
loro produttività marginale. Pertanto dalla (2.7) abbiamo
∂F
= αK α−1 Lα
r =
∂K
∂F
w =
= (1 − α)Lα K α
∂L
La remunerazione totale del capitale è
Kαk α−1 L1−α = αK α L1−α
(A.1)
L(1 − α)L−α K α = (1 − α)L1−α K α
(A.2)
Mentre quella del lavoro è
Essendo Y = K α L1−α , ne risulta che
Y = αY + (1 − α)Y
(A.3)
Il prodotto totale è interamente distribuito fra i due fattori della produzione in
quote che dipendono dall’elasticità del prodotto rispetto al capitale e al lavoro (α
e (1 − α).7
Riferimenti bibliografici
Solow, R. M.: 1956, A contribution to the theory of economic growth, Quarterly
Journal of Economics 70(1), 65–94.
7Questo
è vero solo in quanto la somma di α e 1 − α è ovviamente uguale ad 1.
