Problem set 2 – esercizio 2 Il modello di Solow con progresso

Problem set 2 – esercizio 2
Il modello di Solow con progresso tecnologico
A) Livello di output per unità di efficienza.
Dato che
𝑦̃ =
𝑌
𝐴𝐿
si ottiene
𝑌
𝐾 𝛼 (𝐴𝐿)1−𝛼
𝐾 𝛼
𝛼
−𝛼
𝑦̃ =
=
= 𝐾 (𝐴𝐿) = ( )
𝐴𝐿
𝐴𝐿
𝐴𝐿
Poiché
𝑘̃ = (
𝐾
)
𝐴𝐿
Si ha che
𝑦̃ = (𝑘̃ )𝛼
B) Evoluzione dello stock di capitale per lavorare.
Lo stock di capitale per lavoratore è definito come
𝐾
𝑘=
𝐿
E la sua variazione del tempo è definita da
𝐾
𝑑𝑘 𝑑( 𝐿 )
𝑘̇ =
=
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐾
𝑑( 𝐿 ) 𝐾̇
= − 𝑛𝑘
𝑑𝑡
𝐿
La variazione del livello di capitale può essere rappresentata da
𝐾̇ = 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖 − 𝑟𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑚𝑖
𝐾̇ = 𝑠𝑌 − 𝛿𝐾
𝐾̇ = 𝑠𝐾 𝛼 (𝐴𝐿)1−𝛼 − 𝛿𝐾
Da cui
𝐾̇ 𝑠𝐾 𝛼 (𝐴𝐿)1−𝛼 𝛿𝐾
=
−
𝐿
𝐿
𝐿
𝐾̇
= 𝑠𝑘 𝛼 (𝐴)−𝛼 − 𝛿𝑘
𝐿
E quindi
𝑘̇ = 𝑠𝑘 𝛼 (𝐴)−𝛼 − (𝛿 + 𝑛)𝑘
C) Equazione dinamica per il capitale in unità di efficienza.
Procedendo allo stesso modo si ottiene l’equazione dinamica per il capitale in unità di
efficienza che è data da
𝑘̃ . = 𝑠𝑘̃ 𝛼 − (𝑛 + 𝑔 + 𝛿)𝑘̃ 𝛼
D) Valori di stato stazionario.
In stato stazionario
𝑘̃ . = 0
Ossia
𝑠𝑘̃ 𝛼 − (𝑛 + 𝑔 + 𝛿)𝑘̃ 𝛼 = 0
Da cui
1
𝑛 + 𝑔 + 𝛿 𝛼−1
𝑘 =[
]
𝑠
̃∗
E riprendendo
𝑦̃ ∗ = (𝑘̃ ∗ )𝛼
Si ha
𝛼
𝑛 + 𝑔 + 𝛿 𝛼−1
𝑦̃ ∗ = [
]
𝑠
E) Convergenza assoluta e condizionale
Si considerino due economie, A e B, caratterizzata da un uguale tasso di risparmio, di crescita
della popolazione, di deprezzamento del capitale e dal medesimo accesso alla tecnologia.
L’economia A ha però un livello iniziale di capitale e un prodotto pro capite minori rispetto
all’economia B.
L’economia A avrà un tasso di convergenza nelle fasi iniziali del processo maggiore rispetto a
quello dell’economia B. tuttavia, entrambe le economie convergeranno ad uno stesso livello di
stato stazionario. Questo fenomeno è noto come Convergenza assoluta.
In base a questo fenomeno i paesi più poveri (caratterizzati quindi da una minore dotazione di
capitale pro capite) tendono a crescere più velocemente dei paesi più ricchi (maggiore
dotazione di capitale pro capite), a parità di tassi di risparmio.
Introducendo eterogeneità tra le economie, le due economie A e B partirebbero dallo stesso
livello di prodotto pro capite, ma con dei tassi di risparmio diversi. Nel lungo periodo A e B
convergerebbero a due livello di equilibrio diversi. Questo fenomeno è invece conosciuto
come Convergenza condizionale.
Per approfondimenti consultare “Economic Growth”, R.Barro e M. Sala-i-Martin.
F) Domanda 1: Falsa. Il paese A è caratterizzato da un tasso di crescita della popolazione
maggiore del paese B. Pertanto, il livello di stato stazionario dell’output misurato in unità di
efficienza dovrà essere spalmato su una maggiore popolazione. Quindi l’output di equilibrio in
unità di efficienza sarà minore nel paese A rispetto al paese B. Attenzione: i livelli assoluti
(quindi non in termini pro capite o in unità di efficienza) saranno i medesimi per A e per B.
Domanda 2: Falsa. Nello stato stazionario le economie hanno pari tasso di crescita pari a g, in
quanto sono caratterizzate dal medesimo tasso di progresso tecnologico, gA=gB.