Esercizi di Teoria della Crescita Economica
Prof. Carmelo P. Parello
Questa versione: 4 maggio 2011
LEGENDA: (*) semplice (**) intermedio (***) avanzato
Esercizi obbligatori:
Es.1 (***) Considerate un’economia concorrenziale come quella descritta nel capitolo IV senza crescita
demogra…ca. La struttura di preferenze delle famiglie è del tipo Stone-Geary:
U=
Z
1
0
dove c (t)
e
t
"
1
(c (t)
)
1
1
#
dt ,
>0
C (t) =L (t) denota il consumo pro capite delle famiglie. Supponete che la tecnologia di
produzione sia del tipo Cobb-Douglas:
1
Y (t) = [A (t) L (t)]
dove A (t) = A (0) e
t
e
>0e
K (t) ;
2 (0; 1) sono due parametri tecnologici dati esogenamente.(i) De…nite
l’equilibrio dinamico di laissez-faire di questa economia. (ii) E’possibile dimostrare che un sentiero di
crescita bilanciata esiste sempre (motivare la risposta)? (iii) Derivate sotto quale restrizione parametrica
la condizione No-Ponzi - o condizione di trasversalità - è rispettata. (iv) Studiate la dinamica transizionale
di questa economia. [L’es. vale 12 pt]
Es.2 (*) Considerate un modello a generazioni sovrapposte come quello descritto nel capitolo V.
Supponete che il tasso di deprezzamento del capitale sia positivo e pari a
r t = kt
1
(1
2 (0; 1) ; in modo che
). (i) De…nite l’equilibrio dinamico di questa economia e trovate lo stato stazionario
1
in presenza di preferenze logartimiche. (ii) E’cambiato qualcosa dal punto di vista dinamico rispetto al
caso in cui
= 0? [L’es. vale 5 pt]
Almeno un esercizio a scelta tra i seguenti:
Es.3 (**) Considerate un’economia concorrenziale come quella descritta nel capitolo IV senza progresso tecnico. La struttura di preferenze delle famiglie è del tipo CRRA:
U=
Z
1
e
(
n)t
0
dove c (t)
"
#
1
c (t)
1
dt ,
C (t) =L (t) indica il consumo pro capite delle famiglie. In questa economia il governo tassa
in maniera proporzionale sia i rendimenti delle attività …nanziarie sia il reddito da lavoro, dimodocchè
il tasso rendimento percepito dalle famiglie ed il salario reale siano rispettivamente pari a r (t) (1
e w (t) (1
w )-
dove
k
2 (0; 1) e
w
k)
2 (0; 1) denotano le due liquote …scali proporzionali. Supponete
inoltre che la tecnologia di produzione sia del tipo Cobb-Douglas:
1
Y (t) = AL (t)
dove A > 0 e
K (t) ;
2 (0; 1) sono due parametri tecnologici dati esogenamente. (i) De…nite l’equilibrio
dinamico di laissez-faire di questa economia. (ii) Studiate le proprietà dello stato stazionario del modello
e analizzate le sue proprietà dinamiche. (ii) Cosa succede allo stato stazionario se
! 1? (iii) Cosa
succede alla dinamica del modello se il governo decidesse di aumentare permanentemente
k
in modo
inaspettato? [L’es. vale 10 pt]
Es.4 (**) Considerate un’economia concorrenziale come quella descritta nel capitolo IV senza progresso tecnico e senza crescita demogra…ca. La struttura di preferenze delle famiglie è del tipo CRRA:
U=
Z
0
dove c (t)
1
e
(
n)t
"
1
c (t)
1
1
#
+ G (t) dt,
C (t) =L (t) indica il consumo pro capite delle famiglie e G (t) indica un bene pubblico
…nanziato dal governo attraverso una tassa proporzionale sull’investimento
2
(t)]t2(0;1) . Supponete che
in ogni istante di tempo t il governo debba sempre rispettare il proprio vincolo di bilancio G (t) = (t) I (t)
e che la tecnologia di produzione a disposizione delle imprese è del tipo Cobb-Douglas:
1
Y (t) = AL (t)
dove A > 0 e
K (t) ;
2 (0; 1) sono due parametri tecnologici dati esogenamente. (i) Determinate il vincolo
di bilancio della famiglia e l’equazione di¤erenziale che governa la dinamica dello stock di capitale per
lavoratore dell’economia. (ii) De…nite l’equilibrio dinamico di laissez-faire di questa economia. (iii)
Assumendo che limt!1 (t) = , studiate le proprietà dell’equilibrio di stato stazionario e stabilite se il
tasso di crescita del PIL pro capite dipenda o meno dal livello di tassazione dell’economia. (iv) Come
varia l’equilibrio di stato stazionario al variare di ? [L’es. vale 10 pt]
Es.5 (**) Considerate un modello a generazioni sovrapposte come quello descritto nel capitolo V
ma senza progresso tecnico (g = 0 e At = 1). Supponete, per semplicità, che la funzione d’utilità sia
logaritmica, che il fattore di sconto soggettivo sia nullo ( = 0), e che la tecnologia di produzione sia del
tipo Cobb-Douglas:
Yt = L1t
Kt ;
dove
2 (0; 1)
In ogni periodo t; il governo tassa gli individui giovani in maniera lump-sum per un ammontare pari a T per
poi destinare una quota
2 (0; 1) delle entrate …scali totali al …nanziamento di un sistema previdenziale
a capitalizzazione, e una quota 1
al pagamento delle pensioni degli individui anziani. (i) Che tipo
di sistema previdenziale è questo? (ii) Risolvete il programma di massimizzazione dell’individuo giovane
rappresentativo e determinate sia il suo livello del consumo corrente ct che il suo il livello del risparmio st .
(iii) De…nite l’equilibrio dinamico di laissez-faire di questa economia e dimostrate che l’equilibrio di stato
stazionario esiste ed è unico. (iv) Questo sistema previdenziale è in grado di correggere una eventuale
situazione di ine¢ cienza dinamica (motivare la risposta)? [L’es. vale 10 pt]
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