MAT5-unità3-derivate

CONTENUTI DISCIPLINARI / PLURIDISCIPLINARI
OBIETTIVI
(conoscenze)
(abilità)
DERIVATE
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Definizione di derivata e suo significato
geometrico
Calcolo della derivata mediante definizione della
funzione costante, dell’identita’ e della potenza ad
esponente 2
Formula per il calcolo della derivata delle funzioni
potenza ad esponente n>2
(senza dimostrazione)
Derivata della somma algebrica di funzioni
Derivata del prodotto di funzioni
Derivata di un quoziente di funzioni
Derivata della funzione composta
Calcolo di derivate con l'uso delle formule
Equazione della retta tangente ad un grafico in un
suo punto
Teorema di Lagrange (senza dim) e sue
conseguenze
Teorema di Rolle (senza dim)
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conoscere la definizione di derivata di una funzione di una variabile e il suo significato geometrico
conoscere la definizione derivabilità di una funzione in un punto e in un intervallo
saper classificare i punti in cui la funzione non è derivabile
conoscere la relazione fra derivabilità e continuità di una funzione
saper ricavare la derivata della funzione costante, dell’ identita’ e della potenza ad esponente 2 con
l’uso della definizione
conoscere i teoremi sul calcolo delle derivate: somma algebrica, prodotto e quoziente
conoscere la formula di derivazione delle funzioni composte
saper calcolare la derivata di una funzione applicando le regole di derivazione
saper determinare l’equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un suo punto
conoscere l’enunciato del teorema di Lagrange, il suo significato geometrico e le sue conseguenze
conoscere l’enunciato del teorema di Rolle e il suo significato geometrico
1
Derivata
La derivata nasce in ambito matematico, ma trova impiego in molti altri campi dalla fisica all'economia.
In particolare è uno strumento in grado di darci informazioni sulla velocità con cui una grandezza (descritta da una funzione y=f(x) ) cambia.
Qual è la definizione di rapporto incrementale di una funzione in un punto x 0 ?
Sia f: xϵA
y=f(x) ϵR
una funzione definita nell’insieme A (incluso in R) e sia x0 ϵA.
-Si definisce RAPPORTO INCREMENTALE di f di punto iniziale x0 il numero
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0
(Con questa notazione indichiamo x0 fissato e x variabile in A).
Qual è la definizione di rapporto incrementale di una funzione in un punto x 0 ?
Sia f: xϵA
y=f(x) ϵR
una funzione definita nell’insieme A (incluso in R) e sia x0 ϵA.
Si definisce DERIVATA PRIMA di f calcolata in x0 ( e si indica con il simbolo f’(x0) ) il limite
lim
𝑋→𝑋0
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0
se tale limite esiste finito.
Quando una funzione si definisce derivabile in un punto x 0 ? E quando in un intervallo I?
-Una funzione y=f(x) si dice derivabile in x0 se esiste finito il limite del rapporto incrementale in x0 (ovvero esistono i limiti destro e sinistro del rapporto
incrementale e tali limiti esistono uguali e finiti).
-Una funzione y=f(x) si dice derivabile in un insieme I se la funzione è derivabile in ogni punto appartenente a I.
- Quando si può calcolare la derivata di una funzione in ogni punto di un insieme, allora si può considerare anche la derivata come una funzione.
Un'analoga definizione di derivata è la seguente:
2
Verifica che la funzione y=x2 è derivabile nel punto x0 =1
Per verificare che la funzione y=x2 è derivabile nel punto x0 =1 devo calcolare il limite del rapporto incrementale per x che tende a 1 e controllare che tale
limite esiste finito.
3
Quindi
è derivabile in 1.
Verifica che la funzione y=x2 è derivabile in R
Per verificare che la funzione y=x2 è derivabile in R devo verificare che è derivabile ∀ 𝑥0 ∈ 𝑅 . Quindi calcolo il limite del rapporto incrementale per x che tende
a x0 e controllo che tale limite esiste finito.
Quindi la derivata di
è
.
4
La funzione y=|𝑥| è derivabile in R?
Se x0 ǂ 0
ma
5
Se x0 = 0
Quindi in questo caso la funzione è derivabile
, ma NON è derivabile in
perchè non lo è in
.
Punti di non derivabilità
I metodi esposti nei punti precedenti si riferiscono a funzioni derivabili in tutti i punti dell'intervallo ]a,b[.
Nel caso di funzioni che non siano derivabili in qualche punto dell'intervallo consideriamo tali punti di non derivabilità x0 ,appartenenti al dominio
della funzione.
Vediamo i vari casi:
6
PUNTO ANGOLOSO
Se
f '(x)= m e
f '(x)= l
con ml
allora x0 è un punto angoloso.
Esempio
Sia data la funzione
con
nel punto x = 2 la funzione è continua ma non derivabile essendo f+' (2)=1
e f-' (2) = -1
Poichè la funzione è decrescente a sinistra di 2 e crescente a destra(come in
figura)il punto x = 2 , di non derivabilità, è punto di minimo locale
per essa.Nel punto A(2,0) la curva ha tangente sinistra diversa dalla
tangente destra; in tal caso si dice che il punto è un punto angloso
7
CUSPIDE
Se
f '(x)=+
e
f '(x)= –
Se
f '(x)= –
e
f '(x)=+
allora x0 è una cuspide con vertice in alto.
allora x0 è una cuspide con vertice in basso.
Esempio
3
Sia data la funzione f: 𝑥 ∈ 𝑅 → √(𝑥 − 1)2 ∈ 𝑅
Poiché f’(x)=
2
3
3 √𝑥−1
Osservando che si ha
e che
essa è derivabile ∀𝑥 ∈ 𝑅 -{1}.
f’(x) >0 per x>1
e f’(x)<0 per x<1
lim 𝑓 ′ (𝑥) = +∞
𝑥→0+
continua ∀𝑥 ∈ 𝑅
e
lim 𝑓 ′ (𝑥) = −∞
𝑥→0−
si ottiene:
Si deduce che x = 1 è un punto di minimo relativo per la funzione.
Essendo poi lim 𝑓 ′ (𝑥) = ±∞ la curva ha nel punto B(1,0) una sola retta tangente parallela all'asse y, di equazione x = 1
𝑥→0±−
Il punto B si dice cuspide con vertice in basso
8
FLESSO A TANGENTE VERTICALE
Se
f '(x)=+
allora x0 è un flesso a tangente verticale crescente o ascendente.
Se
f '(x)= –
allora x0 è un flesso a tangente verticale decrescente o discendente.
Esempio
Sia data la funzione
continua
Si ottiene
Risulta inoltre
x
e quindi
f '(x) = +
e se ne deduce l'andamento:
Quindi essendo la funzione crescente sia a sinistra sia a destra di -2,il punto A(-2,0) è un punto di flesso.
9
In tal punto la retta t tangente è parallela a y e quindi ha equazione x = -2pertanto A è un flesso a tangente verticale crescente.
Qual è il significato geometrico del rapporto incrementale e della derivata prima?
Consideriamo il grafico Gf di una funzione reale di variabile reale .
Se fissiamo 2 punti del grafico (x0;f(x0 ) ) e (x1 ;f(x1) )
tracciando la retta passante per questi 2 punti otteniamo una SECANTE al grafico.
La secante r ha equazione :
In forma esplicita
Notiamo che il coefficiente angolare m della secante è il rapporto incrementale di
di punto iniziale
.
Se facciamo tendere
a
otteniamo una serie di secanti che al limite intersecano il
grafico solo in .Quindi abbiamo ottenuto una TANGENTE al grafico in .
Il coefficiente angolare della tangente risulta
10
In conclusione abbiamo dimostrato che la derivata di
in
al grafico di .
in
cioè
rappresenta il coefficiente angolare, ossia la pendenza della retta tangente
Che cos’è un punto stazionario per una funzione y=f(x)?
Si chiamano punti stazionari o punti critici i punti in cui la derivata prima si annulla . In tali punti la tangente al grafico e’ orizzontale , cioè è parallela
all'asse delle ascisse.
Qual è l’equazione della retta tangente alla curva di equazione y=f(x) nel punto di ascissa x0 ?
tg: y- f(x0)=f’(x0) (x-x0 )
Individua l’equazione della retta tangente alla curva di equazione y=3x2-2x+5 nel punto di ascissa x0=2
x0 =2
f(x0)= 3(2)2-2(2)+5=3 ∗ 4 − 4 + 5 = 13
f’(x)=3 ∗ 2𝑥 − 2 = 6𝑥 − 2
11
f’(2)=6 ∗ 2 − 2 = 12 − 2 = 10
tg: y- f(x0)=f’(x0) (x-x0 )
→
tg: y- 13=10 (x-2 )
→
tg: y= 13+10 x-20
→
tg: y= 10 x-7
Significato fisico
Consideriamo il semplice caso di un corpo in moto rettilineo. La legge del moto è descritta da una funzione del tipo: 𝑓: 𝑡 ∈ [0; +∞[ → 𝑦 = 𝑓(𝑡) ∈ 𝑅
che associa ad ogni istante di tempo t la posizione oppure la distanza percorsa dal corpo.
Per calcolare la velocità media in un intervallo
applicare la definizione:
(supponiamo, per semplicità, che il corpo non si fermi e non torni indietro) è sufficente
La velocità media in verità non ci dice molto, perchè non è detto che la velocità sia costante nell'intervallo
Per conoscere la velocità istantanea, ad esempio in
.
, dobbiamo calcolare la velocità media su intervalli sempre più piccoli che si restringono intorno a
;
Dobbiamo quindi utilizzare il limite ottenendo:
In questo caso la derivata associa ad ogni istante di tempo la velocità istantanea assunta dal corpo in moto.
12
Qual è la relazione tra continuità e derivabilità
Siano
,
,
. Se
è DERIVABILE in
La proprietà si estende naturalmente sul dominio della funzione A: Se
→
è CONTINUA in
è DERIVABILE in A allora
.
è CONTINUA in tutto A.
NOTA BENE:
Questa proprietà non è invertibile infatti se
Possiamo al massimo dire che se
è CONTINUA in
NON è CONTINUA in
→
non è detto che sia DERIVABILE in
NON è DERIVABILE in
.
.
Fai un esempio di funzione discontinua quindi non derivabile in un punto
è discontinua in 0 e si noti come nel punto di ascissa 0 il grafico fa un salto è quindi intuitivo pensare che non si può tracciare la tangente al grafico in quel
punto. Per la precisione:
13
perciò non può esistere il limite del rapporto incrementale in 0 e quindi
non è derivabile in 0.
Fai un esempio di funzione continua ma non derivabile in un punto
Il valore assoluto è una funzione continua, ma non è derivabile in 0.
Osserviamo che in 0 il grafico ha un punto angoloso dove non è possibile definire la tangente perchè in un intorno sinistro essa sarebbe la bisettrice del 2° e 4°
quadrante, mentre i un intorno destro sarebbe la bisettrice del 1° e 3°.
Fai un esempio di funzione derivabile quindi continua in un punto
L'esponenziale è derivabile su tutto
, quindi è anche continua.
Notiamo che il grafico della funzione non ha spigoli.
14
In parole povere se una funzione è derivabile possiamo pensare al suo grafico come una curva "liscia" o regolare.
Operazioni tra funzioni e derivate
Siano
,
,
con ,
funzioni derivabili in A allora:
Somma
f+g è derivabile
Prodotto
f ∙ g è derivabile
Prodotto per un numero λ 𝜖𝑅
λ∙f è derivabile
Divisione
𝑓
𝑔
Composizione: Siano
Se è derivabile in
derivabile
e
in
allora
derivabile in
è
è
f(x)=xn è derivabile
Derivata Potenza Reale
Funzione inversa: Siano
è derivabile
,
funzione invertibile
funzione inversa
15
f-1 è derivabile
Ricava la derivata della funzione costante con l’uso della definizione
y=k (k∈ 𝑹)
a)X0
f(x0 )=k
b)X0+h f(x0 +h)=k
∆𝑦
c) RAPPORTO INCREMENTALE=∆𝑥 =
f(x0 +h)−f(x0 )
X0+h−X0
=
𝐾−𝐾
ℎ
0
=ℎ=0
∆𝑦
d)DERIVATA= lim ∆𝑥 = 0
QUINDI LA DERIVATA PRIMA DELLA FUNZIONE COSTANTE È 0
ℎ→0
Ricava la derivata della funzione identica con l’uso della definizione
y=x
a)X0
f(x0 )= X0
b)X0+h
f(x0 +h)= X0+h
∆𝑦
c) RAPPORTO INCREMENTALE=∆𝑥 =
∆𝑦
d)DERIVATA= lim ∆𝑥 = 1
ℎ→0
f(x0 +h)−f(x0 )
X0+h−X0
=
X0+h−X0
ℎ
ℎ
=ℎ=1
QUINDI LA DERIVATA PRIMA DELLA FUNZIONE IDENTICA È 1
Ricava la derivata della funzione potenza con esponente 2 con l’uso della definizione
y=x2
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a)X0
f(x0 )= X02
b)X0+h
f(x0 +h)= (X0+h)2 = X02 +h2 +2 X0h
∆𝑦
∆𝑥
c) RAPPORTO INCREMENTALE=
=
f(x0 +h)−f(x0 )
X0+h−X0
=
𝑥02 +ℎ2 +2𝑥0ℎ−𝑥02
ℎ
∆𝑦
ℎ 2 +2𝑥0ℎ
ℎ
=
ℎ(ℎ+2𝑥0)
ℎ
= ℎ + 2𝑥0
QUINDI LA DERIVATA PRIMA DELLA FUNZIONE y= x 2 È 2x
d)DERIVATA= lim ∆𝑥 = lim ℎ + 2𝑥0= 2𝑥0
ℎ→0
=
ℎ→0
Calcola la derivata della seguente funzione composta
Ricordando la proprietà calcoliamo prima la derivata di
ora calcoliamo la derivata di
in
in
:
:
quindi
N.B. :
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Calcola la derivata della seguente funzione composta
Ricordando la proprietà calcoliamo prima la derivata di
ora calcoliamo la derivata di
in
in
:
:
quindi
Calcola la derivata della seguente funzione composta
y=√𝑥 − 3
1
2√𝑥−3
y’=
𝐷(𝑥 − 3) =
1
2√𝑥−3
𝐷(𝑥 − 3) = 1
E’ possibile osservare che mentre la funzione y=√𝑥 − 3 è definita in x=3, non è ivi derivabile. Infatti la funzione derivata prima non è definita in x=3 che risulta
quindi un punto di non derivabilità per la funzione iniziale.
Calcola la derivata della seguente funzione composta
y=(𝑥 2 − 3𝑥 − 1)2
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y’=2 (𝑥 2 − 3𝑥 − 1) 𝐷(𝑥 2 − 3𝑥 − 1)=2(𝑥 2 − 3𝑥 − 1)(2𝑥 − 3)
𝐷(𝑥 2 − 3𝑥 − 1) = 2𝑥 − 3
TABELLA RIASSUNTIVA
0
1
-
19
Enuncia il Teorema di Rolle
IPOTESI
1)Sia
TESI
una funzione continua in [a,b]
allora esiste almeno un punto
tale che
2)e derivabile in (a,b).
3) Se la funzione assume lo stesso valore agli estremi dell'intervallo,
ossia
Commento:Il teorema ci dice sostanzialmente che, nelle ipotesi di continuità e derivabilità di una funzione definita in un intervallo chiuso e
limitato [a,b], nell'ipotesi aggiuntiva che la funzione assuma lo stesso valore agli estremi dell'intervallo, allora c'è almeno un punto (magari più di
uno, uno di sicuro) interno all'intervallo in cui si annulla la derivata prima.
20
Enuncia il TEOREMA DI LAGRANGE
IPOTESI
1)Sia f una funzione definita e continua in un intervallo
TESI
Allora esiste almeno un punto c di ]a,b[ tale che
[a,b] chiuso e limitato,
2) e derivabile almeno in ]a,b[.
Commento:Il teorema di Lagrange è utile perchè ci dice che, sotto le ipotesi di continuità e derivabilità richieste, esiste almeno un punto c interno
all'intervallo tale che la derivata prima valutata in tale punto valga quanto il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse
agli estremi dell'intervallo.
Spiega il significato geometrico del TEOREMA DI LAGRANGE
Questo teorema ha una ovvia e immediata interpretazione grafica. Data una funzione con le caratteristiche indicate, esiste almeno
un punto c interno all'intervallo di definizione dove la tangente al grafico è parallela alla retta passante per gli estremi (a,f(a))
e (b,f(b)).
Come mostra la figura qui sotto, in realtà di tali punti c ce ne possono essere anche più d'uno.
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Se per caso f è tale che f(b)=f(a), si deduce che in c si ha f'(c)=0 ( Teorema di Rolle)
NOTA:Le ipotesi di continuità in [a,b] e derivabilità almeno in ]a,b[ sono essenziali per la validità del teorema, come mostrano i
due esempi qui sotto che proponiamo senza commenti, invitando il lettore a trovare rappresentazioni analitiche di funzioni con le
caratteristiche di quelle proposte.
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Una funzione continua e derivabile solo in ]a,b[.
Una funzione continua in [a,b] ma non derivabile in tutto ]a,b[.
Per il caso particolare di Rolle è, ovviamente, indispensabile la condizione f(a)=f(b): per un controesempio si può pensare alla
funzione f(x)=x nell'intervallo [0,1].
23
Applica il TEOREMA DI LAGRANGE alla funzione indicata e nell’intervallo indicato
Si consideri la funzione
che è continua sull'intervallo [1,4] e derivabile in (1,4). Abbiamo allora che
ossia
Data la funzione
Lagrange.
Essendo
da cui si trova che x=3/2 è il punto cercato.
determinare i punti dell'intervallo [0,4] che soddisfano la condizione espressa dal teorema di
, ed essendo la funzione continua in [0,4] e derivabile in ]0,4], basterà risolvere l'equazione,
nell'incognita c,
: il teorema di Lagrange ci assicura che ci deve essere almeno una soluzione. Si trova
facilmente c=1. Si noti che la funzione non è derivabile in 0.
Si consideri la funzione
[0,1/π] dove la derivata si annulla.
. Si provi, usando il teorema di Rolle, che esistono infiniti punti dell'intervallo
La funzione data è continua nell'intervallo assegnato e derivabile tranne che per x=0 (che è un estremo dell'intervallo e quindi non
crea problemi). Inoltre la funzione assume valori uguali agli estremi (in quanto vale zero), quindi almeno un punto con le
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caratteristiche richieste esiste. Per provare che ce ne sono infiniti, basta ripetere il ragionamento applicando il teorema sui
sottointervalli del tipo
.
I famosi corollari del teorema di Lagrange
Non è forse azzardato affermare che il teorema di Lagrange gode di maggior fama per merito dei suoi corollari che non per se
stesso. Li enunciamo tutti tre.
Corollario 1. Se una funzione è derivabile con derivata nulla su un intervallo, allora è costante.
Corollario 2. Se due funzioni hanno la stessa derivata in un intervallo, esse differiscono per una costante.
Corollario 3. Se una funzione ha derivata maggiore di zero in un intervallo, è strettamente crescente nell'intervallo, se ha derivata
minore di zero è strettamente decrescente.
considerazioni
Il terzo corollario fornisce lo strumento essenziale per rappresentare i grafici delle funzioni derivabili: trovata la derivata di una data
funzione, si tratta di determinarne il segno per concludere dove la funzione cresce e dove decresce e quindi anche quali sono gli
eventuali massimi e minimi locali.
Si osservi che il terzo corollario ha come conseguenza banale che se un funzione (derivabile) è crescente in ogni punto di un
intervallo, è crescente nell'intervallo: la cosa sarebbe vera anche per funzioni non necessariamente derivabili (lo si provi per
esercizio), ma è in ogni caso essenziale che l'insieme in cui si considera la funzione sia un intervallo. Basta pensare alla
funzione f(x)=tgx che ha ovunque derivata positiva (cioè è crescente in ogni punto del dominio), ma non è crescente su tutto il
dominio.
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Trova i massimi e minimi locali della funzione f(x) = x3-3x+7.
Poiché f'(x) = 3x2-3, si conclude che la funzione è crescente per x<-1 e per x>1, mentre è decrescente tra -1 e 1. Avrà dunque un
massimo locale per x=-1 (di valore 11) e un minimo locale per x=1 (di valore 5).
ENUNCIA IL TEOREMA DI DE L'HÔPITAL
IPOTESI
TESI
1)
Siano f e g due funzioni reali di variabili reali,
derivabili in un intervallo (a,b), con a e b valori finiti o infiniti.
- esiste il
lim
𝑓(𝑥)
𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥)
Supponiamo che:
2)
ossia che la derivata di g(x)
-vale
𝐥𝐢𝐦
𝒇(𝒙)
𝒙→𝒙𝟎 𝒈(𝒙)
=
𝐥𝐢𝐦
𝒇′(𝒙)
𝒙→𝒙𝟎 𝒈′(𝒙)
non sia mai nulla sull'intervallo considerato;
3) il limite
lim
4) Se inoltre
𝟎
𝟎
𝑓′(𝑥)
𝑥→𝑥0 𝑔′(𝑥)
lim
𝑓(𝑥)
𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥)
oppure
esista, finito o infinito.
si presenta nella forma indeterminata
∞
∞
un metodo pratico per il calcolo di opportune derivate.
Il teorema di de l'Hôpital ci dice sostanzialmente quanto segue.
-Se si ha un limite per x→x0, dove x0 può essere un valore finito o infinito,
-Se il limite è un rapporto di funzioni entrambe differenziabili e il denominatore è una funzione che deve avere derivata MAI nulla su un intervallo
-Si sceglie l’intervallo in modo che uno dei due estremi sia il valore x0 cui tende la x nel limite.
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-Se il limite si presenta in una delle forme indeterminate
Allora si calcola il limite del rapporto delle SINGOLE derivate e
𝟎
𝟎
𝐥𝐢𝐦
oppure
𝒇(𝒙)
𝒙→𝒙𝟎 𝒈(𝒙)
=
∞
∞
𝐥𝐢𝐦
𝒇′(𝒙)
𝒙→𝒙𝟎 𝒈′(𝒙)
Tra le altre cose, se il nuovo limite non è abbastanza semplice, ma le funzioni f'(x) e g'(x) soddisfano le ipotesi che nel teorema sono richieste per
f e g, allora possiamo riapplicare il Teorema de l'Hôpital. Prima o poi ci troveremo di fronte ad un limite semplice...
Calcola
Sono soddisfatte le ipotesi del Teorema de l'Hôpital:
𝟎
-la forma di indecisione è
𝟎
- le funzioni sono differenziabili in tutto R,
- quindi possiamo scegliere l'intervallo (a,b) indicato nel teorema a nostro piacimento;
- infine, per fare in modo che la derivata del denominatore g(x) (g'(x)=-sin(x)) non sia mai nulla sull'intervallo (a,b) scelto, ci basta prendere ad
esempio
Possiamo allora calcolare al posto del limite di partenza:
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Calcola
Sono soddisfatte le ipotesi del Teorema de l'Hôpital? Forse. Un estremo dell'intervallo (a,b) dovrà essere zero, potremmo prendere (-1,0).
Guardiamo le derivate del numeratore
E del denominatore
- f non è derivabile nei punti del tipo
con k intero relativo (vale a dire le ascisse che annullano il denominatore della derivata),
mentre g non è derivabile nel punto x=-1. Quindi su (-1,0) le funzioni f e g sono derivabili (gli estremi vanno esclusi!!!) e g'(x) non si annulla in
(-1,0) (si annulla in x=0, ma ancora una volta gli estremi vanno esclusi). Ci manca da controllare se esiste il limite del rapporto delle singole
derivate:
Quindi esiste e abbiamo anche calcolato che vale 1/2.
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