Soluzione - Matematica e Informatica

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LAUREA MAGISTRALE IN MATEMATICA
Esame di profitto di Geometria superiore
luglio 2012
1. Individuare l’affermazione falsa:
(a) ∀X ∈ M(2, R) si ha det ◦ Exp(X) = etr(X) ;
(b) ∀X ∈ M(2, R) si ha Exp(X)−1 = Exp(−X);
(c) ∀X ∈ M(2, R) si ha Exp(X)Exp(X T ) = Exp(X + X T );
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione. L’affermazione (a) segue dall’identità F ◦expG = expH ◦ dF valida
per ogni omomorfismo F : G → H di gruppi di Lie (nel caso che c’interessa
F = det), mentre la (b) segue dall’identità Exp(X + Y ) = Exp(X)Exp(Y )
valida per ogni ogni coppia di matrici X e Y che commutano (nel caso che
c’interessa Y = −X). La (c) invece non è valida perché in generale M e M T
non commutano: per esempio per
0 1
X=
0 0
si ha
T
Exp(X)Exp(X ) =
1
0
1
1
1
1
0
1
=
2
1
1
1
,
mentre Exp(X +X T ) è una matrice (Aij ) con A11 = A22 , come si può controllare
sviluppando la serie esponenziale di X + X T .
2. L’insieme S :=
sin(2t), cos(t) : t ∈ − π2 , 3π
2
(a) non è una è una sottovarietà differenziabile del piano euclideo R2 ;
(b) è una sottovarietà differenziabile di R2 non coordinatizzabile con una sola
carta;
(c) è una sottovarietà differenziabile di R2 non regolare;
(d) è una sottovarietà differenziabile di R2 regolare non compatta.
2
Soluzione. La curva γ : − π2 , 3π
2 → R che
dà come immagine S è un’immerπ 3π
0
∈
−
sione perché γ (t) 6= (0, 0) ∀t
,
iniettiva perché cos(s) = cos(t)
π 3π2 2
per due
distinti
valori
s,
t
∈
−
,
dà
o
s
= −t ∈ − π2 , π2 \ {0}, oppure
2 2
π 3π s, t ∈ 2 , 2 \ {π} con s + t = 2π, ma in entrambi i casi è sin(2s) 6= sin(2t) .
Ne deduciamo che S è una sottovarietà differenziabile di R2 coordinatizzabile
con la sola carta (S, γ −1 ); in particolare
che S ha una struttura
deduciamo
,
quindi
una sottovarietà difdifferenziabile diffeomorfa all’intervallo − π2 , 3π
2
ferenziabile non compatta di R2 . Si osservi che S rispetto a questa struttura differenziabile non è una sottovarietà regolare di R2 perché S è un sottospazio compatto di R2 , ove si tenga conto che
S è un chiuso di R2 perché
limt→− π2 γ(t) = limt→ 3π
γ(t) = (0, 0) = γ π2 ∈ S contenuto nel compatto
2
[−1, 1] × [−1, 1].
1
3. Si considerino la funzione F : R4 7→ R2 definita ponendo
F (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x12 + x2 , x12 + x22 + x32 + x42 + x2
e l’aperto V di R4 complementare di
(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 = x3 = x4 = 0 ∨ x2 = x3 = x4 = 0 .
Posto W := F −1 (0, 1) , individuare l’affermazione falsa:
(a) il sottoinsieme dei punti di R4 su cui F ha rango costante 1 è un chiuso;
(b) esistono coordinate in V rispetto alle quali la restrizione di F a V si
rappresenta mediante la funzione (y1 , y2 , y3 , y4 ) 7→ (y1 , y2 );
E
D
∂ ∂ ,
;
(c) W è una sottovarietà di V con T(0,0,1,0) W = ∂x
∂x
2 (0,0,1,0)
4 (0,0,1,0)
E
D
(d) W è una sottovarietà di R4 con T(0,0,0,1) W = ∂ , ∂ .
∂x1 (0,0,0,1) ∂x3 (0,0,0,1)
Soluzione. La matrice jacobiana di F è
2x1
1
0
2x1 2x2 + 1 2x3
0
2x4
,
una matrice che ha rango costante 2 su V e rango costante 1 sul chiuso complementare di V . Inoltre si ha W ⊂ V per cui W è una sottovarietà regolare
di V , e quindi di R4 , di dimensione 2 con spazio tangente in p dato dal nucleo
del differenziale di F in p : per
1, 0) si trova che quel nucleo è gene p = (0, 0,
∂ ∂ rato dai vettori tangenti ∂x
e
, mentre per p = (0, 0, 0, 1) i
∂x
1 (0,0,1,0)
4 (0,0,1,0)
generatori sono ∂ e ∂ .
∂x1 (0,0,1,0)
∂x3 (0,0,1,0)
f → M un rivestimento di varietà differenziabili. Individuare l’affermazione
4. Sia ρ : M
corretta:
(a) ρ è sia un’immersione che una submersione;
(b) ρ è un’immersione, ma non è una submersione;
(c) ρ è una submersione, ma non è un’immersione;
(d) ρ non è né un’immersione, né una submersione.
Soluzione. ρ è un diffeomorfismo locale, quindi una funzione di rango pari a
f = dim M .
dim M
5. Indicare quale dei seguenti sottospazı̂ vettoriali di M(3, R) non è sostegno di
una sottoalgebra di Lie di gl(3, R):
*
 
 
0 1 0
0 0 −1
0 0
2 A :=  −1 0 0  ,  0 0 0  ,  0 0
0 0 0
1 0 0
0 −1
* 0 1 0   0 0 −1   0 0 0
2 B :=
+
0
1  ,
0
R
+
 0 0 0 , 0 0 0 , 0 0 1  ,
0 0 0
0 0 0
0 0 0
R
* 0 1 0   1 0 0   0 1 0 +
2 C :  −1 0 0  ,  0 −1 0  ,  1 0 0  ,
0 0 0
0 0 0
0 0 0
R
2
* 0
2 D :=  1
0
1
0
0
 
0
0
0 , 0
0
1
0
0
0
 
1
0
0 , 0
0
0
0
0
1

0 +
1  ,
0
R
Soluzione: A dà l’algebra 0(3), B dà la cosiddetta algebra di Heisenberg,
un’algebra di Lie generata da tre vettori X, Y, Z tali che [X, Y ] = [Y, Z] =
0 e [X, Z] = −Y , e C è isomorfa all’algebra sl(2, R). La D invece non è
una sottoalgebra perché, per esempio, la parentesi di Lie dei suoi primi due
generatori non appartiene a D.
6. Si consideri la funzione F : C∗ → C∗ definita dalla posizione F (z) = z n per un
fissato intero positivo n. S’individui l’affermazione falsa:
(a) F è un’immersione;
(b) F è un diffeomorfismo locale;
(c) F è una funzione di rivestimento;
(d) una delle precedenti affermazioni è falsa.
Soluzione. F è un omomorfismo suriettivo di gruppi di Lie avente come nucleo
le radici n-me dell’unità, cioè un sottogruppo discreto. Dunque F ha rango
costante 2 = dim C∗ e possiamo dedurre che F è una funzione di rivestimento,
in particolare un diffeomorfismo locale e quindi un’immersione.
3
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