- Ettore Lanzarone

Esercitazione di Analisi Matematica II
Barbara Balossi
09/05/2017
Derivate direzionali, formula del gradiente, differenziabilità
Esercizio 1 Si verifichino i seguenti fatti per la funzione
√
f (x, y) = x 3 y.
a) La funzione è derivabile anche nell’origine.
b) le derivate parziali non sono continue nell’origine (perciò non si può applicare la condizione sufficiente
di differenziabilità).
c) f è differenziabile nell’origine.
Esercizio 2 Considerare la funzione
y
f (x, y) = ex arctan( x )
a) Indicarne gli insiemi di esistenza e continuità;
b) Calcolarne, dove esistono, le derivate parziali;
c) Indicare l’insieme di differenziabilità;
d) Calcolare la derivata direzionale, nel punto (1, 1) nella direzione del versore della retta y = x, orientata
nel verso delle x decrescenti.
Esercizio 3 Si verifichi direttamente dalla definizione che la seguente funzione è differenziabile nell’origine

 xy 3
(x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =
x2 + y 2

0
(x, y) = (0, 0).
Si ottenga poi lo stesso risultato dimostrando che le funzioni fx e fy sono continue nell’origine.
Esercizio 4 Si consideri la seguente funzione:

 x3 y
f (x, y) =
x2 + y 4

0
(x, y) 6= (0, 0)
(x, y) = (0, 0).
Dire in quale insieme del piano f è continua, derivabile, differenziabile.
1
Esercizio 5 Data la funzione
f (x, y) =
p
3
(x + 3)(y − 1)
stabilire se nel punto (−3, 1) la funzione è continua, è derivabile, è differenziabile.
Esercizio 6 Considerare f (x, y) = ex
2
+y 2
.
a) Calcolare la derivata direzionale di f nel punto (1, 1), nella direzione e nel versore della retta y = x,
nel verso delle x crescenti.
b) Scrivere l’equazione del piano tangente a z = f (x, y) nel punto (1, 1, f (1, 1)).
c) Scrivere la formula di Taylor di f (x, y) arrestata al secondo ordine, con centro nel punto (1, 1).
d) Disegnare alcune linee di livello della funzione.
p
Esercizio 7 Data f (x, y) = 1 + (x − 1)y; i) determinare il dominio e le curve di livello di f e rappresentarli sul piano cartesiano; ii) stabilire se f è differenziabile in P = (2, 1); iii) calcolare, se esistono,
tutte le derivate direzionali di f nel punto P ; iv) determinare, se esiste, il polinomio di I grado che meglio
approssima f in un intorno di P ; v) dimostrare che una funzione differenziabile in un punto P ammette
in P tutte le derivate direzionali.
2
Esercizio 8 Si calcolino le derivate parziali della funzione f (x, y) = xex
si dica se f è di classe C 1 nel suo dominio.
2
√
y specificando dove esistono,