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STATISTICA MATEMATICA
SOLUZIONI DELLA PROVA SCRITTA DEL 2/2/2004
Esercizio 1 (Riservato agli studenti che non hanno sostenuto l’esame di Statistica e Calcolo delle Probabilità)
Indicati rispettivamente con A e B gli eventi “oggi è nuvoloso” e “oggi piove”, si ha che
P(A) = 0.40, P(B) = 0.25 e P(A|B) = 1.
(1.1) P(B|A) = P(A|B) P(B) / P(A) = P(B) / P(A) = 0.25 / 0.40 = 0.625.
(1.2) P(A  B) = P(A|B) P(B) = P(B).
(1.3) P(A B) = P(A) - P(A  B) = P(A) – P(B) = 0.40 – 0.25 = 0.15.
Esercizio 2
X è una v.c. di Poisson con parametro  e Y = min(2,X).
(2.1) P(X  2) = 1 – P(X < 2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 – (1+)exp(-).
(2.2) La v.c. Y ha supporto 0,1,2 e funzione di probabilità data da
P(Y = 0) = P(X = 0) = exp(-),
P(Y = 1) = P(X = 1) = exp(-) e
P(Y = 2) = P(X  2) = 1 – (1+)exp(-).
(2.3) E(Y) = 0P(Y = 0) + 1P(Y = 1) + 2P(Y = 2) = exp(-) + 2[1 – (1+)exp(-)]
= 2 – (2+)exp(-).
Esercizio 3
Poiché X è una v.c. Normale con media  e varianza 1, la funzione di verosimiglianza è data
da L(;x1,…,xn) = (2)-n/2 exp[-½(xi-)2] e la derivata della log-verosimiglianza risulta
dlog(L)/d = xi - n.
(3.1) Lo stimatore di massima verosimiglianza per  è rappresentato dalla media
campionaria X = Xi / n.
(3.2) L’informazione di Fisher è pari a I() = Var(X-) = Var(X) = 1.
(3.3) Lo stimatore ML risulta corretto ed efficiente per  dato che ha media  e varianza
pari al reciproco di nI().
Esercizio 4
X è una v.c. Normale con media  e varianza 2, entrambe ignote. Il campione bernoulliano
estratto ha numerosità n = 16 e varianza campionaria corretta s2 = 37.
n 1 2
S   n21 rappresenta una quantità pivotale per 2 e produce l’intervallo di
(4.1)
2

 n 1
 15

n 1 2 
15
s2, 2
s  =  2
37, 2
37 
confidenza al 95% IC1- (2) =  2
 n 1; / 2    15;0.975
 15;0.025 
  n 1;1 / 2
= ]1537/27.4884, 1537/6.2621[ = ]20.19, 88.63[.
(4.2) Si accetta l’ipotesi H0 : 2 = 60 al livello di significatività  = 0.05 perché
60  IC1- (2).
(4.3) Si accetta la medesima ipotesi al livello  = 0.01 inferiore al precedente.