Modelli di durata a rischi competitivi

Rischi competitivi:
Sono possibili (j) diverse modalità di “uscita” dallo stato
ES.
Ricerca di lavoro  occcupazione, popolazione non attiva
Lavoro  licenziamento, dimissioni, pensionamento
Studi universitari  laurea, rinuncia
E’ chiaro che se non distinguo la modalità di uscita, ho stime distorte
(considero laureati anche chi rinuncia perché “non più iscritto”)
Perchè distorte?
Le curce survival mostrano una sorta di “attrito” :
cominciando col 100% del collettivo in un certo satato al
tempo 0, le curve mostrano la frazione di soggetti che
sono ancora in quello stato dopo ogni periodo t. Cioè
quelli che NON sono sono usciti.
Ma quando l’”attrito”, cioè l’uscita è determinata da più di
un tipo di evento, allora la frazione dei sopravviventi non
è in grado di distinguere tra essi.
Un esmpio:
NON più iscritti
laureati
ritirati
In numeri……
KM
Competing
Risks
12 mesi
0.21
0.19
24 mesi
0.30
0.27
36 mesi
0.33
0.31
48 mesi
0.38
0.35
Siamo interessati a modellare le probabilità di uscita a seconda della modalità
di cessazione dello stato previgente
P(t  T  t  t / J  j; x)
h j (t , x) 
t  0
t
lim
In altri termini è l’hazard per la causa j,
date le X e in presenza di j-1 cause “concorrenti”
Poiché una sola causa si verifica, per l’intero campione sarà:
j  1,2,...m
h(t , x)   h j (t , x)
j
per
rischi
proporzion ali :
h j (t , x)  h0 j (t ) exp(  j x)
con cov ariate time  dependent :
h j (t , xt )  h0 j (t ) exp(  j xt )
m
nm
L  
j 1 i 1
exp(  j xit )
 exp( 
lRij
x )
j it
Rij  risk  set in t
Da stimare come al solito, ma trattando le durate cessate per cause diverse da j
come OSSERVAZIONI CENSURATE
I coefficienti indicano l’effetto delle X sulla probabilità di occorenza della causa j
Eventi ricorrenti:
Sono possibili (s) ripetizioni di “uscita” dallo stato
ES.
Ricerca di lavoro  occcupazione, licenziamento, ricerca, occupazione
Diversi modelli proposti:
Prentice, Williams, Peterson= PWP1 model
Divide la popolazione in strati a seconda del numero di ripetizioni
sostanzialmente diventa un modello stratificato
Naturalmente finchè una unità permane in uno strato si tratta come una
OSSERVAZIONE CENSURATA
Prentice, Williams, Peterson= PWP2 model
Il numero di eventi sperimentata diventa una esplicativa del modello (una X)
naturalmente una covariata time-dpendent
La variabile dipendente diventa il “gap” tra due eventi ricorrenti consecutivi
h(t , xt )  h0 s (t  t s 1 ) exp(  s xt )
I coeeficienti misurano l’effetto delle X, compreso la sperimentazione di un
evento precedente sulla probabilità di sperimentare di nuovo lo stesso
evento
Anderson Gill
Simile a PWP1/2 ma con una diversa definizione del risk-set, che è esteso
a tutti i soggetti sotto osservazione (non stratificati)
Wei, Lin, Weissfield
Estendono il modello ad eventi ripetuti di natura diversa, mutuamente
esclusivi nel momento in cui avvengono, ma non esclusivi nella ripetibilità