Rischi competitivi: Sono possibili (j) diverse modalità di “uscita” dallo stato ES. Ricerca di lavoro occcupazione, popolazione non attiva Lavoro licenziamento, dimissioni, pensionamento Studi universitari laurea, rinuncia E’ chiaro che se non distinguo la modalità di uscita, ho stime distorte (considero laureati anche chi rinuncia perché “non più iscritto”) Perchè distorte? Le curce survival mostrano una sorta di “attrito” : cominciando col 100% del collettivo in un certo satato al tempo 0, le curve mostrano la frazione di soggetti che sono ancora in quello stato dopo ogni periodo t. Cioè quelli che NON sono sono usciti. Ma quando l’”attrito”, cioè l’uscita è determinata da più di un tipo di evento, allora la frazione dei sopravviventi non è in grado di distinguere tra essi. Un esmpio: NON più iscritti laureati ritirati In numeri…… KM Competing Risks 12 mesi 0.21 0.19 24 mesi 0.30 0.27 36 mesi 0.33 0.31 48 mesi 0.38 0.35 Siamo interessati a modellare le probabilità di uscita a seconda della modalità di cessazione dello stato previgente P(t T t t / J j; x) h j (t , x) t 0 t lim In altri termini è l’hazard per la causa j, date le X e in presenza di j-1 cause “concorrenti” Poiché una sola causa si verifica, per l’intero campione sarà: j 1,2,...m h(t , x) h j (t , x) j per rischi proporzion ali : h j (t , x) h0 j (t ) exp( j x) con cov ariate time dependent : h j (t , xt ) h0 j (t ) exp( j xt ) m nm L j 1 i 1 exp( j xit ) exp( lRij x ) j it Rij risk set in t Da stimare come al solito, ma trattando le durate cessate per cause diverse da j come OSSERVAZIONI CENSURATE I coefficienti indicano l’effetto delle X sulla probabilità di occorenza della causa j Eventi ricorrenti: Sono possibili (s) ripetizioni di “uscita” dallo stato ES. Ricerca di lavoro occcupazione, licenziamento, ricerca, occupazione Diversi modelli proposti: Prentice, Williams, Peterson= PWP1 model Divide la popolazione in strati a seconda del numero di ripetizioni sostanzialmente diventa un modello stratificato Naturalmente finchè una unità permane in uno strato si tratta come una OSSERVAZIONE CENSURATA Prentice, Williams, Peterson= PWP2 model Il numero di eventi sperimentata diventa una esplicativa del modello (una X) naturalmente una covariata time-dpendent La variabile dipendente diventa il “gap” tra due eventi ricorrenti consecutivi h(t , xt ) h0 s (t t s 1 ) exp( s xt ) I coeeficienti misurano l’effetto delle X, compreso la sperimentazione di un evento precedente sulla probabilità di sperimentare di nuovo lo stesso evento Anderson Gill Simile a PWP1/2 ma con una diversa definizione del risk-set, che è esteso a tutti i soggetti sotto osservazione (non stratificati) Wei, Lin, Weissfield Estendono il modello ad eventi ripetuti di natura diversa, mutuamente esclusivi nel momento in cui avvengono, ma non esclusivi nella ripetibilità