Diario esercitazioni - Dipartimento di Matematica

Analisi Matematica I- Corso di Laurea in Matematica
Diario delle lezioni-Marta Calanchi
(N.B le prime esercitazioni sono state tenute dalla dott.ssa Cristina Tarsi
www.mat.unimi.it/ ∼ tarsi)
3 ottobre 2007 (Laboratorio)
1. Mostrare che se p ∈ N è primo allora
√
2. Mostrare che 30 non è razionale
√
p∈
/Q
3. Siano α, β ∈ R \ Q, a, b ∈ Q. Che cosa si può dire di
a + b, α + a, α + β, a · b, α · β, −α,
4. Siano m, n ∈ N tali che
√
m sia irrazionale. Allora
√
n+
√
1
?
α
m∈
/Q
5. (lasciato per casa) Mostrare che se p ∈ N primo allora log10 p ∈
/Q
6. (Tema d’esame) Sia a > 0, a 6= 1. Mostrare che t =
loga 5
non è razionale.
loga 3
7. (Tema d’esame) Una retta del piano si dice “razionale” se non contiene l’origine e
interseca entrambi gli assi in punti razionali. Dimostare che il punto di intersezione
di due rette “razionali” deve avere entrambe le coordinate razionali.
8 ottobre 2007 (esercitazioni)
1. Richiami sulle funzioni iperboliche
2. Determinare, se esistono, max, sup, min, inf in R dei seguenti sottoinsiemi di R:
(a) E = {x ∈ R : 2 < cosh x ≤ 3}
(b) E = {x ∈ R : [ex ] = 3}
(c) E = {cos(πn) −
1
n
: n ∈ N}
+
(d) E = {x ∈ Q : 2 ≤ x2 ≤ 4}
m
, m < n, m, n ∈ N}
n
: x ∈ [1, 2), y ∈ (−3, −2]}
(e) E = {x ∈ R : x =
(f) E = {5x/y
(g) E = {5x/y : x ∈ [1, 2), y ∈ (−3, 0)}
(h) (per casa) E = {5x/y : x ∈ [1, 2), y ∈ (−3, 0) ∪ (0, 3)}
(i) (per casa) E = {(−1)n ( 3n−2
) : n ∈ N}
n
(j) (per casa) E = {x ∈ R : |x2 − 3| ≤ x − 1}
(k) (per casa) E = {x ∈ R : x = sin t, t ∈ (0, 34 π)}
r
(l) (per casa) E = {x ∈ R :
x2 − 4
≥ x + 2}
x+1
11 ottobre 2007 (Laboratorio)
1. Determinare, se esistono, max, sup, min, inf dei seguenti sottoinsiemi di R:
2
+2n
(a) E = { nn+1
: n ∈ N}
(b) E = {n +
4
n
: n ∈ N}
(c) E = N ∩ {x ∈ R : x2 + 8 ≥ 6x}
(d) E = {x ∈ R : x = |t2 − 4t|, t ∈ (−1, 5)}
2. Scrivere in forma trigonometrica
√
( 3 − i)(1 + i),
√
3−i
1+i
15 ottobre 2007 (Esercitazioni)
1. Determinare forma trigonometrica e forma algebrica dei seguenti numeri:
!327
√
3
i
−5,
−2i
(i − 1)7 ,
−
2
2
2. Disegnare sul piano complesso le immagini dei seguenti insiemi
(a) E = {z ∈ C : Re(z − i + 1) ≤ 2π}
(b) E = {z ∈ C : |z − i| = |z − 1|}
(c) E = {z ∈ C : 1 < |z − 2i| ≤ 4}
z + i
≥3
(d) (∗) E = z ∈ C : z − i
√
3. (lasciato per casa) Scrivere in forma trigonometrica z = ( 3 + i)4 e calcolarne le
radici quarte
4. Sia
z=
i−1
√
1+i 3
(a) Determinare la forma algebrica e trigonometrica di z
(b) Determinare l’insieme A = {w ∈ C : (iw)3 = −z}
(c) (lasciato per casa) Stabilire se l’insieme B = {w ∈ C : ∃n ∈ N wn = z} è
finito, infinito numerabile, oppure infinito non numerabile.
17 ottobre 2007 (Lab)
1. Disegnare sul piano complesso le immagini dei seguenti insiemi
π
(a) E = {z ∈ C : |Im(z + 2 + 2i)| < }
4
z+i
(b) (∗) E = z ∈ C :
∈R
z+1−i
2. Siano
E = {z ∈ C : |z − 1| = |z − 2i|}
W = {z ∈ C : |w − 2 + 2i| = |w + 2 − 2i|}
Determinare gli elementi di E ∩ W
3. Determinare tutti e soli i numeri complessi z tali che l’equazione
(w − z)3 = 8i
ammetta w =
√
3 + 2i come soluzione
4. Determinare le soluzioni delle seguenti equazioni in campo complesso
(a) z 4 − z̄ = 0
(b) (lasciato per casa) z|z|2 = 1 + i
22 ottobre 2007 (Esercitazioni)
5. Sia
√
√
( 3 + i)(1 + 3i)
w0 =
1+i
Sia E = {z ∈ C : Rez < 0 < Im(z)}. Quante soluzioni dell’equazione z 12 = w0
appartengono all’insieme E?
6. Determinare le soluzioni delle seguenti equazioni in campo complesso
√
(a) (z + i)2 + 2 + 2i 3 = 0
(b) (z + 1)6 = (1 − 2z)6
(c) z 3 − (1 + 2i)z 2 + (i − 1)z = 0
7. Determinare le soluzioni delle seguenti equazioni nel campo complesso
z 4 = (1 + i)4 ;
z4 =
√ !100
1+i 3
1−i
8. Sia A = {z ∈ C : Re(z 3 + i − 1) = 2, Im(2z 3 − 1 − i) = 1}.
Sia B = {z 3 , z ∈ A}
(a) Scrivere gli elementi di B
(b) Quanti elementi di A sono nel I quadrante?
(c) Esiste un numero α ∈ C \ {0} tale che l’insieme C = {αz, z ∈ A} abbia almeno
2 elementi nel I quadrante?
9. log(−1) = . . .
10. (lasciato per casa) Disegnare nel piano complesso le immagini dei seguenti insiemi
(a) E = {z ∈ C : 1 < |z| < 2, Imz ≥ 0}
(b) E1 = {w ∈ C : w = z 2 , z ∈ E}
(c) E2 = {w ∈ C : w2 = z, z ∈ E}
24 ottobre 2007 (Laboratorio)
1. Scomporre il seguente polinomio nel prodotto di due fattori quadratici a coefficienti
reali
16z 4 + 1
2. (cenno, poiché si fa in maniera analoga al precedente) Scomporre il seguente polinomio nel prodotto di tre fattori quadratici
P (z) = z 6 + 1
3. Disegnare sul piano complesso le immagini dei seguenti insiemi
(a) E = {z ∈ C : 1/2 < |z| < 1, Rez < Imz}
(b) E1 = {w ∈ C : w = (1 + i)z, z ∈ E}
(c) E2 = w ∈ C : w = z 3 , z ∈ E
(d) E3 = w ∈ C : w3 = z, z ∈ E
29 ottobre 2007 (Esercitazioni)
Argomento: Successioni numeriche
1. Dimostrare che
lim n
p
n→+∞
lim p
n→+∞
n

 +∞,
1,
=

0,

 +∞,
1,
=

0,
p>0
p=0
p<0
p>1
p=1
0<p<1
2. (lasciato per casa) Sia an una successione t.c. lim an = a Dimostrare che
n→∞
(a)
(b)
lim sin an = sin a;
n→+∞
lim logp an = logp a
n→+∞
∀p > 0, p 6= 1 an > 0, a > 0
3. Stabilire quali di queste successioni sono regolari e in tal caso calcolarne il limite
(a) an =
√
n−
√
4
n
2
cos n
(b) an =
n
√
√
(c) an = n2 + n − 1 − n2 − 1
√
log9 n + n
√
(d) an =
(per casa)
2−n + n2 + 1
n
3 + n2
1
log
(e) an = √
3
2n + 1
n
√
(f) an = n n (per casa)
Def. asintotico. Sia {bn } : bn 6= 0. Allora
an
= 1.
n→∞ bn
an ∼ bn per n → ∞ ⇔ lim
Attenzione! Non ha senso an ∼ 0!!!
Osservazione: ∼ è una relazione di equivalenza nell’insieme delle successioni non
nulle definitivamente.
Proprietà: Siano an ∼ ãn , bn ∼ b̃n Allora:
(a) c · an ∼ c · ãn per ogni c 6= 0;
(b) an bn ∼ ãn b̃n ;
(c) (an )p ∼ (ãn )p ;
(d) an /bn ∼ ãn /b̃n ;
(e) limn→∞ an = L ⇔ limn→∞ ãn = L;
(f) sgn(an ) = sgn(ãn ) definitivamente.
Attenzione!
(a) an ∼ ãn , bn ∼ b̃n ; an + bn ∼ ãn + b̃√n .
Controesempio: an = n2 − n, bn = n − n2 , ãn = n2 , b̃n = bn
(b) an ∼ ãn ; ean ∼ eãn
Controesempio: an = n2 + n
(c) an ∼ ãn ; log an ∼ log ãn
Controesempio: an = n+1
n
Però vale la seguente proposizione:
an ∼ ãn ,
an , ãn → ∞ o an , ãn → 0 =⇒ log an ∼ log ãn
L’importante è che an , ãn 9 1!!!
(d) limn→∞ an = limn→∞ ãn ; an ∼ ãn
Controesempio: an = n1 , ãn = n12
4. Calcolare
√
lim n log
n→∞
n2
n+1
− log n
31 ottobre 2007: Laboratorio
1. Sia an una successione t.c. lim an = a. Dimostrare che
n→∞
(a)
(b)
lim sin an = sin a
n→+∞
lim logp an = logp a (an > 0, a > 0 p > 1) (caso 0 < p < 1 per esercizio)
n→+∞
2. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false
(a) an → a, =⇒
|an | → |a| (V)
(b) |an | → |a|, =⇒
an → a (F)
3. Stabilire quali di queste successioni sono regolari e in tal caso calcolarne il limite
√
(a) an = n n;
p
(n2 + 2) − 2n
√
(b) an = cos n +
;
2 n−1
en+2 + 2n + n100
;
en−1 − 5n
n
π
(d) an =
+ cos(n )
n+1
2
√1
n+1 n
(e) an =
n3
(c)
an =
5 novembre 2007: esercitazioni
Calcolo dei limiti con i limiti notevoli
Richiami sui limiti notevoli
LIMITI NOTEVOLI CHE SI DEDUCONO DALLA DEFINIZIONE DEL NUMERO e
Sia {εn } una successione tale che εn 6= 0, εn → 0 per n → +∞. Allora:
(a)
1
lim (1 + ϑεn ) εn = eϑ
n→+∞
aεn − 1
= log a
n→+∞
εn
loga (1 + εn )
(c) lim
= loga e
n→+∞
εn
(1 + εn )α − 1
(d) lim
=α
n→+∞
εn
LIMITI NOTEVOLI PER LE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
Sia {εn } una successione tale che εn 6= 0, εn → 0 per n → +∞. Allora:
sin εn
(e) lim
=1
n→+∞ εn
(b)
lim
1 − cos εn
1
=
2
n→+∞
εn
2
tan εn
(g) lim
=1
n→+∞
εn
arctan εn
(H) lim
=1
n→+∞
εn
(f)
lim
1. Calcolare il limite delle seguenti successioni
n4 log 1 + n32
(a) an =
;
sin n + n2
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
log(n5 + 1) − 5 log(n)
an =
;
sin n15
3
n + 2n + 1
α
an = n log
;
α∈R
3n2 + n3
q
3
1 − n22 − 1
an =
.
1
e n2 − 1
n−2
2
an = n log
log(2n + n2 ) sin(2−n + n−2 )
n+2
2n3
2
n +1
;
an =
n2 − 1
n2
1
an = cos
;
n
√
n2 + 1 − n arctan n1
;
α ∈ R;
an =
nα
2
(i) an = (n!)2 e−n ; (da fare come compito con la formula di Stirling)
7 − n log2 n
Sh(4n) + n10
+
(j) lim
11
11
n→+∞
n 10 + 7n log2 n 16n − log n + e4n+3
7 novembre 2007 (Laboratorio)
1. Calcolare i seguenti limiti
n 3
nα log 75n+n
−1
(a) lim
1
n→+∞
en − 1
√n
√
2
n−2 n
√ + Sh √
(b) lim
n→∞
n+3 n
n
2−n log n
n→+∞ sin 12
n
√
√ 3
(d) lim
n4 − n3 − n 3 n (cos(nπ) − 2)
(c)
lim
n→+∞
2. Quale di queste relazioni è falsa?
√
2n + n
√
(a) n + cos n ∼ log2
log n + 2 n
√
n+1
2
(b) log √
∼ sin √
n−1
n
1
√
(c) (log log n)2 ∼ log n
1
1
,
+√
3. Siano an = cos
3
n
n
Calcolare
(d) (e 4 n −
1
n
− 1) ∼
1
√
4n
1
bn = n sin
n
3
lim abnn
n→+∞
19 novembre 2007 (Esercitazioni)
Il criterio della radice e del rapporto
(n!)α
n→∞ 2n!
1. lim
2
2. lim (n!)2 e−n
n→∞
3. lim
n→∞
3 + αn n
2n − 1
al variare di α ≥ 0. (per casa: cosa si può dire per α ∈ R?)
Definizione di “o piccolo”. Sia {bn } : bn 6= 0 definitivamente. Allora
an
=0
n→∞ bn
an = o(bn ) per n → ∞ ⇔ ∃ lim
Esempi:
• La classe degli infinitesimi : o(1);
(osservazione: o(an ) = an o(1))
• nα =o(nβ ) se β > α
• altri esempi ...
Proprietà(dimostrazione per casa). Siano an , bn 6= 0 definitivamente. Allora:
1. −o(an ) =o(an );
2. o(an )±o(an ) =o(an );
(esempio: an = n2 , log n = o(n2 ), n = o(n2 ), n − log n = o(n2 ))
3. c·o(an ) =o(c · an ) =o(an );
4. o(o(an )) =o(an );
5. bn ·o(an ) =o(bn · an ).
6. (o(an ))k =o(akn ) per ogni k ∈ N
Osservazione: Utilizzo di “ o piccolo” nei limiti: lim (an +o(an )) = lim an
n→∞
n→∞
Relazione tra asintotico e “ o piccolo”. an ∼ bn ⇔ an = bn + o(bn )
Osservazione: ∼ è una relazione di equivalenza nell’insieme delle successioni non nulle
definitivamente, “ o piccolo” NO.
Principali limiti notevoli scritti con il simbolo di “o piccolo”:
Sia εn 6= 0, εn → 0 per n → +∞. Allora
• sin εn = εn + o(εn )
• cos εn = 1 − 21 ε2n + o(ε2n )
• (1 + εn )α = 1 + αεn + o(εn )
• eεn = 1 + εn + o(εn )
• log(εn + 1) = εn + o(εn )
1. (LIMITI DI SUCCESSIONI CON SVILUPPI AL I ORDINE
Calcolare i seguenti limiti
(r
)
1
1
3
(a) lim nα
1− 3 −1+ 3
n→∞
n
n
1
(b) (per casa) lim nα {cos(sin( )) − 1}
n→∞
n
r
log n √
(c) (per casa) lim nα { 1 +
− n n}
n→∞
n
q
1 − cos n1
(d) (per casa) lim
n→∞
sinα n12
n2
1
(e) (per casa) lim cos
n→+∞
n
√
√
5
5
(f) (per casa) lim nα ( n2 + 1 − n2 ), α ∈ R
n→+∞
2. (per casa) Sia εn 6= 0, εn → 0 . Quali tra queste relazioni sono vere ?
(a) log
1 + 2 εn
1 − 2 εn
(c) εn 2 sin
∼ 4 εn 2
1
= o(εn )
εn 2
(b) sin
1
1
∼
εn
εn
(d) εn log |εn | = o(εn )
21 novembre 2007(Laboratorio) In questo laboratorio sono stati risolti alcuni esercizi
lasciati per casa nell’esercitazione del 19 novembre
26 novembre 2007(Esercitazioni)
1. (LIMITI DI SUCCESSIONI CON SVILUPPI DI ORDINE SUPERIORE AL I)
1 n
√
n
(a) lim
e − sin
n→+∞
n
1
n+1
α
(b) lim n cos
−1+ 2
n→∞
n2
2n
1
2
(c) lim
1 − 2n
n→+∞
1 − cos n
1
1
√
(d) lim
−
n→+∞
e2/n − 1 2 sin2 (1/ n)
2
2
α
(e) lim n log 1 −
+ en − 1
n→+∞
n
!
r
1
1
4
(f) lim n cos − 1 − 2
n→+∞
n
n
28 novembre 2007(Laboratorio)
Correzione I compitino, 16/11/07
3 dicembre 2007(Esercitazioni)
1. (LIMITI DI FUNZIONI CON SVILUPPI AL I ORDINE )
Calcolare i seguenti limiti
(a) lim+ x ln x; lim+ xx ;
x→0
x→0
1
lim+ xe x ;
x→0
1
lim− xe x
x→0
1 − ln x
x−e
√
x−2
√
(c) lim √
x→4 3 x − 3 4
(b) lim
x→e
xx − 1
xx − 1
;
lim
x→1 x ln x
x→0 x ln x
√
√
(e) lim (sin x + 2 − sin x)
(d) lim+
x→+∞
(f) lim− (1 − 3x )sin(x/2)
x→0
(g) (per casa) lim (1 + cos2 x)tan
2
x
x→π/2
Definizione di asintoto orizzontale, verticale, obliquo
f (x) ha asintoto orizzontale a +∞ (o a −∞) di eq. y = l se
lim f (x) = l,
x→+∞
cioè se
f (x) = l + o(1) x → +∞
f (x) ha asintoto verticale di eq. x = x0 se
lim f (x) = +∞ o − ∞, e/o lim− f (x) = +∞ o − ∞
x→x+
0
x→x0
f (x) ha asintoto obliquo a +∞ (o a −∞) di eq. y = mx + q se

f (x)

 limx→+∞ x = m
cioè se
f (x) = mx + q + o(1) x → +∞

 limx→+∞ f (x) − mx = q
2. Determinare l’insieme di definizione e gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni:
√
(a) f (x) = 3x + x2 − 1
x−1
(b) f (x) = xe x+1
3. Determinare se la seguente funzione ammette asintoti (orizzontali, verticali, obliqui)
q
(a) (per casa)(febbraio 2004) f (x) = x2 + sin2 x + x arctan(ex )
5 dicembre 2007(Laboratorio)
1. Calcolare i seguenti limiti
1
(a) lim x(e x − 1);
x→+∞
x3 − 7x + 6
x→1
x2 − 1
x3
(c) lim+ logx log 1 +
x→0
3
(b) lim
3 sin2 x + sin x − 4
x→π/2
( π2 − x)2
(d) lim
ex + (1 − x)e2
x→2 e − ecos(x−2)
ex tan x − sin x
(f) lim
x→0
x2 cos x
1
1
(g) lim
−
x→0
x sin x
(e) (febbraio 2005) lim
2. Determinare l’insieme di definizione e gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni:
1
3
+ x
x+1 4
1 + | log x|
(b) f (x) = x
1 + log x
(a) f (x) = √
3
r
(c) f (x) =
3
(1 + x)5
x2
1
(d) (non fatto) f (x) = (1 − x)e2 arctan 1−x
(e) (non fatto) f (x) = xe− log
2
x+| log x|
10 dicembre 2007 (esercitazioni)
1. (LIMITI DI FUNZIONI CON SVILUPPI DI ORDINE SUPERIORE AL I)
Calcolare i seguenti limiti
(ex − 1)2 + ln(1 − x2 )
x→0
x3
√
( π2 − arctan x) x2 + 1 − 1
(b) lim
x→+∞
x(arctan( πx ))3
(c) lim+ xα sin2 x + 2 log(cos x)
(a) lim
(usare : arctan x + arctan( x1 ) = π2 sgnx)
x→0
Shx − x
(per casa)
2
x→0 x(ex − 1)
(d) lim
2. (CONTINUITÀ)
(a) Stabilire per quali valori dei parametri a e b la funzione
√
|x|b (ex − 1 + 2x) x > 0
a
f (x) =
ex
x<0
è prolungabile con continuità su R.
(b) Classificare i punti di discontinuità delle seguenti funzioni:
|x|
[x]
πx
1
1
1
;
; sin
; sin
; x sin
;
x
·
(per casa)
x
x
|x|
x
x2 + x
x
(c) (per casa) Determinare il dominio e classificare i punti di discontinuità delle
seguenti funzioni:
f (x) =
12 dicembre 2007 (Laboratorio)
1. Calcolare i seguenti limiti
x2 − sin2 x
(a) lim 3 x
x→0 x (e − cos x)
√
α
2
(b) lim+ x cos x − 1 − x
x→0
1
1 ;
2 − ex
f (x) =
log(x2 ) − 1
log(x2 ) + 1
2. (CONTINUITÀ)
(a) Stabilire per quali valori del parametro a la funzione
sin x
x 6= 0
1−ex
f (x) =
a
x=0
è continua in R.
(b) Stabilire per quali valori dei parametri a e b
 a
 x | sin x1 |
0
f (x) =

|x|b arctan x
la funzione
x ∈ (0, 1)
x=0
x ∈ (−1, 0)
è continua in (−1, 1).
x
(c) (FACILE!) Data la funzione f (x) = (x − |x|) |x| , classificare i punti di discontinuità delle seguenti funzioni:
f (x),
3. Sia
g1 (x) = 2xf (x),
x
f (x) =
(1 − x)2
α
log2 x
g2 (x) = 2x2 f (x)
α∈R
Stabilire se esistono valori del parametro reale α per cui è possibile completare la
definizione di f in modo che risulti continua in [0, +∞).
17 Dicembre 2007(Esercitazioni)
1. (DERIVATE: REGOLE DI CALCOLO) Calcolare la derivata prima delle seguenti
funzioni (dove esiste)
√
√
2
f (x) = tan x; f (x) = x 1 + x2 + log (x + 1 + x2 ); f (x) = xex ; f (x) = xx ;
2. (RETTE TANGENTI)
(a) Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di y = f (x) nel punto
(x0 , f (x0 )): f (x) = (1 + x2 )cos x , x0 = 0
(b) Sia g : R → R una funzione continua e derivabile t.c. g(π) = π2 , e sia
f (x) = (sin x) · sin(g(x)). Calcolare la retta tangente a f (x) in x0 = π
3. (PUNTI ANGOLOSI, TG VERTICALI, CUSPIDI) Calcolare la derivata delle seguenti funzioni, dove esiste. Studiare i punti di non derivabilità.
√
3
(a) |x2 − 1|;
x2 ; |x|x
4. (DERIVAZIONE DELL’INVERSA)
(a) Determinare la derivata prima della funzione f (x) = arctan x
√
(b) (gennaio ’07) la funzione f (x) = 1 + log[3 − (sin πx) 6x + 1] soddisfa f ( 21 ) = 1
ed è strettamente monotona in un intorno V di 12 . Sia g : f (V ) → V la funzione
inversa di f . Determinare g 0 (1).
5. (DERIVABILITÀ DI FUNZIONI DEFINITE A TRATTI) Studiare la derivabilità
delle seguenti funzioni
(a)
f (x) =
x + b sin x x ≤ 0
a
ex
x>0
(b)
f (x) =
arctan x1 x 6= 0
0
x=0
6. Determinare per quali valori di α la seguente funzione è derivabile con continuità
α
x sin( x1 ) x > 0
f (x) =
0
x≤0
19 dicembre 2007(Laboratorio)
1. (RETTE TANGENTI)
(a) Scrivere l’equazione della retta passante per l’origine e tangente alla funzione
y = ex
2. (PUNTI ANGOLOSI, TG VERTICALI, CUSPIDI) Calcolare la derivata delle seguenti funzioni, dove esiste. Studiare i punti di non derivabilità, stabilendo di che tipo
si tratta.
(a)
|x|x
(b)
f (x) =
(x − 1) log(x − 1) x > 1
0
x=1
3. (DERIVAZIONE DELL’INVERSA)
Sia f : R → √
R una √
funzione monotona e derivabile, la cui retta tangente in x0 = 1
ha eq. y = ex + e. Detta g(x) = f −1 (x) la sua funzione inversa, determinare
l’eq. della retta tangente alla funzione
√
h(x) = log(g(x)) nel punto x0 = 2 e
4. (DERIVABILITÀ DI FUNZIONI DEFINITE A TRATTI) Studiare la derivabilità
delle seguenti funzioni
(a)
(
f (x) =
1
e x2 −1 |x| < 1
0
|x| ≥ 1
(b)
2
+ 1) x sinh x√− log(x√
x 6= 0
3 4
3
f (x) =
x 2 cosh x2 − e x − 1


0
x=0



9 gennaio 2008: Laboratorio
1. Determinare i punti

 x
(a) f (x) =

0
 1
 q
(b) f (x) =

0
di discontinuità delle seguenti funzioni
se x ∈ Q
se x ∈ R \ Q
se x = pq , p, q coprimi
popcorn f unction
se x ∈ R \ Q
2. Quale delle seguenti funzioni ammette almeno uno zero nell’intervallo (0, 2)?


x+1
se 0 < x ≤ 1


1) f (x) =
1


se 1 < x < 2
 −
(x − 1)2
2) f (x) =
1
2
+ x(x − 2)
3) f (x) = x2 + log x
3. Studiare continuità, derivabilità e continuità delle derivate delle seguenti funzioni
(a) f (x) =
p
− |x| ,
|x| − 2 ,
 3/2
x sin √1x





1
(b) f (x) =
ex + b





a
se |x| ≤ 1
.
se 1 < |x| ≤ 2
se x > 0
se x < 0
se x = 0
14 Gennaio 2008: (esercitazioni)
(Studio di Funzione)
1. Studiare l’andamento della seguente funzione e tracciarne un diagramma qualitativo
(insieme di definizione, limiti di f e f 0 alla frontiera di tale insieme, eventuali asintoti,
crescere e decrescere, eventuali estremanti) (studio della concavità per casa)
x
f (x) = |x|e x−1
2. Determinare, al variare del parametro λ, il numero di soluzioni dell’equazione
x(3 − log2 x) = λ
3. Determinare l’insieme
2 − x2 + x 3 2
3
+ x + 1 < a ha almeno una soluzione in − , 0
I= a∈R: √
2
4
x+1
(Formula di Taylor)
4. Scrivere i primi quattro termini della formula di Taylor nel punto x0 (con resto
secondo Peano)
f (x) = log x,
x0 = 3
5. Scrivere la formula di MacLaurin arrestata al IV ordine di
1 + 2x
f (x) = √
1 − 3x2
2
6. (per casa) La funzione f (x) = (cos x)1/3 − 1 + log 1 + x6 ha in x = 0
(a) un punto di massimo relativo;
(b) un punto di minimo relativo;
(c) un punto di massimo assoluto;
(d) nessuna delle precedenti.
16 gennaio 2008: esercitazioni (squadre riunite)
1. (Invertibilità)
(a) Sia data la funzione f (x) = x + arctan x.
i. Dimostrare che è invertibile su R
ii. Scrivere i primi tre termini della formula di Taylor nel punto x0 = 1 (con
resto secondo Peano)
iii. Sia g(t) la funzione inversa di f . Determinare lo sviluppo di Taylor (al
secondo ordine) della funzione inversa g centrato nel punto t0 = 1 + π/4
(b) Sia f (x) una funzione il cui sviluppo di Taylor di 30 grado centrato in x0 = 1
é dato dal polinomio P3 (x) = x2 − x3 . Dimostrare che f (x) é invertibile in un
intorno di x0 . Calcolare (f −1 )0 (0).
2. Determinare il polinomio P (x) di grado minore o uguale a 4 tale che per x → 0 si
abbia
x2
cos x + e− 2 − P (x) = o(x4 )
3. Determinare la 20-esima derivata in 0 della funzione f (x) = Ch(x3 ) log(1 + x4 )
16 gennaio 2008: Laboratorio
1. La funzione f (x) = (cos x)1/3 − 1 + log 1 +
x2
6
ha in x = 0
(a) un punto di massimo relativo;
(b) un punto di minimo relativo;
(c) un punto di massimo assoluto;
(d) nessuna delle precedenti.
2. Determinare sup, inf, max min del seguente insieme
n
E= x∈R:
(S.: sup E = max E = 10;
inf E = 0;
e
2
x−4
√
10 3 e o
≤
x
@ min E )
(per gli argomenti delle ultime ore di esercitazione guardare il sito della dott.ssa
Tarsi)