INTEGRALE INDEFINITO esercizi ! f (x)dx = F (x) + c Integrali immediati Integrali di FunzioneComposta*Derivata[argomento] Integrazione per sostituzione Integrazione per parti 1 ESERCIZI ‐ Integrali immediati ! dx = x + c 1 ! x dx = ln | x | +c !e x dx = e + c x x n+1 ! x dx = n + 1 + c n ! cos x dx = senx + c ! senx dx = " cos x + c 1 "n ! x n dx = ! x dx = ... ! ! n m n x m dx = ! x dx = ... 1 n x m dx = ! x " m n dx = ... B) A) ! (8x + 5x + 3)dx = 2 ! (5x + 7x + 9)dx = 7 ! (x + 8x + x)dx = ! (3x + x "1)dx = ! (7cos x + 2senx " 5)dx = 6 2 3 2 1 ! (x + x + 6)dx = # 7x " 2 & ! %$ x (' dx = C) ! 5(x + 1) dx = 2 1 ! x5 dx = ! 5 x dx = 2 2 A‐correzione ! (5x 2 + 7x + 9)dx = ! (x + 8x + x)dx = 2 = 5 ! x dx + 7 ! xdx + 9 ! 1dx = 2 Calcolo Integrali immediati x4 x3 x2 1 4 8 3 1 2 = +8 + = x + x + x +c 4 3 2 4 3 2 Decompongo e calcolo Integrali immediati ! (7 cos x + 2senx " 5)dx = 1 ! (x + x + 6)dx = 2 x x 5 3 7 2 = 5 + 7 + 9ix = x + x + 9x + c 3 2 3 2 Posso calcolare subito Decomponendo integrale mentalmente 3 Proprità Linearità: decompongo 3 Decompongo e calcolo Integrali immediati Decompongo e calcolo Integrali immediati = 7senx " 2 cos x " 5x + c x2 1 2 = + ln | x | +6x = x + ln | x | +6x + 3c 2 2 B‐correzione 2 (8x ! + 5x + 3)dx = Calcolo Integrali immediati 7 ! (3x + x "1)dx = Proprità Linearità: Decompongo ed estraggo le costanti moltiplicate 3 = 8 ! x 2 dx + 5 ! x dx + 3! dx = 2 x x 8 3 5 2 = 8 + 5 + 3x == x + x + +3x + c 3 2 3 2 Decompongo ed calcolo subito integrali immediati x2 3 2 = 3 + 7 ln | x | "x = x + 8 ln | x | "x + c 2 2 # 7x 6 " 2 & ! %$ x (' dx = Decompongo E integro Divido ogni Monomio Per x 6 # 7x 6 2 & = !% " ( dx = $ x x' 2 ! (7x " x )dx = x 7 6 = 7 " 2 )ln | x |= x " 2 ln | x | +c 6 6 5 C‐correzione ! 5(x + 1) dx = 2 Ora decompongo e calcolo integrale 1 ! x 5 dx = Svolgo quadrato ed estraggo 5 = 5 ! (x 2 + 2x + 1)dx = x3 x2 5x 3 = 5( + 2 + x) = + 5x 2 + 5x + c 3 2 3 "5 x ! dx = Trasformo in potenza calcolo integrale x "5 +1 x "4 1 "4 1 1 1 = = = " #x = " # 4 = " 4 +c "5 + 1 "4 4 4 x 4x ! 5 x 2 dx = 2 5 = ! x dx = Trasformo in potenza = x 2 +1 5 2 +1 5 = x 7 5 7 5 Ora calcolo integrale Con regola potenza 5 57 5 5 7 = x = x +c 7 7 5 ESERCIZI ‐ Integrali immediati ! dx = x + c 1 ! x dx = ln | x | +c x x e dx = e +c ! n+1 x n x ! dx = n +1 + c ! 1 "n dx = x dx = ... n ! x ! cos xdx = senx + c ! n ! senxdx = "cos x + c ! D x m dx = ! x E 4x ! x + 7x " x dx = 4 " (6x + x +1)dx = 4 x dx = ! x dx = ... 1 n m n m 2 ! ! " (4cosx + senx + 5e )dx = x ! 3 dx = 4 x 5 dx = 2 x 6 dx = 3 x " m n dx = ... F !4 !6 ! x dx = 3 x dx = 2 1 3 x 5 dx = 6 Esercizi D ‐ CORREZIONE 4x 4 ! x 2 + 7x dx == " x 4x 4 x 2 7x = "( ! + )dx = x x x Divido ogni termine Al numeratore Per x e semplifico 4 2 x x 1 2 3 4 " (4x ! x + 7)dx = 4 4 ! 2 + 7x == x + 2 x + 7x + c Decompongo 4 E calcolo integrali (6x + +1)dx = immediati " x x2 = 6 + 4 ln | x | +x = 3x 2 + 4 ln | x | +x + c 2 " (4 cos x + senx + 5e )dx = x Decompongo E calcolo integrali immediati = 4senx ! cos x + 5e + c x 7 Esercizi E ‐ CORREZIONE Calcolo Integrale di una potenza 3 Trasformo "4 "4 Estraggo in potenza dx = = 3x dx = = 3 x dx = 3 ! x4 ! ! Al numeratore x "4 +1 x "3 x "3 1 =3 =3 =" =" 3 +c "4 + 1 "3 1 x Trasformo Estraggo Integrale 5 "2 "2 potenza una = ! 5x dx = 5 = 5 ! x dx = dipotenza ! x 2 dx = Alin numeratore x "2 +1 x "1 x "1 5 =5 =5 = "5 =" +c "2 + 1 "1 1 x Integrale 6 Trasformo Estraggo "3 "3 di una in potenza 6 dx = = 6x dx = = 6 x dx = potenza ! x3 ! ! Al numeratore x "3+1 x "2 6 "2 1 3 = 6# = 6# = " # x = "3 # 2 = " 2 + c "3 + 1 "2 2 x x 8 Esercizi F ‐ CORREZIONE !4 Trasformo in potenza x dx = =4 x 1 +1 2 1 +1 2 x =4 3 2 =6 ! = x 2 +1 3 1 3 x x 5 =6 5 " +1 3 = 5 3 x " " 2 3 2 3 Calcolo integrale immediato : regola della potenza 2 3 = 6 ! x dx = 3 53 18 = 6i x = 5 5 Trasformo in potenza al numeratore dx = 5 " +1 3 x 5 3 = 4 ! x dx = 2 23 8 2 3 8 = 4i x = x +c= 3 3 3 Trasformo in potenza 3 2 6 x dx = ! 2 +1 3 3 2 1 2 = ! 1 x 2 + 5 3 3 dx = x3 + c Calcolo integrale immediato : regola della potenza x5 + c !x " 5 3 dx Calcolo integrale immediato : regola della potenza 3 "3 3 1 3 1 3 = " ix = " i 2 = " # 3 =" 3 +c 2 2 2 2 3 2 x 2 x x “FunzioneComposta*Derivata[argomento]” g[ f (x)]• f '(x)dx = G( f (x)) + c ! g= funzEsterna f= funzInterna o argomento l’integrale di una FunzioneComposta*Derivata[argomento] è uguale alla Primitiva della FunzioneEsterna ESERCIZI A (3x + 4) ! 3dx = " 6 B # (3x ! 1) " 3dx = 8 4 # 4x + 7 dx = " (x # 6) !2xdx = cos5x dx = (9x # 7) dx = # " e dx = # " (2senx) !cosxdx = 2 3 2 7 3x C " (4x + 2) ! dx = " e ! dx = 5 9x 1 " 5x # 1 ! dx = " sen7x ! dx = 10 Esercizi A ‐ correzione 6 (3x + 4) ! 3dx = " FunzEsternaPotenza; funzInterna f=7x+1 -->f’=7*1+0=7 = " (3x + 4)6 ! 3dx = 2 3 (x ! 6) " 2x dx = # = (3x + 4)7 = +c 7 FunzEsternaPotenza; funzInterna f=2x+4 --> f’=2*1+0=2 2 3 (x ! 6) " 2x dx = # 2 (9x ! 7) dx = " Primitiva f.Esterna Potenza C’è C’è (x ! 6) Primitiva = +c f.Esterna 4 Potenza 2 4 funzEsternaPotenza ; funzInterna f=9x-7 -->f’=9*1-0=9 . NON c’è 3 3 (9x ! 7) 1 1 (9x ! 7) 2 Divido/molt = +c (9x ! 7) # 9 dx == = " 27 per 9 9 9 3 7 (2senx) ! cos x dx = " FunzEsternaPotenza ; funzInterna f=2senx , --> f’=2cosx c’è cosx ma manca 2 8 8 1 (senx) (senx) Divido/molt 1 7 = +c per 2 = 2 (senx) ! 2 cos x dx == 2 8 16 " 11 Esercizi B ‐ correzione funzEsternaPotenza ; funzInterna f= 3x-1 da cui f’=3 9 (3x ! 1) Primitiva 8 8 = +c # (3x ! 1) " 3dx = # (3x !f 1) "f’3dx = f.Esterna Potenza 9 C’è funzEsterna 1/f(x); funzInterna f=4x+7 da cui f’=4 C’è 4 1 f’ # 4x + 7 " dx = # 4x + 7 " 4 dx = f Primitiva f.Esterna 1/f(x) = ln | 4x + 7 | +c funzEsternaCoseno ; funzInterna f=5x dacui f’=5 # cos5x dx = Div/molt per 5 1 = # cos5x " 5dx = f f’ 5 NON c’è Primitiva f.Esterna coseno 1 = sen5x + c 5 funxEsternaEsponenziale; funzInterna f=3x da cui f’=3 f f’ 1 3x 3x Div/molt # e dx = per 3 = 3 # e " 3dx = Primitiva f.Esterna = esponenziale NON c’è 1 3x ie + c 3 12 Esercizi C ‐ correzione funzEsternaPotenza; funzInterna f=4x+2 da cui f’=4 NON c’è 1 Div/molt 5 5 per 4 (4x + 2) !dx = = (4x + 2) ! 4dx = " "4 Calcolo Integrale: Primitiva F Potenza 1 (4x + 2)6 (4x + 2)6 = = +c 4 6 24 funzEsternaEsponenziale; funzInterna f=9x da cui f’=9 NON c’è "e 9x !dx = Div/molt per 9 1 9x = " e !9 !dx = 9 Calcolo Integrale: Primitiva f esp. 1 9x = e +c 9 funzEsterna 1/f(x) ; funzInterna f=5x-1 da cui f’=5 NON c’è 1 " 5x #1 !dx = Div/molt per 5 1 1 = " !5dx = 5 5x #1 Calcolo Integrale: Primitiva di 1/f(x) 1 = ln | 5x #1| +c 5 funzEsterna seno ; funzInterna f=7x NON c’è " sen7x !dx = Div/molt per 7 1 = " sen7x ! 7dx = 7 Calcolo Integrale: Primitica di f. seno 1 = # cos7x + c 7 13 Esercizi svolti : METODO DI SOSTITUZIONE funzioni composte g( f (x)) ! d x " g=funzioneEsterna f= funzInterna Pongo f(x)=t -->ricavo x e calcolo differenziale dx. Sostituisco nel testo e ottengo un integrale in t che risolvo. Infine ri-sostituisco f(x) al posto di t. 1) (7x + 2) !dx = " 3 2) " cos(2x + 9)!dx = 3) 5 " 6x + 1 ! dx = 4) 5) 6) # (4x ! 5) 7 " x " dx = # (x ! 5) " dx = " (4 x + 3) ! dx = 14 1 - SOSTITUZIONE - funz Esterna potenza " (7x + 2) ! dx = Pongo f(x)=t 3 7x + 2 = t 1 2 Ricavo x 7x = t ! 2 " x = t ! 7 7 Calcolo 1 $1 ' Differenziale dx = & #1+ 0 ) dt " dx = dt %7 ( 7 Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli 1 ! (t ) 7 dt = 3 1 t4 = 7 4 = t4 28 (5 x + 2)4 = +c 28 1 7 3 t ! dt = Ottengo un integrale immediato nella variabile t : lo calcolo RI-sostituisco f(x) al posto di t 15 2 - SOSTITUZIONE -funz esterna coseno " cos(2x + 9)!dx = Pongo f(x)=t Ricavo x Calcolo Differenziale 2x + 9 = t 1 9 2x = t ! 9 " x = t ! 2 2 1 $1 ' dx = & #1+ 0) dt " dx = dt %2 ( 2 Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli 1 ! cos ti 2 dt = 1 cos t dt = Ottengo un integrale immediato ! 2 nella variabile t : lo calcolo 1 = sent = RI-sostituisco f(x) al posto di t 2 1 = sen(2x + 9) + c 2 16 3 - SOSTITUZIONE - funzione Esterna 1/f(x) 5 " 6x + 1 ! dx = Pongo f(x)=t 6x +1 = t 1 1 Ricavo x 6x = t !1" x = t ! 6 6 1 $1 ' Calcolo dx = #1+ 0 dt " dx = dt & ) Differenziale %6 ( 6 Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli " 5 1 ! dt = t 6 5 6 1 " t dt = Ottengo un integrale immediato 1/t : lo calcolo 5 = ln | t | = RI-sostituisco f(x) al posto di t 6 5 = ln | 6x + 1 | +c 6 17 4 - SOSTITUZIONE - funzione Esterna potenza # (4x ! 5) 7 " x " dx = f(x)=t 4x ! 5 = t t 5 1 1 Ricavo x 4x = t + 5 " x = + " x = #t + 4 4 4 4 1 $1 ' Differenziale " dx = & #1+ 0) dt " dx = dt %4 ( 4 Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli 1 1 1 t8 t7 1 " (t ) ! ( 4 t + 4 ) ! 4 dt = " ( 4 + 4 ) ! 4 dt = 1 7& Ottengo un integrale immediato # 1 8 = "% t + t ( dt = $ 16 nella variabile t : lo calcolo 16 ' 7 # 1 t9 1 t8 & t9 t8 =% ! + ! ( = + $ 16 9 16 8 ' 144 128 (2x ) 1)9 (2x ) 1)8 = + +c 144 128 = RI-sostituisco f(x) al posto di t 18 5 - SOSTITUZIONE - funzione Esterna radice quadrata # NB: se c’è una radice quadrata conviene porre =t tutta la radice! (x ! 5) " dx = f(x)=t x!5 =t " Ricavo x Differenziale x ! 5 = t2 x = t2 + 5 dx = ( 2t ! 0 ) # dt dx = 2t # dt Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli " t ! 2t dt t3 = 2! 3 = 2( = = 2 " t 2 dt = 2 3 t = 3 Ottengo un integrale immediato nella variabile t : lo calcolo 2t 3 =RI-sostituisco al posto di t la x 3 2 (4 x + 3)3 4 x + 3)3 = +c 3 3 19 6 - SOSTITUZIONE-funzione Esterna radice quadrata " NB: se c’è una radice quadrata conviene porre =t tutta la radice! (4 x + 3) ! dx = f(x)=t 4x + 3 = t ! t2 3 " Ricavo x x = 4 4 4x + 3 = t2 1 2 3 x= t " 4 4 $1 ' Differenziale dx = & # 2t " 0 ) # dt %4 ( 1 dx = t # dt 2 Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli 1 1 2 t ! t dt = t dt = Ottengo un integrale immediato " 2 " 2 nella variabile t : lo calcolo 1 t3 = ! 2 3 = ( = t3 = 6 4 x + 3)3 = 6 RI-sostituisco al posto di t la x (4 x + 3)3 +c 6 20