INTEGRALE INDEFINITO esercizi

INTEGRALE
INDEFINITO
esercizi
! f (x)dx = F (x) + c
Integrali immediati
Integrali di FunzioneComposta*Derivata[argomento]
Integrazione per sostituzione
Integrazione per parti
1
ESERCIZI
‐
Integrali
immediati
! dx = x + c
1
! x dx = ln | x | +c
!e
x
dx = e + c
x
x n+1
! x dx = n + 1 + c
n
! cos x dx = senx + c
! senx dx = " cos x + c
1
"n
! x n dx = ! x dx = ...
!
!
n
m
n
x m dx = ! x dx = ...
1
n
x
m
dx = ! x
"
m
n
dx = ...
B)
A)
! (8x + 5x + 3)dx =
2
! (5x + 7x + 9)dx =
7
! (x + 8x + x)dx =
! (3x + x "1)dx =
! (7cos x + 2senx " 5)dx =
6
2
3
2
1
! (x + x + 6)dx =
# 7x " 2 &
! %$ x (' dx =
C)
! 5(x + 1) dx =
2
1
! x5 dx =
!
5
x dx =
2
2
A‐correzione
! (5x
2
+ 7x + 9)dx =
! (x
+ 8x + x)dx =
2
= 5 ! x dx + 7 ! xdx + 9 ! 1dx =
2
Calcolo
Integrali
immediati
x4
x3 x2 1 4 8 3 1 2
= +8 + = x + x + x +c
4
3 2 4
3
2
Decompongo
e calcolo
Integrali
immediati
! (7 cos x + 2senx " 5)dx =
1
! (x + x + 6)dx =
2
x
x
5 3 7 2
= 5 + 7 + 9ix = x + x + 9x + c
3
2
3
2
Posso calcolare subito
Decomponendo integrale
mentalmente
3
Proprità
Linearità:
decompongo
3
Decompongo
e calcolo
Integrali
immediati
Decompongo
e calcolo
Integrali
immediati
= 7senx " 2 cos x " 5x + c
x2
1 2
= + ln | x | +6x = x + ln | x | +6x + 3c
2
2
B‐correzione
2
(8x
! + 5x + 3)dx =
Calcolo
Integrali
immediati
7
! (3x + x "1)dx =
Proprità Linearità:
Decompongo
ed estraggo le costanti
moltiplicate
3
= 8 ! x 2 dx + 5 ! x dx + 3! dx =
2
x
x
8 3 5 2
= 8 + 5 + 3x == x + x + +3x + c
3
2
3
2
Decompongo
ed calcolo subito
integrali immediati
x2
3 2
= 3 + 7 ln | x | "x = x + 8 ln | x | "x + c
2
2
# 7x 6 " 2 &
! %$ x (' dx =
Decompongo
E integro
Divido ogni
Monomio
Per x
6
# 7x 6 2 &
= !%
" ( dx =
$ x x'
2
! (7x " x )dx =
x
7 6
= 7 " 2 )ln | x |= x " 2 ln | x | +c
6
6
5
C‐correzione
! 5(x + 1) dx =
2
Ora decompongo e
calcolo integrale
1
! x 5 dx =
Svolgo quadrato
ed estraggo 5
= 5 ! (x 2 + 2x + 1)dx =
x3
x2
5x 3
= 5( + 2 + x) =
+ 5x 2 + 5x + c
3
2
3
"5
x
! dx =
Trasformo in potenza
calcolo
integrale
x "5 +1 x "4
1 "4
1 1
1
=
=
= " #x = " # 4 = " 4 +c
"5 + 1 "4
4
4 x
4x
!
5
x 2 dx =
2
5
= ! x dx =
Trasformo in potenza
=
x
2
+1
5
2
+1
5
=
x
7
5
7
5
Ora calcolo integrale
Con regola potenza
5 57 5 5 7
= x =
x +c
7
7
5
ESERCIZI
‐
Integrali
immediati
! dx = x + c
1
! x dx = ln | x | +c
x
x
e
dx
=
e
+c
!
n+1
x
n
x
! dx = n +1 + c
!
1
"n
dx
=
x
dx = ...
n
!
x
! cos xdx = senx + c
!
n
! senxdx = "cos x + c
!
D
x
m
dx = ! x
E
4x ! x + 7x
" x dx =
4
" (6x + x +1)dx =
4
x dx = ! x dx = ...
1
n
m
n
m
2
!
!
" (4cosx + senx + 5e )dx =
x
!
3
dx =
4
x
5
dx =
2
x
6
dx =
3
x
"
m
n
dx = ...
F
!4
!6
!
x dx =
3
x dx =
2
1
3
x
5
dx =
6
Esercizi
D
‐
CORREZIONE
4x 4 ! x 2 + 7x
dx ==
"
x
4x 4 x 2 7x
= "(
! + )dx =
x
x x
Divido ogni termine
Al numeratore
Per x e semplifico
4
2
x
x
1 2
3
4
" (4x ! x + 7)dx = 4 4 ! 2 + 7x == x + 2 x + 7x + c
Decompongo
4
E calcolo integrali
(6x
+
+1)dx
=
immediati
"
x
x2
= 6 + 4 ln | x | +x = 3x 2 + 4 ln | x | +x + c
2
" (4 cos x + senx + 5e )dx =
x
Decompongo
E calcolo integrali
immediati
= 4senx ! cos x + 5e + c
x
7
Esercizi
E
‐
CORREZIONE
Calcolo
Integrale
di una
potenza
3
Trasformo
"4
"4
Estraggo
in potenza
dx
=
=
3x
dx
=
=
3
x
dx =
3
! x4
!
!
Al numeratore
x "4 +1
x "3
x "3
1
=3
=3
="
=" 3 +c
"4 + 1
"3
1
x
Trasformo
Estraggo
Integrale
5
"2
"2
potenza
una
= ! 5x dx = 5
= 5 ! x dx = dipotenza
! x 2 dx = Alin numeratore
x "2 +1
x "1
x "1
5
=5
=5
= "5
=" +c
"2 + 1
"1
1
x
Integrale
6
Trasformo
Estraggo
"3
"3
di una
in potenza
6
dx
=
=
6x
dx
=
=
6
x
dx
=
potenza
! x3
!
!
Al numeratore
x "3+1
x "2
6 "2
1
3
= 6#
= 6#
= " # x = "3 # 2 = " 2 + c
"3 + 1
"2
2
x
x
8
Esercizi
F
‐
CORREZIONE
!4
Trasformo
in potenza
x dx =
=4
x
1
+1
2
1
+1
2
x
=4
3
2
=6
!
=
x
2
+1
3
1
3
x
x
5
=6
5
" +1
3
=
5
3
x
"
"
2
3
2
3
Calcolo integrale immediato : regola della potenza
2
3
= 6 ! x dx =
3 53 18
= 6i x =
5
5
Trasformo
in potenza
al numeratore
dx =
5
" +1
3
x
5
3
= 4 ! x dx =
2 23 8 2 3
8
= 4i x =
x +c=
3
3
3
Trasformo
in potenza
3
2
6
x
dx =
!
2
+1
3
3
2
1
2
=
!
1
x
2
+
5
3
3
dx =
x3 + c
Calcolo integrale immediato : regola della potenza
x5 + c
!x
"
5
3
dx
Calcolo integrale immediato :
regola della potenza
3 "3
3 1
3 1
3
= " ix = " i 2 = " # 3
=" 3
+c
2
2
2
2 3
2
x
2
x
x
“FunzioneComposta*Derivata[argomento]”
g[
f
(x)]•
f
'(x)dx
=
G(
f
(x))
+
c
!
g= funzEsterna
f= funzInterna o argomento
l’integrale di una FunzioneComposta*Derivata[argomento]
è uguale alla Primitiva della FunzioneEsterna
ESERCIZI
A
(3x
+
4)
!
3dx
=
"
6
B
# (3x ! 1) " 3dx =
8
4
# 4x + 7 dx =
" (x # 6) !2xdx =
cos5x dx =
(9x
#
7)
dx
=
#
"
e dx =
#
" (2senx) !cosxdx =
2
3
2
7
3x
C
" (4x + 2) ! dx =
" e ! dx =
5
9x
1
" 5x # 1 ! dx =
" sen7x ! dx =
10
Esercizi
A
‐
correzione
6
(3x
+
4)
! 3dx =
"
FunzEsternaPotenza; funzInterna f=7x+1 -->f’=7*1+0=7
= " (3x + 4)6 ! 3dx =
2
3
(x
!
6)
" 2x dx =
#
=
(3x + 4)7
=
+c
7
FunzEsternaPotenza; funzInterna f=2x+4 --> f’=2*1+0=2
2
3
(x
!
6)
" 2x dx =
#
2
(9x
!
7)
dx =
"
Primitiva
f.Esterna
Potenza
C’è
C’è
(x ! 6)
Primitiva
=
+c
f.Esterna
4
Potenza
2
4
funzEsternaPotenza ; funzInterna f=9x-7 -->f’=9*1-0=9 . NON c’è
3
3
(9x
!
7)
1
1
(9x
!
7)
2
Divido/molt =
+c
(9x
!
7)
# 9 dx ==
=
"
27
per 9
9
9
3
7
(2senx)
! cos x dx =
"
FunzEsternaPotenza ; funzInterna f=2senx , --> f’=2cosx
c’è cosx ma manca 2
8
8
1 (senx)
(senx)
Divido/molt 1
7
=
+c
per 2 = 2 (senx) ! 2 cos x dx == 2
8
16
"
11
Esercizi
B
‐
correzione
funzEsternaPotenza ;
funzInterna f= 3x-1
da cui f’=3
9
(3x
!
1)
Primitiva
8
8
=
+c
# (3x ! 1) " 3dx = # (3x !f 1) "f’3dx = f.Esterna
Potenza
9
C’è
funzEsterna 1/f(x); funzInterna f=4x+7 da cui f’=4 C’è
4
1 f’
# 4x + 7 " dx = # 4x + 7 " 4 dx =
f
Primitiva
f.Esterna
1/f(x)
= ln | 4x + 7 | +c
funzEsternaCoseno ; funzInterna f=5x dacui f’=5
# cos5x dx =
Div/molt
per 5
1
= # cos5x " 5dx =
f f’
5
NON c’è
Primitiva
f.Esterna
coseno
1
= sen5x + c
5
funxEsternaEsponenziale; funzInterna f=3x da cui f’=3
f
f’
1
3x
3x
Div/molt
# e dx = per 3 = 3 # e " 3dx =
Primitiva
f.Esterna =
esponenziale
NON c’è
1 3x
ie + c
3
12
Esercizi
C
‐
correzione
funzEsternaPotenza; funzInterna f=4x+2 da cui f’=4 NON c’è
1
Div/molt
5
5
per 4
(4x
+
2)
!dx
=
=
(4x
+
2)
! 4dx =
"
"4
Calcolo
Integrale:
Primitiva
F Potenza
1 (4x + 2)6 (4x + 2)6
=
=
+c
4 6
24
funzEsternaEsponenziale; funzInterna f=9x da cui f’=9 NON c’è
"e
9x
!dx =
Div/molt
per 9
1 9x
= " e !9 !dx =
9
Calcolo
Integrale:
Primitiva f esp.
1 9x
= e +c
9
funzEsterna 1/f(x) ; funzInterna f=5x-1 da cui f’=5 NON c’è
1
" 5x #1 !dx =
Div/molt
per 5
1 1
= "
!5dx =
5 5x #1
Calcolo
Integrale:
Primitiva di
1/f(x)
1
= ln | 5x #1| +c
5
funzEsterna seno ; funzInterna f=7x NON c’è
" sen7x !dx =
Div/molt
per 7
1
= " sen7x ! 7dx =
7
Calcolo
Integrale:
Primitica di
f. seno
1
= # cos7x + c
7
13
Esercizi
svolti
:
METODO
DI
SOSTITUZIONE
funzioni composte
g(
f
(x))
!
d
x
"
g=funzioneEsterna
f= funzInterna
Pongo f(x)=t -->ricavo x e calcolo differenziale dx.
Sostituisco nel testo e ottengo un integrale in t che risolvo.
Infine ri-sostituisco f(x) al posto di t.
1)
(7x
+
2)
!dx
=
"
3
2)
" cos(2x + 9)!dx =
3)
5
" 6x + 1 ! dx =
4)
5)
6)
# (4x ! 5)
7
" x " dx =
#
(x ! 5) " dx =
"
(4 x + 3) ! dx =
14
1 - SOSTITUZIONE - funz Esterna potenza
" (7x + 2) ! dx =
Pongo f(x)=t
3
7x + 2 = t
1 2
Ricavo x
7x = t ! 2 " x = t !
7 7
Calcolo
1
$1
'
Differenziale dx = & #1+ 0 ) dt " dx = dt
%7
(
7
Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli
1
! (t ) 7 dt =
3
1 t4
=
7 4
=
t4
28
(5 x + 2)4
=
+c
28
1
7
3
t
! dt =
Ottengo un integrale immediato
nella variabile t : lo calcolo
RI-sostituisco f(x) al posto di t
15
2 - SOSTITUZIONE -funz esterna coseno
" cos(2x + 9)!dx =
Pongo f(x)=t
Ricavo x
Calcolo
Differenziale
2x + 9 = t
1 9
2x = t ! 9 " x = t !
2 2
1
$1
'
dx = & #1+ 0) dt " dx = dt
%2
(
2
Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli
1
! cos ti 2 dt =
1
cos t dt = Ottengo un integrale immediato
!
2
nella variabile t : lo calcolo
1
= sent =
RI-sostituisco f(x) al posto di t
2
1
= sen(2x + 9) + c
2
16
3 - SOSTITUZIONE - funzione Esterna 1/f(x)
5
" 6x + 1 ! dx =
Pongo f(x)=t
6x +1 = t
1 1
Ricavo x 6x = t !1" x = t !
6 6
1
$1
'
Calcolo
dx
=
#1+
0
dt
"
dx
=
dt
&
)
Differenziale
%6
(
6
Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli
"
5 1
! dt =
t 6
5
6
1
" t dt =
Ottengo un integrale immediato 1/t :
lo calcolo
5
= ln | t | =
RI-sostituisco f(x) al posto di t
6
5
= ln | 6x + 1 | +c
6
17
4 - SOSTITUZIONE - funzione Esterna potenza
# (4x ! 5)
7
" x " dx =
f(x)=t
4x ! 5 = t
t 5
1 1
Ricavo x 4x = t + 5 " x = + " x = #t +
4 4
4 4
1
$1
'
Differenziale " dx = & #1+ 0) dt " dx = dt
%4
(
4
Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli
1
1 1
t8 t7 1
" (t ) ! ( 4 t + 4 ) ! 4 dt = " ( 4 + 4 ) ! 4 dt =
1 7&
Ottengo un integrale immediato
# 1 8
= "%
t +
t ( dt =
$ 16
nella variabile t : lo calcolo
16 '
7
# 1 t9
1 t8 &
t9
t8
=%
! +
! ( =
+
$ 16 9 16 8 '
144 128
(2x ) 1)9 (2x ) 1)8
=
+
+c
144
128
= RI-sostituisco f(x) al posto di t
18
5 - SOSTITUZIONE - funzione Esterna radice quadrata
#
NB: se c’è una radice quadrata
conviene porre =t tutta la radice!
(x ! 5) " dx =
f(x)=t
x!5 =t "
Ricavo x
Differenziale
x ! 5 = t2
x = t2 + 5
dx = ( 2t ! 0 ) # dt
dx = 2t # dt
Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli
" t ! 2t dt
t3
= 2!
3
=
2(
=
=
2 " t 2 dt =
2 3
t =
3
Ottengo un integrale immediato
nella variabile t : lo calcolo
2t 3
=RI-sostituisco al posto di t la x
3
2 (4 x + 3)3
4 x + 3)3
=
+c
3
3
19
6 - SOSTITUZIONE-funzione Esterna radice quadrata
"
NB: se c’è una radice quadrata
conviene porre =t tutta la radice!
(4 x + 3) ! dx =
f(x)=t
4x + 3 = t !
t2 3
"
Ricavo x x =
4 4
4x + 3 = t2
1 2 3
x= t "
4
4
$1
'
Differenziale dx = & # 2t " 0 ) # dt
%4
(
1
dx = t # dt
2
Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli
1
1
2
t
!
t
dt
=
t
dt = Ottengo un integrale immediato
" 2
"
2
nella variabile t : lo calcolo
1 t3
= !
2 3
=
(
=
t3
=
6
4 x + 3)3
=
6
RI-sostituisco al posto di t la x
(4 x + 3)3
+c
6
20