Prova scritta del 14/09/2010

CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
PROVA SCRITTA DEL 14/9/2010
Esercizio 1
Si considerino gli eventi indipendenti A e B tali che P(A) = 0.5 = P(B).
(1.1) Si stabilisca se i due eventi A e B sono incompatibili, motivando la risposta.
(1.2) Si calcolino P(A∪B) e P(A−B).
Sia C un evento tale che C ≠ ∅ e P(C) = 0.
(1.3) Si fornisca un esempio di un tale evento C, giustificando la risposta.
(1.4) Si calcolino P(B∩C) e P(C−B), motivando le risposte.
(1.5) Si stabilisca se i tre eventi A, B e C sono indipendenti, motivando la risposta.
Soluzione
Siano A e B due eventi indipendenti tali che P(A) = 0.5 = P(B).
(1.1) Gli eventi A e B non possono essere incompatibili, perché se lo fossero si avrebbe
0 = P(A∩B) = P(A) P(B) = 0.25, che è assurdo.
(1.2) P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = (0.5) (2 − 0.5) = 0.75;
P(A−B) = P(A) − P(A∩B) = P(A) [1 − P(B)] = (0.5) (0.5) = 0.25.
Sia C un evento tale che C ≠ ∅ e P(C) = 0.
(1.3) Sia, ad esempio, C = {Z = 0} con Z ∼ N(0,1).
(1.4) P(B∩C) = 0, essendo P(B∩C) ≤ P(C) = 0, e dunque
P(C−B) = P(C) − P(C∩B) = 0.
(1.5) Essendo i due eventi A e B indipendenti, anche i tre eventi A, B e C sono indipendenti
come si può verificare facilmente applicando la definizione.
Esercizio 2
Il numero X di particelle di una sostanza inquinante presenti in un millilitro di acqua è
interpretabile mediante una v.c. di Poisson con parametro λ = 1.5.
(2.1) Si determini la probabilità che in un millilitro di acqua vi siano almeno due particelle
inquinanti e si calcoli P(2.1 ≤ X < 3.2).
(2.2) Si enunci e si dimostri la proprietà riproduttiva della v.c. di Poisson.
Sia S la v.c. che esprime il numero complessivo di particelle della sostanza inquinante presenti in
un campione casuale di 50 millilitri di acqua.
(2.3) Si determini la distribuzione di S, motivando la risposta.
(2.4) Si fornisca un’approssimazione Normale per S, giustificandola con un opportuno teorema,
di cui si richiede l’enunciato completo di tutte le ipotesi.
(2.5) Utilizzando l’approssimazione del punto precedente, si calcoli la probabilità che il campione
di acqua contenga non più di 90 particelle dell’inquinante e si determini il quantile di ordine
0.9.
Soluzione
Sia X una v.c. di Poisson con parametro λ = 1.5.
(2.1) P(X≥2) = 1 − P(X≤1) = 1 − [P(X=0) + P(X=1)] = 1 − (e-λ) (1 + λ) = 1 − (0.2231) (2.5)
= 1 − 0.5578 = 0.4422;
P(2.1≤X<3.2) = P(X=3) = (e-λ) (λ3/6) = (0.2231) (0.5625) = 0.1255.
(2.2)
Se X1,…, Xm sono v.c. di Poisson indipendenti con parametri, rispettivamente, λ1,…, λm,
m
allora la v.c. somma S = ∑ X i ha distribuzione di Poisson con parametro
m
Λ =
i =1
m
m
∑ λi (et −1)
t
t
Infatti, G S (t ) = E e tS = ∏ G X i (t ) = ∏ e λi (e −1) = e i =1
= e (e −1)Λ con
∑ λi .
i =1
m
( )
i =1
i =1
m
Λ =
∑ λi
i =1
Siano X1,…,Xn n = 50 v.c. indipendenti con la medesima distribuzione di X.
(2.3) S = ∑Xi è una v.c. di Poisson con parametro nλ = 75 per la proprietà riproduttiva.
(2.4) Essendo E(S) = 75 = Var(S), S è approssimabile mediante una v.c. N(75,75) per il TCL
(per l’enunciato si veda il libro di testo).
(2.5) P(S≤90) ≅ P[Z≤ (90−75)/√75] = P(Z≤1.7321) = Φ(1.7321) = 0.9584;
0.9 = P(S≤s) = P[Z≤(s−75)/√75] ⇒ 1.2816 = (s−75)/√75 ⇒ s = 86.0986.
Quesito
Si fornisca un esempio di due v.c. X1 e X2 identicamente distribuite tali che P(X1 = X2) < 1.
Soluzione
Come esempio di due v.c. X1 e X2 identicamente distribuite tali che P(X1 = X2) < 1 si possono
considerare i risultati di due lanci di una moneta regolare, poiché in tal caso P(X1 = X2) = ½. e
Xi∼Ber(0.5) i=1,2.
Esercizio 3
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Siano
(3.4)
Siano
(3.5)
2e − x / 2
Si verifichi che la funzione ϕ ( x, y ) =
(x > 0 e y > 1) rappresenta la funzione di
y5
densità di una v.c. bidimensionale (X,Y).
Si determinino le funzioni di densità delle v.c. marginali.
Si stabilisca se X e Y sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando le
risposte.
X1 e X2 v.c. indipendenti e distribuite come X e sia S = X1 + X2.
Si determini il valore di g per cui S ∼ χ2g, motivando la risposta.
Y1,…,Yn v.c. indipendenti e distribuite come Y e sia Tn = Y1 + … + Yn.
Si determini il limite a cui Tn / n converge in probabilità, motivando la risposta.
Soluzione
(3.1) Occorre verificare che: ϕ(x,y) >0 e ∫∫ ϕ(x,y) dxdy =1.
(3.2) Le funzioni di densità delle v.c. marginali sono date da:
ϕ(x) = (e-x/2) /2 (x > 0) e ψ(y) = 4 y-5 (y > 1).
(3.3) Si verifica che X e Y sono indipendenti, ma non sono identicamente distribuite.
Siano X1 e X2 v.c. indipendenti e distribuite come X e sia S = X1 + X2.
(3.4) Per la proprietà riproduttiva della Gamma, S ~ Gamma(2,1/2) = χ24.
Siano Y1,…,Yn v.c. indipendenti e distribuite come Y e sia Tn = Y1 + … + Yn.
(3.5) Per la Legge dei grandi numeri, Tn / n converge in probabilità a
+∞
+∞
+∞
1
4 1 
4
E (Y ) = ∫ yψ ( y )dy = 4 ∫ 4 dx = −  3  = .
3  y 1
3
−∞
1 y