Prova scritta del 13/07/2010

CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
PROVA SCRITTA DEL 13/7/2010
Esercizio 1
Uno studente universitario va a lezione utilizzando un mezzo pubblico nel 75% dei giorni e la
propria auto in tutti gli altri giorni. Lo studente arriva in orario a lezione con probabilità 0.85
quando si serve del mezzo pubblico e con probabilità 0.95 quando usa l’auto. Definiti gli eventi
A = {lo studente usa l’Auto}, M = {lo studente usa il Mezzo pubblico},
O = {lo studente arriva in Orario},
(1.1) si calcoli la probabilità che lo studente arrivi in orario, motivando la risposta;
(1.2) si determini la probabilità che lo studente abbia utilizzato l’auto dato che è arrivato in orario,
motivando la risposta;
(1.3) si calcoli la probabilità che lo studente abbia utilizzato il mezzo pubblico dato che non è
arrivato in orario, motivando la risposta;
(1.4) si stabilisca se A e O sono indipendenti, motivando la risposta;
(1.5) si stabilisca se A e M sono indipendenti, motivando la risposta.
Soluzioni 1
Sono date P( A ) = 0.25, P( M ) = 0.75, P( O | A ) = 0.95 e P( O | M ) = 0.85.
(1.1) P( O ) = P( O | A ) P( A ) + P( O | M ) P( M ) = 0.2375 + 0.6375 = 0.875.
(1.2) P( A | O ) = P( O | A ) P( A ) / P( O ) = 0.2375 / 0.875 = 0.2714.
(1.3) P( M |O ) = [1 - P( O | M )] P( M ) / [1 - P( O )] = 0.1125 / 0.125 = 0.9.
(1.4) P( A | O ) > P( A ) ⇒ A e O non sono indipendenti.
(1.5) A e M sono incompatibili ⇒ A e M non sono indipendenti.
Esercizio 2
Si consideri un’urna contenente 10 palline, delle quali 2 verdi e 8 rosse.
Sia X la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 5
estratto con reinserimento dall’urna.
(2.1) Si specifichi la distribuzione della v.c. X (con particolare riferimento al valore dei
parametri che la caratterizzano) e si calcoli P(-0.1 < X < 1.1).
(2.2) Si ricalcoli P(-0.1 < X < 1.1) mediante un’opportuna approssimazione di Poisson per X e
si enunci la proprietà che giustifica tale approssimazione.
Sia Y la v.c. che rappresenta il numero di palline rosse estratte dall’urna prima di ottenere la prima
pallina verde, supponendo che le estrazioni avvengano sempre con reinserimento.
(2.3) Si specifichi la distribuzione della v.c. Y e si calcoli P(Y > 2).
(2.4) Si determinino il valore atteso e la varianza di Y.
Sia Z la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 5
estratto senza reinserimento dall’urna considerata.
(2.5) Si specifichi la distribuzione della v.c. Z (con particolare riferimento al valore dei
parametri che la caratterizzano) e si calcoli la probabilità che il campione contenga tutte le
palline verdi dell’urna.
Soluzione 2
Si consideri un’urna contenente 10 palline, delle quali 2 verdi e 8 rosse.
Sia X la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 6
estratto con reinserimento.
(2.1) X ha distribuzione Binomiale(n,θ) con n = 5 e θ = 1/5;
P(-0.1 < X < 1.1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.32768 + 0.4096 = 0.73728.
(2.2) Essendo X ≈ Poisson(λ) con λ = nθ = 1, P(-0.1 < X < 1.1) ≅ e-λ + e-λ λ = 0.3679 + 0.3679
= 0.7358; […].
Sia Y la v.c. che rappresenta il numero di palline rosse estratte dall’urna prima di ottenere la prima
pallina verde, supponendo che le estrazioni avvengano sempre con reinserimento.
(2.3) Y ha distribuzione Geometrica(θ) con θ = 1/5; P(Y > 2) = P(Y ≥ 3) = (1 − θ)3 = (4/5)3 =
0.512.
(2.4) E(Y) = (1−θ) / θ = 4 e Var(Y) = (1−θ) / θ2 = 20.
Sia Z la v.c. che rappresenta il numero di palline verdi presenti in un campione di numerosità 6
estratto senza reinserimento.
(2.5) Z ha distribuzione Ipergeometrica(n,K,N) con n = 5, K = 2 e N = 10;
 2  8  10  8 ⋅ 7 ⋅ 6 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 2
P(Z = 2) =      =
= = 0.2222.
3⋅ 2
5⋅ 4⋅3⋅ 2
9
 2  3   5 
Esercizio 3
Si consideri la funzione di probabilità della v.c. bidimensionale discreta (X,Y) definita dalla
tabella seguente.
Y=2 Y=4 Y=8
X=0
0.06
0.12
0.12
X=1
0.14
0.28
0.28
(3.1) Si determinino le distribuzioni delle due v.c. marginali.
(3.2) Si stabilisca se le v.c. X e Y sono indipendenti e/o identicamente distribuite, motivando le
risposte.
(3.3) Si calcolino la varianza di Y e P(2X < Y).
Siano X1 e X2 v.c. indipendenti e distribuite come X e sia S = X1 + X2.
(3.4) Si determini la distribuzione della v.c. S e si calcoli Cov(X1,S).
Siano Y1,…,Yn v.c. indipendenti e distribuite come Y e sia Tn = Y1 + … + Yn.
(3.5) Per n = 100 si calcoli P(500 < Tn < 550), giustificando la risposta con un opportuno
teorema (di cui si richiede l’enunciato completo di tutte le ipotesi).
Soluzione 3
(3.1) Le funzioni di probabilità delle v.c. marginali X e Y sono date, rispettivamente, da:
p(0) = 0.3 e p(1) = 0.7; q(1) = 0.2, q(2) = 0.4 e q(3) = 0.4.
(3.2) Si verifica facilmente che le v.c. X e Y sono indipendenti ma non identicamente
distribuite.
(3.3) Var(Y) = E(Y2) − E(Y)2 = 5.76, essendo E(Y) = 5.2 e E(Y2) = 32.8;
P(2X < Y) = 0.86.
Le v.c. X1 e X2 sono indipendenti e distribuite come X ∼ Binomiale(1,0.8).
(3.4) S = X1 + X2 ∼ Binomiale(2,0.7) per la proprietà riproduttiva della distribuzione Binomiale;
Cov(X1,S) = Cov(X1, X1) + Cov(X1, X2) = Var(X) = 0.21.
Le v.c. Y1,…,Yn sono indipendenti e distribuite come Y che ha media 5.2 e varianza 5.76.
(3.5) In virtù del Teorema centrale del limite Tn = Y1 + … + Yn ≈ N(5.2n,5.76n), cosicché per n
= 100 P(500 < Tn < 550) ≅ P(-0.8333 < Z < 1.25) = Φ(1.25) − Φ(-0.8333) = 0.8944 –
0.2023 = 0.6921.
Quesito
Si dimostri che se X è una v.c. dotata di momenti di ordine 1 e 2 finiti, allora risulta
( )
E X 2 ≥ 0 e E ( X ) ≤ E (X 2 ) .