istituzioni di matematiche

Programma del corso di
ISTITUZIONI DI MATEMATICHE
Corso di Laurea in Scienze Geologiche
a.a. 2010/11
- Prof.ssa Perugia Carmen –
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Cenni di teoria degli insiemi. Insiemi numerici: N, Z, Q. Il sistema dei numeri reali:
assiomi relativi alle operazioni, assiomi di ordinamento, assioma di completezza. Massimo e
minimo, estremi inferiore e superiore.
Elementi di algebra lineare. Grandezze scalari e vettoriali. Rappresentazione grafica e
cartesiana. Somma e differenza tra vettori. Moltiplicazione per uno scalare. Prodotto scalare:
proprietà, ortogonalità tra due vettori, proiezione di un vettore su di un altro, disuguaglianza
di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori, versori ortogonali ad un vettore dato nel piano.
Prodotto vettoriale: forma trigonometrica, caratterizzazione geometrica, regola della mano
destra, forma cartesiana, proprietà del prodotto vettoriale, applicazioni. Sistemi di equazioni
lineari: introduzione, interpretazione geometrica, esempi di sistemi equivalenti. Relazione
tra sistemi lineari e matrici: definizione di matrice, regola di Cramer (due equazioni in due
incognite). Determinante: caso delle matrici due per due e caso generale con "sviluppo di
Laplace" sulla prima riga. Forma ridotta a scalini. Classificazione dei sistemi lineari:
determinati, indeterminati e incompatibili. Confronto dei metodi di Gauss e Cramer.
Elementi di geometria analitica. Retta nel piano: retta passante per due punti assegnati,
retta passante per un punto e con dato coefficiente angolare, condizioni di parallelismo e di
perpendicolarità tra rette. Luoghi geometrici: la circonferenza, l’ellisse, la parabola,
l’iperbole.
Funzioni reali di variabile reale. Dominio, codominio. Funzioni iniettive, suriettive e
biettive. Funzioni monotone. Funzioni elementari: lineare, modulo, potenza, esponenziale e
logaritmo, trigonometriche.
Funzioni invertibili. Funzioni trigonometriche inverse.
Funzioni composte.
Successioni. Limiti di successioni: definizioni e prime proprietà. Esempi di successioni
convergenti, con limite infinito e che non ammettono limite. Successioni limitate e non
limitate: teorema sulle successioni limitate (dim.). Teorema di unicità del limite (dim.).
Teoremi di confronto: permanenza del segno (dim.) e teorema dei carabinieri (dim.).
Operazioni con i limiti, forme indeterminate. Limiti di rapporti tra polinomi. Limiti notevoli.
Successioni monotone: teorema sulle successioni monotone (dim. fac.). Il numero di
Nepero. Successioni estratte: limite di una estratta, teorema di Bolzano Weierstrass (dim.
fac.).
Limiti di funzioni. Definizione di limite di una funzione. Teorema di unicità del limite.
Teorema della permanenza del segno. Teoremi di confronto. Limiti ed operazioni: forme
indeterminate. Limiti notevoli. Teorema del limite di una funzione composta. Gerarchie di
infiniti e infinitesimi. Calcolo dei limiti di funzioni e applicazioni allo studio dei grafici di
funzioni. Asintoti orizzontali, verticali e obliqui. Limiti da destra e da sinistra. Punti di
discontinuità e loro classificazione.
Funzioni continue. Teorema di permanenza del segno. Teorema di Weierstrass. Teorema
degli zeri. Teorema dei valori intermedi (dim.). Teorema di continuità delle funzioni
monotone. Criterio di continuità della funzione inversa.
Calcolo differenziale. La derivata: interpretazione meccanica e geometrica. Definizione e
prime proprietà: se una funzione è derivabile è anche continua (dim.). Derivate delle
funzioni elementari: potenza, esponenziale, logaritmo, seno e coseno. Operazioni con le
derivate: derivata della somma, della differenza, del prodotto e del rapporto. Derivazione
delle funzioni composte. Equazione della retta tangente a una curva in un punto. Massimi e
minimi relativi. Teorema di Fermat (dim.). Teorema di Rolle (dim.). Teorema di Lagrange
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(dim.) e conseguenze: criteri di monotonia (dim.), caratterizzazione delle funzioni costanti
(dim.). Regole di de l’Hopital: risoluzione di alcune forme indeterminate. Concavità e
convessità. Condizione sufficiente per gli estremi relativi. Cenni sulla formula di Taylor con
resto di Lagrange e con resto di Peano. Studi di funzioni.
Calcolo integrale. Definizione di integrale definito in termini delle somme di Riemann. E
sua interpretazione geometrica. Proprietà elementari degli integrali: additività, linearità,
monotonia. Teorema della media integrale (dim.). Primitiva di una funzione: definizione e
caratterizzazione (dim.). Il teorema fondamentale del calcolo integrale (dim.). La formula
fondamentale del calcolo integrale (dim.). Calcolo delle primitive delle funzioni elementari:
potenza, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche. Integrali quasi immediati.
Metodi di integrazione per decomposizione in fratti semplici, per parti, per sostituzione.
Area del rettangoloide relativo ad una funzione continua e positiva in un intervallo
compatto.
Riferimenti bibliografici:
P. Marcellini – C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Uno, Liguori ed.
S. Salsa – A. Squillati, Esercizi di Matematica vol.1, Zanichelli ed.
P. Marcellini – C. Sbordone, Esercizi di Matematica vol.1 (parte I e II), Liguori ed.
A. Alvino - L. Carbone – G. Trombetti, Esercitazioni di Matematica vol. 1 (parte I e II), Liguori ed.
M. Bramanti – C. D. Pagani – S. Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli.
D. Benedetto – M. Degli Esposti – C. Maffei, Matematica per le scienze della vita, Casa Editrice
Ambrosiana.