Valutazione in tempo continuo (formula di Black
e Scholes)
Federico Marchetti (Politecnico di Milano)
Dipartimento di Economia e Produzione 5/6/2000
1
Calcolo stocastico
Ci limitiamo al caso unidimensionale, ma le formule si trasportano tutte al
caso n−dimensionale con poche variazioni. Le dimostrazioni rigorose (che non
diamo) sarebbero in generale più complesse, ma, salvo alcune questioni molto
delicate (p.e., alcuni comportamenti alla frontiera, ovvero il caso di coefficienti
molto poco regolari), si fanno senza problemi.
Dovremo considerare più di una probabilità P sullo stesso spazio campione
(Ω, F). Equivalentemente P è chiamata una misura ( sottinteso: di probabilità)
Consideriamo l’equazione di un processo di Markov discreto
(n)
S(tk ) − S(tk−1 ) = b (S(tk−1 )) (tk − tk−1 ) + c (S(tk−1 )) ξk
dove abbiamo introdotto un fattore (tk −tk−1 ) per controllare il limite tk −tk−1 =
T
n → 0.
1.1
Il processo di Wiener
P
(n)
(n)
La successione i.i.d. ξk avrà (CLT) media zero (perché
ck ξk sia una marT
tingala), e varianza che va a zero per n = ∆t
→ ∞. In effetti, per far funzionare
2 √ 2
il CLT la varianza dovrà essere dell’ordine di √1n ∼
∆t .
Allora si vede che
X
j
j
(n)
M
T =
ξi
n
i=1
tende (in distribuzione) ad un processo a tempo e stati continui W (t) tale che
1. W (t) è una funzione continua di t
2. EW (t) = 0
3. W (t) − W (s) è indipendente da W (u) − W (v) se t ≥ s ≥ u ≥ v
1
4. W (t) − W (s) è distribuito secondo una normale di media nulla e varianza
t−s
Per 1 e 3, W risulta una martingala continua ed un processo di Markov. Un
tale processo è detto un processo di Wiener o un moto browniano.
1.2
L’integrale di Itô
L’analogo dell’integrale stocastico a tempo discreto sarà quindi un processo
ottenuto come limite di somme integrali del tipo
n
X
i=1
c(tk−1 ) [W (tk ) − W (tk−1 )]
dove c(t) è un processo ricostruibile con le informazioni al tempo t (si dice che
il processo è adattato).
Che l’espressione precedente abbia un limite non è del tutto ovvio (e il limite
esiste in un senso particolare: in media quadratica e in probabilità). La teoria
rigorosa è dovuta a K.Itô (anni ’40 e ’50). Il limite è denotato con
Z
t
c(s)dWs
0
2
Ma un altro aspetto particolare è che, poiché E [W (tk ) − W (tk−1 )] = tk −
tk−1 , gli incrementi di questo integrale
√ non sono dell’ordine di ∆t, come per gli
integrali usuali, ma dell’ordine di ∆t.
1.3
Equazioni differenziali stocastiche
L’equazione alle differenze precedente, mandando ∆t → 0 diventa, almeno formalmente, una equazione differenziale stocastica:
dS(t) = b (S(t)) dt + c(S(t))dWt
con un’opportuna condizione iniziale. Per essere precisi, l’equazione andrebbe
scritta in forma integrale:
Z t
Z t
S(t) = S(0) +
b (S(s)) ds +
c (S(s)) dWs
0
0
Si può controllare che se i coefficienti b, c soddisfano qualche condizione (p.e.
sono funzioni regolari e limitate o con crescita la più lineare), l’equazione ammette una soluzione unica.
2
1.4
La formula di Itô
Se ora consideriamo una funzione di S e proviamo a vedere come si evolve nel
tempo avremo, formalmente,
df (S(t)) =
df (S(t))
1 d2 f (S(t))
2
2
dS +
(dS) + o (dS)
dS
2 dS 2
dove dS = bdt + cdW . Sviluppando
2
2
2
(dS) = b2 (dt) + 2bcdtdW + c2 (dW )
In un simile sviluppo,√dobbiamo tenere i termini fino all’ordine dt. Ma
abbiamo visto che dW ∼ dt per cui, alla fine, restiamo con
df (S(t))
b (S(t))
df (S(t)) =
dS
1 d2 f (S(t)) 2
+
c (S(t)) dt +
2
dS 2
df (S(t))
c (S(t)) dWt
+
dS
(formula di Itô).
La “tabella delle moltiplicazioni” seguente permette i calcoli formali in qualunque
dimensione:
dt
dWt1
dWt2
dt
0
0
0
dWt1
0
dt
ρdt
dWt2
0
ρdt
dt
dove ρdt = E dWt1 dWt2 è la correlazione tra i due Browniani. Nel caso di
Browniani indipendenti ρ = 0.Nel caso in cui Wt2 = aWt1 + bVt con Vt indipendente da W 1 ρdt = adt, ecc.
Un caso particolare importante è
dX = bdt + σdW 1
dY = adt + cdW 2
d (XY ) = XdY + Y dX + dXdY
= XdX + Y dX + cσρdt
(integrazione per parti).
Nel caso f dipenda esplicitamente da t, occorre aggiungere un termine pari
a ∂f
∂t dt
In altre parole, la “chain rule” (derivazione di funzioni composte) contiene
un termine inaspettato (“correzione di Itô”).
3
1.5
La formula di Feynman-Kac
Sfruttando la formula di Itô, una funzione che soddisfi l’equazione alle derivate
parziali
∂u(x, t)
∂u c2 (x) ∂ 2 u
+ b(x)
+
=0
∂t
∂x
2 ∂x2
u(x, T ) = u0 (x)
Lt u =
soddisfa
E [u (S(T ), T ) |S(t) = x ] = u (x, t) + E
E [u0 (S(T )) |S(t) = x ] = u(x, t)
Z
T
Ls u (S(s), s) ds
t
che dà una forma “esplicita” in termini del processo S:
dS (s) = b (S (s)) ds + σ (S (s)) dWs
S (t) = x
s≥t
per u, soluzione della EDP.
Il valore u(x, t) è la media del valore finale al tempo T mediato
su tutte le traiettorie di S che passano per il punto x al tempo t
Si può generalizzare un poco: applicando ancora la formula di Itô,
h RT
i
v(x, t) = E e t V (S(s))ds u0 (S(T )) S(t) = x
soddisfa
Lt v − V (x)v = 0
v(T, x) = u0 (x)
(formula di Feynman-Kac). Infatti
h
i
Rs
d v (s, S (s)) e− t V (S(u))du
Rs
= e− t V (S(u))du [Ls v (s, S (s))
−V (S (s)) v (s, S (s)) ds] + dMs
Integrando tra t e T
h RT
i
v(t, x) = E e− t V (S(s))ds u0 (S(T )) S(t) = x
4
1.6
Il modello di Black-Scholes
Per il modello CRR l’equazione continua corrispondente è
dS(t) = S(t)µdt + S(t)σdWt
µ è il rendimento medio (sotto la misura “fisica”) del titolo rischioso e σ misura
l’intensità del “rumore” (“volatilità”).
Il modello di Black-Scholes si risolve esplicitamente.
Riscriviamolo come
dS(t)
= µdt + σdWt
S(t)
Per la formula di Itô,
2
dS(t) 1 (dS(t))
−
=
S(t)
2 S 2 (t)
1
= µdt + σdWt − σ 2 dt
2
d log S(t) =
log S(t) − log S(0) =
σ2
µ−
2
S(t) = S(0)e
t + σW (t)
2
µ− σ2
t+σW (t)
e il prezzo ha distribuzione log-normale.
Si verifica subito che
ES(t) = S(0)eµt
·
(la media soddisfa un’equazione del tipo m = µm). Ma si vede anche che se
2
µ < σ2 S(t) → 0 poiché si può dimostrare che per t → ∞
|Wt | ∼
p
t log log t << t
La densità della
distribuzione
di S(t) è facilmente calcolata, visto che S(t) =
exp Zt con Zt ∼ N
µ−
σ2
2
t, σ 2 t . Per esempio,
Z
f (ex )φt (x)dx
1 x−µ+
1
φt (x) = √
exp −
σ2
2πσ 2 t
2
E [f (S(t))] =
5
σ2
2
2
t
2
Valutazione di opzioni nel modello di BlackScholes
Illustriamo la valutazione per non arbitraggio di titoli derivati sull’esempio
più semplice e classico. Data una opzione europea con scadenza T e pay+
off C(T ) (per una call con strike K, C(T ) = (S (T ) − K) , per una put
+
C(T ) = (K − S (T )) , ecc.), volendo valutarla, consideriamo un portafoglio
composto, ad ogni t, dall’opzione C(t) e una quota di sottostante αt S(t). La
variazione di valore tra t e t + dt sarà
dπt = αt dS(t) + dC(t)
(l’assenza del termine dαt è la condizione di autofinanziamento ed è meglio intuita pensando il termine come limite del caso discreto αtk−1 (S (tk ) − S (tk−1 ))).
Cerchiamo di rendere il rendimento del portafoglio pari a quello del titolo
senza rischio. Supponiamo che C(t) ≡ C(t, S(t)):
dπt
= αdS(t) +
∂C
∂C
1 ∂2C 2 2
+
µS(t) +
σ S (t) dt +
∂t
∂S
2 ∂S 2
∂C
σS(t)dWt
∂S
= (αS(t) + C(t)) rdt
+
Esplicitando
∂C
∂C
µS(t)dt + α +
σS(t)dWt +
α+
∂S
∂S
∂C
1 ∂2C 2 2
+
+
σ S (t) − αrS(t) − rC(t) dt
∂t
2 ∂S 2
=0
Di conseguenza
α=−
∂C
∂S
e
∂C
1 ∂2C 2 2
∂C
+
rS(t) +
σ S (t) − rC = 0
∂t
∂S
2 ∂S 2
L’equazione per C ha soluzione
h
i
E e−r(T −t) C(T ) |S(t)
rispetto ad un processo che soddisfa però
dS = rSdt + σSdWt
6
Se consideriamo il processo del titolo senza rischio
dB(t) = rB(t)
B(0) = 1
B(t) = ert
ne consegue che il processo Ŝ(t) =
S(t)
B(t)
soddisfa
dŜ(t) = σ Ŝ(t)dt
ed è quindi una martingala.
Un risultato identico si ottiene se si cerca di duplicare C(T ) con un portafoglio
costruito con il titolo senza rischio e il sottostante (hedging portfolio).
Le due dimostrazioni equivalgono a considerare il punto di vista dell’acquirente
o del venditore dell’opzione. Il fatto che i due risultati coincidono è dovuto
alla completezza di un mercato con un solo titolo rischioso ed un solo moto
Browniano. A sua volta questo fatto è essenzialmente dovuto al teorema di
rappresentazione delle martingale:
Ogni martingala adattata alla filtrazione generata da Wt si può
rappresentare come un integrale stocastico rispetto a Wt
Quindi la valutazione della opzione va fatta prendendo il valore atteso del
valore finale non rispetto al processo “fisico”, ma rispetto ad un processo (fittizio)
che fa evolvere il prezzo (attualizzato) del sottostante come una martingala.
Un teorema fondamentale afferma che (con qualche limitazione tecnica) le
distribuzioni del processo fisico e di quello fittizio sono collegate. In particolare,
se le chiamiamo rispettivamente P e Q
E Q [X] = E P [ΛX]
dove
Z
Λ = exp
σ −1 S −1 (r − b (S(s))) dWs
Z
1
2
−2 −2
−
σ S (r − b (S(s))) ds
2
(teorema di Girsanov). La misura Q è detta misura di martingala equivalente
(EMM) e il cosiddetto fundamental theorem of pricing afferma essenzialmente
che ogni valutazione per non arbitraggio va fatta prendendo valori attesi rispetto
ad una misura di martingala equivalente. La non esistenza di una tale misura
equivale alla presenza di arbitraggi.
La misura Q è detta equivalente perché (dal teorema di Girsanov),
P [A] = 0 ⇔ Q [A] = 0
7
cioè sotto entrambi i modelli gli eventi “impossibili” sono gli stessi.
Se ciò non fosse, è chiaro che si avrebbero difficoltà nell’interpretazione
dei modelli, visto che eventi “scomparirebbero” o “comparirebbero”
a seconda della rappresentazione del processo sottostante.
8
