meccanica razionale

Note per il corso di
MECCANICA RAZIONALE
—————
A.A. 2014/2015
A. Ponno
28 gennaio 2015
2
Indice
1 Principi della meccanica newtoniana
1.1 Concetti di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Principi della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Esempi di dinamica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Punto materiale non soggetto a forze . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Punto materiale nel campo di gravità . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Particella carica in un campo elettrico uniforme e costante .
1.3.4 Punto attaccato ad una molla ideale . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Particella carica in un campo magnetico uniforme e costante
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2 Introduzione ai vincoli
2.1 Meccanica del punto vincolato . . . . .
2.2 Attrito statico . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Attrito dinamico . . . . . . . . . . . .
2.4 Reazioni nei punti di “fissaggio” . . . .
2.5 Reazioni in punti mobili di ancoraggio
2.6 Reazioni di appoggio . . . . . . . . . .
2.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Oscillazioni di sistemi di punti materiali
4.1 Piccoli spostamenti di sistemi di punti attorno all’equilibrio . . . . . . . . . . . .
4.2 Studio di un caso “semplice” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie
3.1 Concetti di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Equazioni del primo ordine: n = 1 . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Equazioni del secondo ordine: n = 2 . . . . . . . . . . . .
3.2 EDO lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Proprietà generali delle EDO lineari a coefficienti costanti .
3.2.2 Soluzione generale dell’omogenea . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Oscillatore armonico smorzato e forzato . . . . . . . . . . .
3.2.4 Battimenti e risonanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
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4
5 Equazioni cardinali
5.1 Prima equazione cardinale . . .
5.2 Seconda equazione cardinale . .
5.3 Uso delle equazioni cardinali . .
5.4 Equazioni cardinali della statica
5.5 Sistemi di forze applicate . . . .
5.6 Solidi in appoggio ideale . . . .
5.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . .
INDICE
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6 Geometria delle masse I: baricentro
59
6.1 Proprietà di composizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2 Simmetria materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7 Lavoro ed energia
7.1 Teorema dell’energia cinetica . . . . . . .
7.2 Forze conservative . . . . . . . . . . . . .
7.3 Vincoli ideali: principio dei lavori virtuali
7.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Cinematica relativa e rigida
8.1 Legge di Newton in un sistema non inerziale
8.2 Forze apparenti e loro effetti . . . . . . . . .
8.3 Cinematica rigida . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Moto rigido libero . . . . . . . . . . .
8.3.2 Moto rigido con punto fisso . . . . .
8.4 Forma e proprietà della matrice di inerzia .
8.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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83
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9 Geometria delle masse II: momenti di inerzia
9.1 Teorema di Huygens-Steiner . . . . . . . . . .
9.2 Simmetrie materiali e assi principali . . . . . .
9.3 Corpi piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Capitolo 1
Principi della meccanica newtoniana
1.1
Concetti di base
La meccanica Newtoniana è la scienza che studia il movimento dei corpi quando siano specificate
le interazioni tra di essi. La nozione più elementare di corpo è quella di punto materiale.
Per punto materiale si intende un qualsiasi corpo le cui dimensioni siano trascurabili (cioè
significativamente più piccole) rispetto a quelle caratteristiche del problema. Ad esempio, una
nave in mezzo al mare può essere (e di fatto viene) considerata un punto materiale se si deve
determinare la sua posizione, posizione che viene concretamente determinata tramite GPS
da due numeri: la latitudine e la longitudine. Chiaramente, la stessa nave non può essere
trattata come un punto materiale durante le manovre in porto. Allo stesso modo, i corpi celesti
soggetti alla legge di gravitazione newtoniana possono essere trattati come puntiformi se si vuole
caratterizzarne il moto orbitale (ad esempio il moto di rivoluzione della terra intorno al sole o
della luna intorno alla terra; notare che le orbite ellittiche nei due casi hanno semiassi maggiori
molto più grandi dei raggi dei corpi coinvolti). D’altra parte, se ad esempio si vogliono studiare
le maree terrestri (dovute all’azione gravitazionale congiunta di Luna e Sole sulla Terra), la
Terra deve essere trattata come uno sferoide fluido, sebbene il fenomeno fisico sia dovuto alla
stessa legge di gravitazione che causa i moti orbitali.
I corpi (approssimabili o meno come punti materiali) sono caratterizzati da alcune grandezze
fisiche intrinseche, fondamentali nella determinazione del moto del punto stesso. La prima e più
importante di queste è la massa, definita da Newton stesso1 come la quantità di materia in esso
contenuta. Di fatto una tale definizione non spiega cosa è la massa, ma solo cosa è il rapporto
tra le masse di due corpi. Oggi sappiamo che la materia ha struttura discreta ed è costituita,
nello stato ordinario (cioè aggregato: solido liquido o gassoso), da atomi e/o da molecole, che
sono aggregati di atomi. L’atomo a sua volta ha una struttura semplice: un nucleo centrale
costituito da protoni e neutroni “circondato” da tanti elettroni quanti sono i protoni nel nucleo.
La massa di un elettrone è di circa 10−27 grammi, quella del protone e del neutrone è tre ordini
di grandezza maggiore, circa 10−24 grammi. Ne segue che la massa degli atomi, delle molecole
e dei corpi macroscopici è determinata quasi interamente dalla somma delle masse dei protoni
e dei neutroni contenuti nei nuclei degli atomi costituenti. Dunque una moderna definizione di
1
“Principi Matematici di Filosofia Naturale”, parte generale, Definizione I.
5
6
CAPITOLO 1. PRINCIPI DELLA MECCANICA NEWTONIANA
massa richiede di spiegare cosa è la massa delle particelle elementari e perché alcune particelle
hanno massa e altre no. Tali quesiti sono oggetto di ricerca attuale nella fisica delle particelle
elementari2 . Un’altra proprietà intrinseca delle particelle elementari e quindi di tutti i corpi
è la carica elettrica. La carica di un corpo è determinata dalla somma (con segno) delle
cariche della particelle elementari che lo costituiscono. In particolare, gli elettroni hanno carica
negativa −e e i protoni hanno carica +e, mentre i neutroni hanno carica elettrica nulla. Dunque
gli atomi sono globalmente neutri, cosı́ come le molecole. I corpi macroscopici, a meno che non
siano soggetti a trasferimenti di cariche elettriche in eccesso o difetto, sono globalmente neutri,
con buonissima approssimazione. Questa è la ragione per cui a livello macroscopico l’interazione
elettrostatica “a distanza” tra i corpi è normalmente irrilevante rispetto a quella gravitazionale
(si sottolinea “a distanza” perché nel caso di contatto tra corpi le interazioni elettrostatiche
danno luogo a forze macroscopicamente rilevanti; vedi più avanti). Cosa sia la carica elettrica,
perché alcune particelle hanno carica e altre no, perché la carica occorra in natura solo in
multipli di carica dell’elettrone o frazioni specifiche di questa sono di nuovo quesiti oggetto di
ricerca attuale nella fisica delle particelle elementari.
La posizione di un punto materiale che si muove nello spazio euclideo D-dimensionale ED
(D = 1, 2, 3) è data assegnando una funzione γ : t 7→ ~x(t) che ad ogni istante di tempo t che
varia in un dato intervallo reale associa il vettore ~x(t) ∈ ED , posizione del punto al tempo
t. Tale funzione è detta “curva” nello spazio D-dimensionale. In meccanica ci si riferisce a
tale curva anche come alla “legge oraria” del punto. La curva γ è detta regolare se tutte le
componenti del vettore ~x(t) sono regolari, ad esempio almeno derivabili una o due volte con
continuità. La velocità media del punto tra gli istanti di tempo t e t + ∆t è definita dalla
formula
~x(t + ∆t) − ~x(t)
∆~x
≡
.
∆t
∆t
È naturale allora considerare il limite di tale espressione per ∆t → 0 che, se esiste, definisce la
velocità (istantanea) del punto materiale al tempo t:
~v (t) =
d~x(t)
~x(t + ∆t) − ~x(t)
= ~x˙ (t) ≡ lim
.
∆t→0
dt
∆t
(1.1)
Si osservi che ~v , d~x/dt e ~x˙ sono tutte notazioni equivalenti per la stessa quantità, definita come il
limite della velocità media. Si vede facilmente che il vettore ~v (t), se non è identicamente nullo, è
tangente alla curva γ nel punto ~x(t). Concretamente, il calcolo di ~v (t) si effettua per P
componenti.
Infatti, in dimensione D = 3 ad esempio, poiché ~x(t) = x1 (t)ê1 +x2 (t)ê2 +x3 (t)ê3 = 3j=1 xj (t)êj
(ê1 , ê2 ed ê3 sono i versori della base canonica di E3 ), si ha


3
3
ẋ1 (t)
X
X
∆xj (t)
~v (t) =
lim
êj =
ẋj (t)êj =  ẋ2 (t)  .
∆t→0
∆t
j=1
j=1
ẋ3 (t)
Si procede analogamente in dimensione D = 2, 1. In questo modo, data la curva γ, resta definita
un’altra funzione a valori vettoriali t 7→ ~v (t). Si può dunque considerare il tasso di variazione
2
Vedi ad esempio http://en.wikipedia.org/wiki/Higgs boson; su tale tematica è stato assegnato il premio
Nobel per la Fisica nel 2013.
1.1. CONCETTI DI BASE
7
istantanea della velocità, cioè l’accelerazione (istantanea) del punto materiale al tempo t:
~a(t) =
~v (t + ∆t) − ~v (t)
d~v (t)
= ~v˙ (t) ≡ lim
.
∆t→0
dt
∆t
Si faccia caso alle notazioni equivalenti che verrano usate per indicare l’accelerazione: ~a, d~v /dt,
~v˙ o, con riferimento alla posizione: d2~x/dt2 e ~x¨.
Esempio 1.1. Moto rettilineo uniforme: ~x(t) = ~x0 + ~v0 t, con ~x0 e ~v0 vettori costanti (indipendenti dal tempo). In questo caso si vede facilmente (farlo e convincersene in tutti i modi
possibili) che ~v (t) = ~v0 , cioè la velocità istantanea del punto è indipendente dal tempo e pari a
~v0 . Inoltre ~a(t) = ~0, cioè l’accelearazione è identicamente nulla. Vedremo che tale tipo di moto
caratterizza la dinamica dei punti materiali isolati rispetto a particolari sistemi di riferimento.
Esempio 1.2. Moto uniformemente accelerato: ~x(t) = ~x0 +~v0 t+ 12 ~a0 t2 , con ~x0 , ~v0 e ~a0 costanti.
In questo caso si verifica facilmente (farlo) che ~v (t) = ~v0 +~a0 t e cioè la velocità varia linearmente
nel tempo. L’accelerazione è invece ~a(t) = ~a0 , cioè costante. Vedremo che compie questo tipo
di moto un punto materiale nel campo di gravità oppure un punto materiale carico in un campo
elettrico uniforme e costante.
Esempio 1.3. Moto elicoidale:

 

x1 (t)
R cos(ωt)
~x(t) =  x2 (t)  =  R sin(ωt)  .
x3 (t)
v0 t
Si noti che la proiezione del moto sul piano x1 , x2 è di tipo circolare uniforme: x21 (t)+x22 (t) = R2
e l’angolo θ(t) = ωt avanza a velocità costante, perché θ̇ = ω; il periodo di tale moto circolare è
2π/ω. La proiezione del moto lungo l’asse x3 è invece di tipo rettilineo uniforme: x3 (t) = v0 t,
ẋ3 = v0 . Dunque il punto materiale gira attorno all’asse x3 mentre sale con velocità costante,
percorrendo un’elica di passo x3 (2π/ω) − x3 (0) = 2πv0 /ω. La velocità e l’accelerazione del moto
elicoidale sono rispettivamente


−ωR sin(ωt)
~v (t) =  ωR cos(ωt)  ,
v0


−ω 2 R cos(ωt)
~a(t) =  −ω 2 R sin(ωt)  .
0
Si noti che la proiezione di ~v sul piano x1 , x2 è ortogonale alla proiezione della posizione ~x,
mentre la proiezione dell’accelerazione ~a è antiparallela a quest’ultima. Si muove di moto
elicoidale una particella carica in un campo magnetico uniforme e costante.
8
1.2
CAPITOLO 1. PRINCIPI DELLA MECCANICA NEWTONIANA
Principi della dinamica
Nel seguito per sistema di riferimento si intenderà un sistema di coordinate fissato, tipicamente
solidale a qualche corpo, che serva a misurare la posizione dei punti materiali nello spazio fisico.
Si noti che nella pratica, non sempre tale sistema è costituito da una terna di assi mutuamente
ortogonali. Ad esempio, per misurare la posizione di un punto (aereo, satellite ecc..) rispetto
alla Terra si usa un sistema di linee coordinate ortogonali ma curvilinee: la latitudine, la
longitudine e l’altitudine o quota (fare un disegno e rendersene conto).
I Principi della dinamica del punto materiale e dei sistemi di punti materiali, che vengono
enunciati e commentati nel seguito, sono le ipotesi fondamentali alla base di tutta la meccanica
e poggiano tutti, in ultima analisi, su evidenze sperimentali.
Principio 1 (principio di inerzia). Esiste almeno un sistema di riferimento rispetto al quale
un punto materiale isolato ha accelerazione nulla.
Un modo equivalente di formulare il precedente Principio è di dire che esiste un riferimento
privilegiato nel quale un punto isolato persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo
uniforme. Abbiamo visto sopra che i moti rettilinei uniformi hanno accelerazione nulla; vedremo
sotto che vale anche il viceversa: i moti con accelerazione nulla sono rettilinei uniformi.
Per punto isolato si immagina, a livello ideale, di avere un solo punto nell’Universo. In
pratica si considera un oggetto sufficientemente lontano da altri oggetti o sistemi con i quali esso
possa interagire. Un buon esempio è quello di un satellite per esplorazioni spaziali che viaggia
nello spazio vuoto, lontano da eventuali corpi celesti. In tale caso il riferimento privilegiato in
questione è quello solidale con le stelle molto lontane, le cosı́ dette “stelle fisse”.
Osserviamo che se esiste un riferimento privilegiato che soddisfa il primo Principio, allora
ne esistono infiniti: tutti quelli che si muovono di moto rettilineo e uniforme rispetto ad esso.
Infatti, se S è il sistema privilegiato ed S 0 è un sistema che si muove di moto rettilineo uniforme
rispetto ad S con velocità ~v0 costante e arbitraria, allora le posizioni ~x(t) rispetto ad S e ~x0 (t)
rispetto ad S 0 di un punto materiale sono legate tra loro dalla relazione
~x0 (t) = ~x(t) − ~v0 t
(1.2)
(si osservi che, senza perdita di generalità, si scelgono le origini ~0 di S, ~00 di S 0 e lo zero dei
tempi in modo tale che ~0 = ~00 per t = 0). Ne segue, derivando due volte la (1.2), che ~a0 = ~a
e dunque se ~a = ~0 anche ~a0 = ~0. La classe di equivalenza dei sistemi che si muovono di moto
rettilineo e uniforme uno rispetto all’altro e che contiene il sistema privilegiato di cui al primo
principio è detta classe dei sistemi di riferimento inerziali .
Per un punto materiale non isolato, che sia cioè in presenza di un sistema S di altri punti
o corpi estesi, si suppone che l’azione del sistema su di esso si esplichi tramite un vettore F~ che
chiamiamo forza esercitata da S sul punto materiale, o più semplicemente forza agente sul
punto materiale. Tale definizione di forza è certamente vaga, ed è completata dal fondamentale
Principio seguente.
Principio 2 (legge di Newton). In un sistema di riferimento inerziale, un punto materiale di
massa m, non isolato e soggetto ad una forza F~ , si muove secondo la legge
m~a = F~ .
(1.3)
1.2. PRINCIPI DELLA DINAMICA
9
In pratica la forza F~ è quel vettore che, se noto, permette di determinare il moto del punto
materiale risolvendo l’equazione (1.3).
Esempio 1.4. Supponiamo che sia assegnata la funzione t 7→ F~ (t), cioè che la forza agente sul
punto sia nota ad ogni istante di tempo. Allora, integrando l’equazione di Newton m~x¨(t) = F~ (t)
rispetto al tempo tra 0 e t si ottiene (verificarlo)
Z
1 t~
~v (t) = ~v (0) +
F (s) ds ,
(1.4)
m 0
e integrando ancora una volta (tra 0 e t) si determina la posizione:
Z Z
1 t s~
F (r) dr .
~x(t) = ~x(0) + ~v (0)t +
m 0 0
(1.5)
Si osservi che nel caso particolare di forza F~ identicamente nulla si ottiene che un punto con
accelerazione nulla si muove di moto rettilineo e uniforme. Se invece F~ è costante si ottiene
un moto uniformemente accelerato (verificare).
In generale la forza F~ non è nota come funzione del tempo, ma, tipicamente, è nota la sua
dipendenza dalla posizione, dalla velocità del punto e dal tempo. In tale caso l’equazione di
Newton (1.3) non si risolve banalmente come nell’esempio precedente con due integrazioni.
Una volta stabilite le prime ipotesi di lavoro per la dinamica di un singolo punto materiale,
si deve passare a considerare i sistemi di punti materiali. Il caso interessante più elementare
è ovviamente quello di un sistema isolato costituito da due punti materiali P e Q di massa
rispettivamente mP ed mQ in un sistema di riferimento inerziale. Dal secondo Principio segue
che per entrambi i punti deve valere la legge di Newton (1.3), ovvero
mP ~aP = F~P Q
,
(1.6)
mQ~aQ = F~QP
dove F~P Q è la forza che Q esercita su P , mentre F~QP è la forza che P esercita su Q. L’ipotesi di
lavoro fondamentale, contenuta nel Principio che segue, è che le due forze non possono essere
indipendenti.
Principio 3 (principio di azione e reazione). Dati due punti materiali isolati P e Q, in un
sistema di riferimento inerziale, la forza che Q esercita su P è uguale e contraria alla forza
che P esercita su Q, ed è diretta lungo la retta per P e Q, cioè:
1. F~P Q = −F~QP ;
−→
2. F~P Q k P Q.
Il terzo Principio della dinamica, appena formulato, si basa sul fatto che le due propiretà che
lo caratterizzano sono verificate dalle due forze fondamentali che agiscono su corpi massivi e/o
carichi, cioè la forza di attrazione gravitazionale (scoperta da Newton) e la forza di interazione
elettrostatica (scoperta da Coulomb). Infatti, dati due punti materiali P e Q di massa mP ed
10
CAPITOLO 1. PRINCIPI DELLA MECCANICA NEWTONIANA
mQ , carica qP e qQ , e posizione ~xP e ~xQ , la forza di attrazione gravitazionale che Q esercita su
P è data da
mP mQ
(gr)
F~P Q = −G
(~xP − ~xQ ) ,
(1.7)
|~xP − ~xQ |3
dove G è una costante, detta “costante di gravitazione universale”, il cui valore dipende dal
sistema di unità di misura. La forza elettrostatica che Q esercita su P è invece data da
(el)
F~P Q = k
qP qQ
(~xP − ~xQ ) ,
|~xP − ~xQ |3
(1.8)
dove anche k è una costante dipendente dalle unità di misura scelte. Si noti che la forza
(1.8) è repulsiva per cariche di segno uguale (qP qQ > 0) e attrattiva per cariche di segno
opposto (qP qQ < 0). Osserviamo che le altre due interazioni fondamentali note in Natura,
ovvero l’interazione nucleare debole (responsabile di alcuni fenomeni radioattivi) e quella forte
(responsabile della struttura interna dei protoni e dei neutroni e della coesione nucleare), sono
sostanzialmente non modellizabili in termini di forze, nonché irrilevanti al livello macroscopico
di cui si occupa la meccanica classica.
Una volta stabilite le ipotesi relative alle coppie di punti, si deve passare a trattare i sistemi
isolati costituiti da n (≥ 2) punti materiali. In questo caso sappiamo che per ogni punto del
sistema vale la legge di Newton (1.3). Dunque
mi~ai = F~i , i = 1, 2 . . . , n ,
(1.9)

m1~a1 = F~1



 m ~a = F~
2 2
2
..

.



mn~an = F~n
(1.10)
ovvero, per esteso,
(si noti che in questo caso i punti materiali del sistema in esame sono numerati da 1 a n). La
seguente ipotesi sulla forma della forza F~i esercitata sull’i-esimo punto dai rimanenti n − 1 ha
carattere essenzialmente sperimentale.
Principio 4 (principio di sovrapposizione delle forze). In un sistema di riferimento inerziale,
dato un sistema isolato costituito da n punti materiali, la forza cha agisce sull’i-esimo punto è
la somma delle forze che ognuno dei restanti n − 1 punti esercita su di esso:
F~i =
n
X
F~ij ,
(1.11)
j=1
j6=i
dove ognuna delle F~ij (la forza che il j-esimo punto esercita sull’i-esimo) soddisfa il principio
di azione e reazione: F~ij = −F~ji e F~ij k ~xi − ~xj .
Dunque nei sistemi isolati i punti materiali interagiscono a coppie.
1.2. PRINCIPI DELLA DINAMICA
11
Esempio 1.5. Le equazioni di Newton per il sistema “Terra”, “Luna”, “Sole”, pensato come
isolato, sono

~
xT −~
xS
~
xT −~
xL

 mT ~aT = −GmT mS |~xT −~xS |3 − GmT mL |~xT −~xL |3




−~
xT
−~
xS
− GmL mT |~x~xLL−~
mL~aL = −GmL mS |~x~xLL−~
.
xS |3
xT |3





 m ~a = −Gm m ~xS −~xT − Gm m ~xS −~xL
S S
S T |~
S L |~
xS −~
xT |3
xS −~
xL |3
Una ulteriore ipotesi sulla struttura delle forze nei sistemi isolati è la seguente.
Principio 5 (principio di determinismo newtoniano). In un sistema di riferimento inerziale, le
forze agenti su ciascuno dei punti materiali di un sistema isolato sono funzioni note delle posizioni e delle velocità di tutti i punti del sistema, ed eventualmente del tempo, e non dipendono
da derivate della posizione di ordine maggiore o uguale al secondo:
F~i = F~i (~x1 , . . . , ~xn ; ~v1 , . . . , ~vn ; t) .
Questa ipotesi, in linguaggio moderno, equivale ad assumere che, nota la dipendenza delle
forze dai suoi argomenti, le equazioni di Newton mi~ai = F~i , i = 1, . . . , n, costituiscono un
sistema di equazioni differenziali ordinarie che può essere risolto in linea di principio per determinare la posizione di tutti i punti del sistema a qualsiasi istante di tempo, futuro o passato, se
sono assegnate le posizioni e le velocità di tutti i punti ad un fissato istante di tempo. Per capire
facendo un esempio, si consideri in dimensione uno l’equazione mẍ = f (x, ẋ, t). Supponiamo
note le quantità x(0) ≡ x0 e ẋ(0) ≡ v0 . Allora, se t è sufficientemente piccolo, si può espandere
x(t) ad un ordine finito qualsiasi, ottenendo
1
1
f (x0 , v0 , 0)t2 +
fx (x0 , v0 , 0)v0 +
m
m
1
+
fv (x0 , v0 , 0)f (x0 , v0 , 0) + ft (x0 , v0 , 0) t3 + O(t4 ) .
m
x(t) = x0 + v0 t +
(1.12)
Dunque la sola conoscenza di posizione e velocità iniziali e l’uso ripetuto dell’equazione per il calcolo delle derivate successive sono sufficienti per calcolare la posizione ad un istante precedente
o successivo vicino a quello iniziale.
L’ulteriore ipotesi sulla struttura delle forze in sistemi isolati riguarda le proprietà di
invarianza rispetto a certe trasformazioni.
Principio 6 (principio di relatività galileiana). Dato un sistema isolato di n punti materiali
in un sistema di riferimento inerziale, le sue equazioni di Newton mi~ai = F~i sono invarianti
rispetto alle seguenti trasformazioni:
1. ~xi 7→ ~xi + ξ~ (i = 1, . . . , n), per ogni ξ~ (traslazione spaziale arbitraria);
2. ~xi 7→ R~xi (i = 1, . . . , n), per ogni matrice di rotazione R (rotazione spaziale arbitraria);
3. t 7→ t + t0 , per ogni t0 (traslazione temporale);
4. ~xi 7→ ~xi − V~ t, per ogni V~ (cambio di sistema di riferimento inerziale).
12
CAPITOLO 1. PRINCIPI DELLA MECCANICA NEWTONIANA
Si può dimostrare che una conseguenza di tale Principio è che le forze F~i possono dipendere
solo dalle mutue differenze delle posizioni e delle velocità dei punti materiali e non possono
dipendere esplicitamente dal tempo.
Un buon modello di forza tra due punti, che tenga conto anche del terzo e del quarto
Principio, enunciati sopra, è il seguente:
F~ij = Φ(|~xi − ~xj |)(~xi − ~xj ) ,
dove Φ(s) è una assegnata funzione di una variabile reale. Si osservi che in tutti gli ambiti della
fisica della materia non si usano mai forze di coppia dipendenti dalle velocità.
Esercizio 1.1. Si consideri l’equazione di Newton per un punto materiale:
m~x¨ = F~ (~x, ~x˙ , t) .
Si mostri che il sesto Principio implica, in questo caso, F~ = 0 identicamente, in accordo con il
primo Principio (capire bene perché).
1.3
Esempi di dinamica del punto
Vediamo ora alcuni esempi di dinamica del singolo punto materiale.
1.3.1
Punto materiale non soggetto a forze
In questo caso F~ = ~0 identicamente e l’equazione di Newton è m~a = ~0, ovvero il punto ha
accelerazione identicamente nulla. Questo è un caso particolare del caso generale (1.4)-(1.5)
con forza F~ (t) assegnata. Ponendo in tali formule F~ = ~0 (ovvero integrando due volte rispetto
al tempo) si ottiene ~v (t) = ~v (0) e ~x(t) = ~x(0) + ~v (0)t, cioè il punto si muove di moto rettilineo
uniforme.
1.3.2
Punto materiale nel campo di gravità
.
In approssimazione di terra piatta, la forza di gravità agente su un punto materiale è uniforme e costante, diretta verso il basso: F~ = −mgêz , essendo g l’accelerazione di gravità e êz il
versore dell’asse z (cioè dell’asse (O, êz )). L’equazione di Newton corrispondente, che descrive il
moto di un proiettile o di un qualsiasi oggetto in caduta libera, quando si trascuri la resistenza
dell’aria, è m~a = −mgêz , ovvero ~a = −gêz , cioè il moto ha accelerazione uniforme e costante.
Anche questo è un caso particolare di (1.4)-(1.5). Inserendo in tali formule F~ = −mgêz si
ottiene ~v (t) = ~v (0) − gêz t e
t2
(1.13)
~x(t) = ~x(0) + ~v (0)t − gêz .
2
Dunque si ha un moto uniformemente accelerato. Si noti che la proiezione del moto sul piano
(x, y) è di tipo rettilineo uniforme. Infatti, scrivendo la (1.13) per componenti e raccogliendo,
1.3. ESEMPI DI DINAMICA DEL PUNTO
si ha
13


 
x(0) + vx (0)t
x(t)
 y(t)  =  y(0) + vy (0)t
 .
2
z(t)
z(0) + vz (0)t − g t2
(1.14)
Nel caso vx (0) = vy (0) = 0 il moto è rettilineo (non uniforme ovviamente), e si svolge lungo
una retta parallela all’asse z. Se almeno una delle due componenti x o y della velocità iniziale
è diversa da zero, allora il punto si muove lungo un arco di parabola. Infatti, se vx (0) 6= 0,
si può sempre pensare di spostare l’origine delle coordinate in modo da farla coincidere con la
posizione iniziale del punto, cosı́ che x(0) = y(0) = z(0) = 0. Inoltre, si possono ruotare gli
assi coordinati in modo che vy (0) = 0. Allora dalla (1.14), prima componente, si può ricavare
il tempo in funzione della x, t = x/vx (0), e sostituirlo nell’ultima componente, ottenendo
z=
g
vz (0)
x − 2 x2 ,
vx (0)
2vx (0)
che è l’equazione di una parabola nel piano (x, z).
1.3.3
Particella carica in un campo elettrico uniforme e costante
Un punto materiale dotato di carica elettrica q, sotto l’azione di un campo elettrico uniforme e
~ 0 , è soggetto ad una forza q E
~ 0 . L’equazione di Newton corrispondente è m~a = q E
~ 0.
costante E
Questo è ancora un caso particolare di (1.4)-(1.5). Essendo la forza (e quindi l’accelerazione)
uniforme e costante, come nel caso gravitazionale si avrà un moto uniformemente accelerato,
~ 0 in (1.4) e (1.5) si ottiene ~v (t) = ~v (0) + q E
~ te
con traiettoria parabolica. Sostituendo F~ = q E
m 0
~x(t) = ~x(0) + ~v (0)t +
1.3.4
q ~ 2
E0 t .
2m
Punto attaccato ad una molla ideale
Si consideri un punto materiale P di massa m attaccato all’estremo libero di una molla; l’altro
estremo della molla è fissato all’origine O degli assi. Se ~xP indica la posizione del punto P ,
allora la forza a cui è soggetto il punto è data da
−k(|~xP | − `)x̂P , |~xP | > ξc
~
F =
(molla “reale”) .
(1.15)
(+∞)x̂P ,
|~xP | ≤ ξc
Qui k è la costante elastica della molla, ` è la lunghezza di riposo della molla, mentre ξc (< `)
denota la lunghezza di compressione massima, data dal numero di spire per lo spessore del filo
con il quale è realizzata la molla. Secondo la legge (1.15), una molla compressa in modo da
avere una lunghezza minore di ξc esercita sull’estremo P una forza repulsiva idealmente infinita,
il che indica che è impossibile comprimerla ulteriormente (nella pratica questo è possibile, a
costo però di deformare la molla stessa). Naturalmente una molla reale non può neanche essere
allungata arbitrariamente. Oltre una certa lunghezza di trazione massima (non prevista nella
(1.15)) la molla prima oppone una resistenza molto alta ad un ulteriore allungamento, poi si
deforma e infine si rompe, tutto ciò dipendentemente dalle sue caratteristiche tecniche. Nel
14
CAPITOLO 1. PRINCIPI DELLA MECCANICA NEWTONIANA
seguito tutti questi effetti verranno trascurati. Inoltre, si supporrà quasi sempre di avere a che
fare con molle ideali, per le quali si suppone nulla la lunghezza di riposo, ponendo, per il punto
materiale P attaccato al suo estremo libero, una legge di forza della forma
F~ = −k~xP (molla ideale) .
(1.16)
Nel caso di due punti materiali P e Q connessi da una molla ideale di costante k, la forza che
Q esercita su P è data da
F~P Q = −k(~xP − ~xQ ) ,
(1.17)
−
→
che si riduce alla (1.16) per ~xQ = ~0. Si noti che F~QP = −F~P Q e che F~P Q k QP = ~xP − ~xQ ,
ovvero l’interazione dovuta ad una molla ideale verifica il terzo principio.
Studiamo dunque la dinamica di un punto materiale di massa m attaccato all’estremo libero
di una molla ideale di costante elastica k, la cui equazione di Newton è m~a = −k~x. Dividendo
per m, osservando che il rapporto k/m ha le dimensioni del quadrato di una frequenza (ovvero
dell’inverso di un tempo al quadrato) e ponendo
r
k
,
(1.18)
ω≡
m
l’equazione ~x¨ = −(k/m)~x = −ω 2~x, per componenti,

  
−ω 2 x
ẍ
 ÿ  =  −ω 2 y  ⇔
−ω 2 z
z̈
si scrive

 ẍ = −ω 2 x
ÿ = −ω 2 y

z̈ = −ω 2 z
.
(1.19)
Dunque si hanno tre equazioni identiche, ognuna delle quali coinvolge una sola coordinata del
punto materiale: risolta la prima, cioè
ẍ = −ω 2 x ,
(1.20)
le altre due si risolvono immediatamente cambiando opportunamente nome alla variabile dipendente. Vedremo tra poco che l’equazione (1.20), che si chiama equazione dell’oscillatore
armonico, è un’equazione differenziale ordinaria, che si risolve con tecniche note; anticipiamo
però qui la sua soluzione in modo intuitivo. Cominciamo col considerare il caso particolare
ω = 1. Allora l’equazione (1.20) chiede di trovare una funzione t 7→ x(t) tale che la sua derivata
seconda sia uguale e opposta alla funzione stessa. Due funzioni che soddisfano tale requisito sono le funzioni armoniche cos(t) e sin(t), che dunque risultano essere due soluzioni dell’equazione
(1.20) con ω = 1. A questo punto osserviamo che cos(ωt) e sin(ωt) soddisfano l’equazione (1.20)
per qualsiasi valore di ω. Il passo ulteriore consiste nel notare che una combinazione lineare
delle due soluzioni, con coefficienti arbitrari, è ancora una soluzione dell’equazione. Infatti si
verifica immediatamente che
d2
[a cos(ωt) + b sin(ωt)] = −ω 2 [a cos(ωt) + b sin(ωt)] .
dt2
In definitiva, una soluzione dell’equazione (1.20) è
x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) .
(1.21)
1.3. ESEMPI DI DINAMICA DEL PUNTO
15
Ipotizziamo quindi che questa sia la soluzione più generale possibile dell’equazione (1.20), ovvero che non esista un’altra funzione di t che ne sia soluzione e sia (linearmente) indipendente
da cos(ωt) e sin(ωt) (in effetti questo si può dimostrare: provare a cercare una soluzione dell’equazione (1.20) sotto forma di serie di potenze di t con coefficienti incogniti). Chiamiamo
dunque la (1.21) soluzione generale dell’equazione dell’oscillatore armonico (1.20), e il moto da
essa descritto moto armonico (unidimensionale). Notiamo che essa dipende da due costanti
arbitrarie, ovvero dai parametri a e b, e che di fatto non si tratta di “una” soluzione, ma di
una famiglia a due parametri di soluzioni. Il valore effettivo di tali costanti viene univocamente
determinato dalla specifica delle condizioni iniziali, ovvero dalla posizione e dalla velocità che il
punto materiale ha ad un dato istante, per esempio t = 0. Siano allora x(0) = x0 e ẋ(0) = v0x
le proiezioni lungo l’asse x della posizione e della velocità iniziali. Dalla (1.21) segue
x0 = x(0) = a cos(0) + b sin(0) = a ;
v0x = ẋ(0) = −aω sin(0) + bω cos(0) = ωb ,
che determina la soluzione unica del problema ai valori iniziali (o problema di Cauchy) per
l’equazione (1.20), cioè
v0x
sin(ωt) .
(1.22)
x(t) = x0 cos(ωt) +
ω
Una volta determinata la x(t) corrispondente ai dati iniziali, la y(t) e la z(t) si scrivono
immediatamente per analogia, ovvero
v0y
sin(ωt) ,
ω
v0z
sin(ωt) .
z(t) = z0 cos(ωt) +
ω
y(t) = y0 cos(ωt) +
(1.23)
(1.24)
In definitiva, la soluzione in forma vettoriale dell’equazione di Newton ~x¨ = −ω 2~x è
~x(t) = ~x(0) cos(ωt) +
1
~v (0) sin(ωt) ,
ω
(1.25)
che descrive un moto armonico tridimensionale.
1.3.5
Particella carica in un campo magnetico uniforme e costante
In punto materiale dotato di carica elettrica q, sotto l’azione di un campo magnetico uniforme
~ 0 , è soggetto ad una forza F~ = q ~v × B
~ 0 , che si chiama forza di Lorentz ; c è la
e costante B
c
~ 0.
velocità della luce nel vuoto. L’equazione di Newton da risolvere è pertanto m~a = qc ~v × B
~ 0 = B0 êz (con B0 ≡ |B
~ 0 |),
Dividendo per m, tenendo conto del fatto che ~a = vecv
˙ e scegliendo B
tale equazione si riscrive nella forma
~v˙ = ω ~v × êz ,
(1.26)
dove si è definita la cosı́ detta frequenza di ciclotrone
ω≡
qB0
mc
(1.27)
16
CAPITOLO 1. PRINCIPI DELLA MECCANICA NEWTONIANA
(si osservi che la quantità (1.27) ha le dimensioni dell’inverso di un tempo). Ponendo ~v =
vx êx + vy êy + vz êz e svolgendo il prodotto vettoriale si può riscrivere la (1.26) per componenti,
ovvero


 

v̇x
ωvy
 v̇x = ωvy
 v̇y  =  −ωvx  ⇔
v̇y = −ωvx .
(1.28)

v̇z
0
v̇z = 0
Si noti che ora, a differenza del sistema (1.19), le prime due equazioni sono accoppiate e non si
possono risolvere indipendentemente l’una dall’altra. Per contro, la terza equazione è banale e
implica che vz (t) = vz (0), cioè la proiezione del moto lungo z è di tipo rettilineo uniforme. Per
risolvere il sottosistema dato dalle prime due equazioni in (1.28) osserviamo che, derivando la
prima equazione rispetto a t e facendo uso della seconda, si ha
v̈x = ω v̇y = ω(−ωvx ) = −ω 2 vx .
Dunque vx (t) soddisfa l’equazione dell’oscillatore armonico e di conseguenza deve avere la forma
(1.21)
v̇x (0)
sin(ωt)
vx (t) = vx (0) cos(ωt) +
ω
(si verifichi la correttezza delle costanti di fronte al coseno e al seno). In quest’ultima espressione
si nota la presenza del dato iniziale v̇x (0), che apparentemente richiede la conoscenza (della
componente x) dell’accelerazione iniziale del punto. In realtà questo problema non sussiste:
dalla prima delle tre equazioni (1.28) segue che v̇x (0) = ωvy (0) (l’uguaglianza vale a qualsiasi
istante di tempo, quindi in particolare per t = 0). Dunque si ha
vx (t) = vx (0) cos(ωt) + vy (0) sin(ωt) .
(1.29)
Procedendo in modo analogo con la seconda equazione in (1.28) (cioè derivando e usando la
prima equazione) si trova (verificarlo)
vy (t) = vy (0) cos(ωt) − vx (0) sin(ωt) .
(1.30)
Si osservi che la proiezione della velocità sul piano (x, y) ruota con velocità angolare ω:
vx (t)
vy (t)
=
cos(ωt) sin(ωt)
− sin(ωt) cos(ωt)
vx (0)
vy (0)
≡ R(ωt)
vx (0)
vy (0)
,
avendo definito la matrice di rotazione R(ωt) (si verifichi che effettivamente det R = 1 e che
RRT = I2 , I2 essendo la matrice identità 2 × 2). Si noti che il senso di rotazione è orario se
ω > 0, ovvero se q > 0 (ad esempio per un protone), e antiorario altrimenti (ad esempio per un
elettrone). Riassumendo, la soluzione del sistema (1.28), per componenti, è

 

vx (t)
vx (0) cos(ωt) + vy (0) sin(ωt)
 vy (t)  =  vy (0) cos(ωt) − vx (0) sin(ωt)  .
vz (t)
vz (0)
1.3. ESEMPI DI DINAMICA DEL PUNTO
17
Volendo calcolare la posizione della particella carica, basta integrare
R t rispetto al tempo le tre
componenti della velocità, tenendo conto del fatto che ~x(t) −~x(0) = 0 ~v (s)ds. Per componenti,
si trova allora






Z t
x(t)
x(0)
vx (s)
 y(t)  =  y(0)  +
 vy (s)  ds =
0
z(t)
z(0)
vz (s)
  vy (0) 

  vx (0)
vy (0)
sin(ωt)
−
cos(ωt)
x(0)
ω
ω
ω
=  y(0)  +  vyω(0) sin(ωt) + vxω(0) cos(ωt)  +  − vxω(0)  . (1.31)
z(0)
0
vz (0)t
Si tratta di un moto elicoidale, con asse verticale di equazione x = x(0) + vy (0)/ω e y =
y(0) − vx (0)/ω. Per convincersene, si noti che valgono le identità
vx (0)
vy (0)
sin(ωt) −
cos(ωt) = R sin(ωt − φ) ;
ω
ω
vx (0)
vy (0)
sin(ωt) +
cos(ωt) = R cos(ωt − φ) ,
ω
ω
con
R cos φ = vx (0)/ω ; R sin φ = vy (0)/ω ;
in particolare, quadrando e sommando le ultime due relazioni si ottiene
q
vx2 (0) + vy2 (0)
R=
.
ω
(1.32)
Allora la (1.31) si riscrive come segue
 
 

x(t)
R sin(ωt − φ)
x(0) + vyω(0)
 y(t)  =  y(0) − vx (0)  +  R cos(ωt − φ)  .
ω
z(t)
vz (0)t
z(0)

Da qui si vede chiaramente che
{x(t) − [x(0) + vy (0)/ω]}2 + {y(t) − [y(0) − vx (0)/ω]}2 = R2 ,
cioè la proiezione della traiettoria descritta dalla particella sul piano (x, y) è una circonferenza
di raggio R centrata nel punto di coordinate x = x(0) + vy (0)/ω, y = y(0) − vx (0)/ω, che sono
quindi le due coordinate dell’asse dell’elica. Il raggio (1.32) dell’elica in questione si chiama
raggio di Larmor.
18
CAPITOLO 1. PRINCIPI DELLA MECCANICA NEWTONIANA
Capitolo 2
Introduzione ai vincoli
Un vincolo è una restrizione di carattere geometrico sul moto, realizzata da un sistema di forze,
dette appunto reazioni vincolari. L’esempio da tenere a mente è quello di un qualsiasi sistema
che si muova lungo un piano orizzontale sotto l’azione della gravità. In questo caso la restrizione
di carattere geometrico consiste nel richiedere che il moto abbia luogo lungo il piano, mentre
le reazioni vincolari sono date dal sistema di forze che il piano deve esercitare sul sistema per
impedirgli di cadere verso il basso. L’esempio più semplice è quello di un punto materiale fermo
su un piano orizzontale: sul punto agisce la forza peso F~ = −mgẑ e, affinché resti fermo, è
~ = −F~ ; diversamente il punto sarebbe soggetto ad una forza totale non
necessaria una forza φ
nulla lungo la verticale e accelererebbe di conseguenza, scendendo o salendo rispetto al piano.
La cosa importante da tenere a mente, quando si ha a che fare con problemi in presenza di
vincoli, è che le reazioni vincolari sono incognite del problema, alla pari delle variabili
di posizione del sistema.
Nel seguito ci concentriamo sul caso di un singolo punto materiale, estendendo successivamente l’analisi ai casi semplici di sistemi di punti. L’esempio classico è quello di un singolo
punto materiale vincolato a muoversi lungo una curva o su di una superficie.
2.1
Meccanica del punto vincolato
L’equazione di Newton per un punto materiale vincolato a muoversi su di una superficie o lungo
una curva nello spazio tridimensionale è
~,
m~a = F~ + φ
(2.1)
~ la reazione vincolare, ovvero la forza necessaria a tenere il punto atavendo indicato con φ
taccato al vincolo, che nella pratica viene esercitata dal meccanismo con il quale il vincolo
viene realizzato (ad esempio il sistema soffitto-tassello-gancio a vite per un oggetto appeso al
soffitto, oppure il sistema terreno-binario per un treno, ecc..). La forza F~ in (2.1) indica invece
la forza attiva, ovvero la forza dovuta all’interazione del punto con altri punti o sistemi, e che
sarebbe presente anche in assenza del vincolo (ad esempio la forza peso, la resistenza dell’aria,
l’eventuale interazione con altri punti realizzata da molle, ecc..).
19
20
CAPITOLO 2. INTRODUZIONE AI VINCOLI
Consideriamo prima il caso di un punto materiale vincolato a muoversi su di una superficie.
In questo caso la componente della forza totale ortogonale alla superficie deve essere nulla, in
modo che il punto materiale non possa accelerare ortogonalmente alla superficie stessa:
Fn + φn = 0 .
(2.2)
In pratica, si considera il piano tangente alla superficie nel punto geometrico occupato al tempo
t dal punto materiale, e si considera un vettore ~n ortogonale a tale piano nel detto punto.
~ · ~n e, di conseguenza, an = ~a · ~n = 0. Si osservi che l’equazione
Allora Fn = F~ · ~n e φn = φ
(2.2) non determina a priori la componente ortogonale alla superficie della reazione vincolare.
Infatti, la forza attiva F~ è una funzione vettoriale assegnata della posizione e della velocità del
punto materiale (ed eventualmente del tempo) e tali quantità sono incognite del problema. Per
determinare queste ultime bisogna risolvere l’equazione di Newton (2.1) proiettata sul piano
tangente alla superficie, cioè
~t ,
m~at = F~t + φ
(2.3)
dove il pedice t denota proiezione sul piano tangente del vettore a cui si riferisce. Nell’equazione
~ t . Questa in
(2.3) compare la componente tangente alla superficie della reazione vincolare, φ
generale è una manifestazione dell’attrito da contatto tra punto materiale e superficie vincolare
e, come vedremo tra poco, la legge per la sua determinazione è diversa a seconda che si consideri il punto fermo oppure in movimento rispetto alla superficie stessa. Il caso più semplice
da trattare è quello di vincolo ideale, caratterizzato da assenza totale di attrito da contatto,
~ t = ~0. In tale caso l’equazione (2.3) diviene m~at = F~t , che si può risolvere per deper cui φ
terminare la posizione del punto al variare del tempo. Successivamente si determina il valore
della componente normale Fn della forza attiva e, dalla (2.2) si ottiene φn = −Fn , risolvendo
completamente il problema.
Passiamo a considerare il caso di punto vincolato a muoversi lungo una curva. Qui il
modo naturale di proiettare le forze e quindi l’equazione di Newton (2.1) è di considerare il
vettore tangente alla curva nel punto geometrico occupato dal punto materiale ad un dato
istante, assieme al piano ortogonale alla curva nello stesso punto. Allora il punto materiale non
abbandona la curva se la sua accelerazione ortogonale alla curva stessa è nulla, cioè se
~ n = ~0 .
F~n + φ
(2.4)
Questa condizione differisce dalla (2.2) per il simbolo di vettore: la proiezione di un vettore su
un piano ha due componenti, mentre la proiezione lungo una retta ne ha una. D’altra parte,
la proiezione dell’equazione di Newton lungo la curva (cioè il suo prodotto scalare col vettore
tangente ~t) è
mat = Ft + φt ,
(2.5)
dove il pedice t denota componente lungo ~t. Qui, a differenza della (2.3), manca il simbolo
di vettore, per lo stesso motivo spiegato sopra. Come nel caso della superficie, la componente
tangenziale della reazione φt è dovuta all’attrito da contatto punto-vincolo. Nel caso ideale
φt = 0, mat = Ft determina il moto e la (2.4) determina la reazione vincolare. Osserviamo che
nel caso di punto vincolato a muoversi su una curva piana vale quanto detto ma il simbolo di
vettore nella (2.4) sparisce: in questo caso il piano normale alla curva è sostituito da una retta
normale e la (2.4) ha una sola componente.
2.2. ATTRITO STATICO
2.2
21
Attrito statico
Nel caso di vincolo non ideale, in presenza di attrito dovuto al contatto tra punto materiale e
vincolo materiale, si deve distinguere il caso statico, in cui il punto materiale è fermo rispetto al
vincolo (superficie o curva), da quello dinamico, nel quale il punto si muove rispetto al vincolo.
Nel caso statico, per un punto materiale vincolato a muoversi lungo una curva e fermo rispetto
ad essa, vale la seguente legge di Coulomb-Morin dell’attrito statico:
~n| ,
|φt | ≤ fs |φ
(2.6)
dove fs è un parametro adimensionale detto coefficiente di attrito statico. Tale coefficiente
dipende ovviamente dai materiali coinvolti, dalla temperatura, dalla forma dettagliata delle
superfici a contatto ecc.. Si osservi che, per quanto detto sopra, se la curva è piana il simbolo
di vettore che compare a destra nella (2.6) scompare: |φt | ≤ fs |φn |. Nel caso di punto vincolato
a muoversi su una superficie e fermo rispetto ad essa la legge di Coulomb-Morin è sempre della
forma (2.6), ma per quanto visto sopra il simbolo di vettore passa da destra a sinistra (cioè dalla
~ t | ≤ fs |φn |. Per quanto riguarda
componente normale a quella tangenziale della reazione): |φ
il valore effettivo di fs , si tenga presente che ad esempio fs = 1 nel caso di contatto gomma
asfalto asciutto, mentre fs = 0.7 se l’asfalto è bagnato.
Il tipico problema di statica del punto in presenza di attrito si risolve nel modo seguente. Se
la forza attiva che compare nella legge di Newton (2.1) dipende dalla posizione e dalla velocità
del punto, cioè F~ = F~ (~x, ~v ), si pone in essa ~v = ~0 (il punto è fermo) e si cerano le posizioni
del punto che annullano la forza totale, in modo che risulti ~a = ~0, cioè il punto non accelera
(quindi resta fermo dov’è). Il problema diventa allora quello di risolvere il sistema di equazioni
~ = ~0 .
F~ (~x, ~0) + φ
(2.7)
In dimensione spaziale D, queste sono D equazioni scalari (quante sono le componenti dei
vettori coinvolti), mentre le incognite sono D + 2 o D + 1 se il punto è vincolato a muoversi
rispettivamente su una superficie o lungo una curva. Infatti si hanno D componenti della
reazione vincolare incognite, più due incognite di posizione se il punto si muove su una superficie
o più una se il punto scorre lungo una curva. Dunque il sistema (2.7) contiene più incognite
che equazioni. D’altra parte la legge di Coulomb-Morin (2.6) aggiunge una disuguaglianza al
sistema di equazioni, con l’effetto di non determinare un solo valore (o un insieme discreto
di valori) per le posizioni di equilibrio del punto materiale, ma un insieme continuo di valori
possibili.
Proposizione 2.1. Si consideri un punto materiale vincolato a muoversi lungo una curva
piana. Sia s0 un valore di equilibrio ideale dell’ascissa curvilinea che determina la posizione
del punto lungo la curva, con la condizione Fn (s0 ) 6= 0. Allora, in presenza di un “piccolo”
coefficiente di attrito statico (0 < fs 1), si apre attorno ad s0 un piccolo intervallo di
posizioni di equilibrio non ideale.
Dimostrazione. L’equazione vettoriale di equilibrio (2.7), nel caso di un punto vincolato a
muoversi lungo una curva piana, ha due componenti:
Ft (s) + φt = 0
,
(2.8)
Fn (s) + φn = 0
22
CAPITOLO 2. INTRODUZIONE AI VINCOLI
dove s denota l’ascissa curvilinea del punto materiale (cioè la lunghezza dell’arco di curva che
ha inizio da una origine fissata e termina nella posizione occupata dal punto). Nel caso ideale,
senza attrito (fs = 0), si ha φt = 0 e le ascisse di equilibrio sono determinate dalla prima delle
equazioni (2.8), cioè Ft (s) = 0, mentre la seconda equazione determina φn . Sia dunque s0 una
ascissa di equilibrio ideale, tale che Ft (s0 ) = 0 e φn = −Fn (s0 ) 6= 0 (per ipotesi). Passando al
caso non ideale, dalla legge di Coulomb-Morin |φt | ≤ fs |φn |, sostituendo dalle (2.8) si ottiene
|Ft (s)| ≤ fs |Fn (s)| .
(2.9)
Si consideri ora un intorno di s0 sull’asse s. Nella (2.9) si afferma che i valori di s compatibili
con l’equilibrio sono quelli per i quali il grafico di |Ft (s)| giace sotto al (o al più coincido con il)
grafico di fs |Fn (s)|. Poicé Ft (s0 ) = 0, il grafico di |Ft (s)| presenta un minimo in s0 , di tipo punto
angoloso nel caso di zero semplice, o di tipo regolare nel caso di zero di molteplicità maggiore
di uno. D’altra parte, per ipotesi Fn (s0 ) 6= 0 e quindi Fn (s) 6= 0 in un intorno opportuno di s0
(si suppone qui che Fn (s) sia continua in s); dunque |Fn (s)| > 0 in tale intorno. Ora, l’effetto
di un piccolo coefficiente di attrito a moltiplicare è quello di portare il grafico locale di fs |Fn (s)|
a intersecare quello di |Ft (s)| in due punti di ascissa rispettivamente s1 < s0 e s2 > s0 . Allora
tutti i valori di s nell’intervallo [s1 , s2 ] soddisfano la condizione (2.9) e sono quindi valori di
equilibrio non ideale dell’ascissa curvilinea del punto materiale.
Si suggerisce di fare un disegno accurato e di convincersi graficamente della validità delle
affermazioni fatte nella dimostrazione precedente.
Osservazione 2.1. L’ipotesi Fn (s0 ) 6= 0 nella Proposizione 2.1 assicura l’esistenza generica di
un intervallo di equilibrio per fs sufficientemente piccolo. Se Fn (s0 ) = 0 si possono presentare i
casi: non esistenza di un intervallo, esistenza di un semi-intervallo destro o sinistro o esistenza
di un intervallo, dipendentemente dalla forma di Ft , Fn e dal valore di fs .
Osservazione 2.2. Quanto dimostrato nella Proposizione 2.1 vale anche nel caso di punto
vincolato a muoversi lungo una curva non piana o su una superficie, con dimostrazione concettualmente identica. Si può far vedere che la stessa conclusione vale per sistemi di punti del
tutto generali.
Osservazione 2.3. Il fatto generale che, sotto opportune ipotesi, l’effetto dell’attrito statico
sia quello di aprire continui di equilibri attorno alle posizioni isolate di equilibrio ideale, è di
estrema importanza: nella pratica questo consente di riuscire a porre un oggetto o una struttura
in equilibrio, commettendo errori di posizionamento tollerabili e senza doversi preoccupare di
avere la non realistica precisione infinita che sarebbe invece richiesta in assenza di attrito.
2.3
Attrito dinamico
Consideriamo ora il caso di punto materiale vincolato a muoversi su una superficie, essendo il
~ vale la legge
punto in moto ed essendo il vincolo non ideale. Allora per la reazione vincolare φ
dell’attrito dinamico:
~ t = −fd |φn |v̂ ,
φ
(2.10)
2.4. REAZIONI NEI PUNTI DI “FISSAGGIO”
23
dove v̂ = ~v /|~v | denota il versore della velocità del punto materiale e fd è un parametro adimensionale detto coefficiente di attrito dinamico. Anche fd dipende dai materiali coinvolti e
da numerosi altri dettagli. Inoltre, vale in generale fd ≤ fs . Ad esempio per il contatto tra
gomma e asfalto asciutto si ha fd = 0.8, mentre se l’asfalto è bagnato fd = 0.6; per il contatto
tra gomma e ghiaccio il valore di fd si abbassa notevolmente. Osserviamo che nel caso di punto
vincolato a muoversi lungo una curva la legge (2.10) diviene
~ n |sgn(ṡ) ,
φt = −fd |φ
(2.11)
essendo s(t) l’ascissa curvilinea del punto al tempo t ed essendo sgn(x) la funzione “segno di
x” tale che sgn(x) = −1 se x < 0 e sgn(x) = +1 se x > 0. Nel caso di curva piana vale la (2.11)
senza il segno di vettore su φn a destra.
L’attrito dinamico costituisce spesso un effetto dannoso da ridurre al minimo; ad esempio,
è noto a chiunque guidi un’automobile che si deve tenere d’occhio il livello dell’olio usato
come lubrificante per ridurre l’attrito tra le componenti interne del motore. D’altra parte, è
anche noto che si devono sostituire gli pneumatici consumati perché altrimenti si riduce troppo
l’attrito dinamico con conseguente perdita di tenuta di strada e possibile aumento dei tempi di
arresto (specie durante una frenata improvvisa a ruote bloccate).
2.4
Reazioni nei punti di “fissaggio”
Nel realizzare concretamente un dato sistema vincolato può essere utile saper stimare a quale
sollecitazione sono sottoposti alcuni punti di fissaggio specifici, realizzati concretamente tramite
fermi, chiodi, cerniere ecc.. Tali meccanismi possono spesso (non sempre) essere considerati
idealmente come puntiformi e sono caratterizzati dalla condizione di essere in quiete sia quando
il sistema è in moto che quando è fermo in equilibrio. Allora la reazione vincolare in uno di
tali punti di fissaggio del sistema si calcola trattando tale punto come un punto materiale del
sistema, con massa eventualmente specificata, calcolando la forza totale che agisce su tale punto
e imponendo che sia nulla. Si faccia attenzione al fatto che tale operazione si esegue sia quando
il sistema è in equilibrio che quando si muove: si impone che i punti di fissaggio siano sempre
e comunque fermi.
Esempio 2.1. Un punto materiale di massa m è connesso ad un punto O del soffitto tramite
una molla ideale di costante k; il punto materiale è libero di muoversi lungo la verticale, sotto
l’azione della gravità. Vogliamo calcolare la reazione vincolare nel punto di fissaggio O del
sistema (in pratica stiamo calcolando a quale forza deve resistere il sistema gancio a vite tassello - soffitto affinché il sistema molla - punto resti attaccato al soffitto e non cada giù).
Se orientiamo l’asse x verticale verso il basso, con origine in O, il punto materiale appeso
si muove in accordo alla legge di Newton mẍ = −kx + mg. Sia x(t) la soluzione di questa
equazione. Il punto di fissaggio O, visto come punto materiale del sistema, è soggetto alla alla
reazione vincolare φO , alla forza +kx(t) dovuta all’interazione con il punto appeso e, nel caso
sia dotato di massa M non trascurabile, alla propria eventuale forza peso M g. Dunque la
forza totale agente su O è φO + kx(t) + M g; imponendo che il punto Osia in quiete, si ottiene
φO = −kx(t) − M g. In particolare, se il punto appeso è in quiete, ovvero x = xeq = mg/k,
allora φO = −(m+M )g, cioè la reazione in O si oppone alla forza peso complessiva del sistema.
24
2.5
CAPITOLO 2. INTRODUZIONE AI VINCOLI
Reazioni in punti mobili di ancoraggio
Un sistema di punti materiali può interagire (ad esempio tramite molle, fili ecc..) con un punto
Q di massa mQ che si muove di moto assegnato: ~xQ (t) è una funzione vettoriale nota del
tempo t. Ci si può chiedere quale forza incognita è necessaria, a posteriori, per mantenere tale
moto pre-assegnato. Tale forza è la reazione vincolare nel punto mobile di ancoraggio Q. Per
calcolarla si dovrà scrivere l’equazione di Newton per il punto Q (dotato o meno di massa),
~ Q , essendo F~Q la forza attiva che viene esercitata su Q da tutti i punti
cioè mQ~x¨Q = F~Q + φ
~ Q la reazione incognita. Se F~Q è nota, allora φ
~ Q = mQ~x¨Q − F~Q ; nel
materiali del sistema e φ
~ Q = −F~Q .
limite di massa mQ nulla, φ
Esempio 2.2. Un punto materiale P di massa mP è collegato, tramite una molla ideale di
costante k, ad un punto Q di massa mQ che si muove di moto assegnato. L’equazione di
Newton per P è mP ~x¨P = −k(~xP − ~xQ ), che può essere risolta per ottenere ~xP (t). A questo
~ Q = mQ~x¨Q − k(~xP − ~xQ ), che contiene a
punto, dall’equazione di Newton per Q si ricava φ
secondo membro solo funzioni note.
2.6
Reazioni di appoggio
Il caso di vincolo di appoggio tipico è quello di un punto materiale che non può attraversare una
assegnata superficie (ad esempio una persona che non può scendere al di sotto del pavimento
ma può saltare sopra di esso). La reazione vincolare necessaria per realizzare tale vincolo deve
essere diretta verso la regione dello spazio in cui il punto è confinato a muoversi. Nel caso
ideale, in assenza di attrito, la reazione è ortogonale alla superficie. Un modo di affrontare
questo problema è quello di trattare il vincolo come se fosse bilatero, cioè come se il punto
dovesse restare attaccato alla superficie. Si calcola poi la reazione e se ne valuta il verso: se
questo è consistente con il vincolo di appoggio, cioè se la reazione è diretta verso il semispazio
voluto, si considera il punto appoggiato alla superficie. Nel momento in cui la reazione diviene
diretta verso il semispazio al quale il punto non può accedere si considera il punto stesso
staccato dalla superficie e si dice che si perde l’appoggio. Questo tipo di approccio è utilissimo
per valutare la condizione di equilibrio dei corpi rigidi appoggiati su un piano orizzontale.
2.7
Esercizi
Esercizio 2.1. Si consideri un punto di massa m vincolato a muoversi su una superficie di
equazione cartesiana z = f (x, y), sotto l’azione della forza peso F~ = −mgẑ, il vincolo essendo
~ t = ~0 e la condizione di vincolo Fn +φn = 0
ideale. Scrivere la condizione di idealità del vincolo φ
~
(cioè an = 0), determinando φ in funzione della posizione del punto sulla superficie (cioè in
funzione di x e y). Scrivere l’equazione del moto m~at = F~t .
Esercizio 2.2. Si consideri un punto vincolato a muoversi su una curva piana di equazione
y = f (x), sotto l’azione di una forza F~ = f x̂, f costante, il vincolo essendo ideale. Si scrivano
la condizione di idealità del vincolo φt = 0 e la condizione di vincolo Fn + φn = 0 (cioè an = 0),
~ in funzione di x. Si scriva l’equazione del moto mat = Ft .
determinando φ
2.7. ESERCIZI
25
Esercizio 2.3. Si consideri un punto vincolato a muoversi su una curva piana di equazione
y = f (x), sotto l’azione della forza peso F~ = −mg ŷ, il vincolo essendo ideale. Si scrivano la
condizione di idealità del vincolo φt = 0 e la condizione di vincolo Fn + φn = 0 (cioè an = 0),
~ in funzione di x. Si scriva l’equazione del moto mat = Ft . Si determinino
determinando φ
le eventuali soluzioni di equilibrio dell’equazione del moto. Si studino le piccole oscillazioni
del punto materiale attorno alle posizioni di equilibrio caratterizzate da derivata seconda di f
positiva. Determinare esplicitamente le corrispondenti reazioni vincolari.
Esercizio 2.4. Si consideri un punto materiale di massa m fermo su un piano inclinato di
un angolo α rispetto al piano orizzontale, sotto l’azione della gravità, in presenza di attrito
statico di coefficiente fs . Usando la legge di Coulomb-Morin si faccia vedere che la massima
inclinazione del piano che consente al punto di restare fermo è determinata dalla disuguaglianza
tgα ≤ fs .
Esercizio 2.5. Nel piano cartesiano (x, y), si consideri un punto materiale di massa m vincolato a muoversi lungo l’asse x. Il punto è connesso tramite una molla ideale di costante k1 al
punto di coordinate (0, a) e tramite una molla ideale di costante k2 al punto di coordinate (b, c).
Sul sistema agisce la gravità. Si determinino le posizioni di equilibrio del punto materiale nel
caso ideale e nel caso non ideale con attrito statico di coefficiente fs .
Esercizio 2.6. Si consideri un punto materiale di massa m che scende lungo un piano inclinato
di un angolo α rispetto al piano orizzontale, sotto l’azione della gravità e in presenza di attrito
dinamico di coefficiente fd . Trovare la condizione su α e fd per cui il punto si arresta in tempo
finito (si supponga il piano lungo quanto serve).
26
CAPITOLO 2. INTRODUZIONE AI VINCOLI
Capitolo 3
Introduzione alle equazioni differenziali
ordinarie
In questo capitolo si discutono alcuni aspetti delle equazioni differenziali ordinarie, con particolare attenzione a quelli rilevanti per lo studio delle (piccole) oscillazioni dei sistemi di punti
materiali. In quanto segue la variabile indipendente reale t è sempre denominata “tempo”;
questa restrizione interpretativa non toglie alcuna generalità ai concetti presentati.
3.1
Concetti di base
Un’Equazione Differenziale Ordinaria (EDO) di ordine n è una equazione della forma
dn x(t)
dx(t)
,...,
,t = 0 ,
(3.1)
f x(t),
dt
dtn
dove f (y1 , . . . , yn , t) è una assegnata funzione di n + 1 variabili reali e l’incognita è una funzione
di una variabile reale t 7→ x(t). Si noti che quindi una equazione differenziale è definita da
una legge che pone in relazione il valore assunto da una funzione al tempo t con il valore che
assumono le sue derivate allo stesso istante t.
Le EDO di ordine n esplicitate rispetto alla derivata di ordine massimo, cioè della forma
dx(t)
dn x(t)
dn−1 x(t)
= g x(t),
,t
(3.2)
,...,
dtn
dt
dtn−1
si dicono in forma normale. Si noti, con riferimento al caso generale (3.1), che in questo caso
f (y1 , . . . , yn , t) = yn − g(y1 , . . . , yn−1 , t). In queste note ci occupiamo esclusivamente di EDO (e
loro sistemi) in forma normale. L’EDO in forma normale (3.2) si dice autonoma se la funzione
g a secondo membro non dipende esplicitamente dal tempo t (l’ultimo argomento).
27
28
CAPITOLO 3. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
3.1.1
Equazioni del primo ordine: n = 1
.
L’equazione generale del primo ordine in forma normale è della forma ẋ = g(x, t). In
generale, assegnata la funzione g a secondo membro, tale equazione non si sa risolvere. Tuttavia,
nel caso autonomo
ẋ = g(x) ,
(3.3)
il problema della soluzione di tale equazione si sa ricondurre al problema del calcolo di integrali
e di inversione di funzioni, cioè un problema che si sa risolvere tramite tecniche note. Infatti,
osserviamo preliminarmente che se x0 è uno zero qualsiasi di g, soddisfa cioè g(x0 ) = 0, allora
x(t) = x0 per ogni t è soluzione dell’equazione (3.3). Riscriviamo ora l’equazione (3.3) come
uguaglianza tra forme differenziali1
dx
= dt .
g(x)
Se x(0) = ξ è il valore assegnato alla funzione x all’istante t = 0, possiamo integrare l’uguaglianza tra forme differenziali scritta sopra a sinistra tra ξ e x, a destra rispetto tra 0 e t,
ottenendo:
Z x
Z t
ds
hξ (x) ≡
=
dt0 = t .
g(s)
ξ
0
Naturalmente l’intervallo di estremi ξ e x non deve contenere zeri di g. Dunque il problema
a questo livello consiste nel riuscire a calcolare l’integrale definito hξ (x), ovvero nel conoscere
una primitiva della funzione 1/g(x). Se si riesce a fare questo esplicitamente, allora la soluzione
dell’equazione (3.3) con dato iniziale x(0) = ξ, è data da
x(t) = h−1
ξ (t) ,
cioè dalla funzione inversa della hξ . Si osservi che deve valere l’identità hξ (0) = ξ.
Esempio 3.1. Si consideri l’equazione
ẋ = cx ,
dove c è una data costante. Si ha g(x) = cx, che si annulla solo per x = 0. Se l’intervallo di
estremi ξ e x non contiene lo zero
Z x
ds
1
x
hξ (x) =
= ln
=t,
c
ξ
ξ cs
ct
da cui segue che x(t) = h−1
ξ (t) = ξe . Si noti che in questo caso la soluzione dell’equazione
differenziale esiste per ogni valore di t ∈ R ed è unica, cioè univocamente determinata dal valore
iniziale ξ = x(0) assegnato alla funzione; in particolare, se x(0) = ξ = 0 si ha x(t) = 0 per ogni
t.
1
Tralasciamo volutamente ogni discussione inutile sul significato “reale” di tale scrittura.
3.1. CONCETTI DI BASE
29
Esempio 3.2. Si consideri l’equazione
ẋ = x2 .
Si ha g(x) = x2 , che si annulla per x = 0. Allora, se l’intervallo di estremi ξ e x non contiene
lo zero
Z x
ds
1 1
hξ (x) =
= − =t,
2
ξ x
ξ s
da cui segue che x(t) = h−1
ξ (t) = ξ/(1 − ξt). Anche qui si vede subito che la soluzione dell’equazione è unica; in particolare, x(t) = 0 per ogni t se ξ = 0. D’altra parte, a differenza del caso
precedente, per ogni fissato valore di ξ 6= 0, la soluzione x(t) non è definita su tutto R, ma solo
su un semi-intervallo infinito. Precisamente, se ξ > 0 la soluzione esiste finita nell’intervallo
]−∞, 1/ξ[ e x(t) → +∞ per t → (1/ξ)− ; se invece ξ < 0 la soluzione esiste finita nell’intervallo
]ξ, +∞[ e x(t) → −∞ per t → (1/ξ)+ .
Esempio 3.3. Si consideri l’equazione
ẋ = x1/3 .
Qui g(x) = x1/3 , che si annulla per x = 0. Dunque (come nei casi precedenti) x(t) = 0 per
ogni t è una soluzione dell’equazione, corrispondente al dato iniziale x(0) = 0. D’altra parte,
se l’intervallo di estremi ξ e x non contiene lo zero si ha
Z x
3(x2/3 − ξ 2/3
ds
=
=t,
hξ (x) =
1/3
2
ξ s
da cui segue x(t) = [2(t + ξ 2/3 )/3]3/2 . Il limite di questa soluzione per x(0) = ξ → 0 è
x(t) = (2t/3)3/2 , che è un’altra soluzione dell’equazione data, che soddisfa x(0) = 0 e definita
su [0, +∞[. Dunque in questo caso, in corrispondenza del dato iniziale x(0) = 0 si hanno
almeno due soluzioni distinte e in realtà si vede facilmente che se ne hanno infinite. Infatti,
comunque preso t0 > 0, la funzione
(
0
, 0 ≤ t < t0
x(t) = h 2(t−t0 ) i3/2
, t ≥ t0
3
è ancora soluzione dell’equazione data e soddisfa la condizione x(0) = 0. Questo è un esempio
di perdita di unicità della soluzione.
3.1.2
Equazioni del secondo ordine: n = 2
L’EDO di ordine 2 più generale (in forma normale) è della forma
ẍ = g(x, ẋ, t) .
(3.4)
Siamo interessati a tale tipo di equazioni e a loro sistemi perchè queste sono le equazioni
che governano il moto di punti materiali soggetti a forze assegnate. Infatti, si può pensare
30
CAPITOLO 3. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
all’equazione (3.4) come all’equazione di Newton che descrive il moto di un punto materiale
sulla retta, con g ≡ f /m, essendo f la forza agente sul punto. Facciamo notare che la singola
equazione del secondo ordine (3.4) è equivalente al seguente sistema di due equazioni del primo
ordine
ẋ = v
.
(3.5)
v̇ = g(x, v, t)
Osserviamo che una EDO di ordine n in forma normale si può sempre scrivere come sistema
equivalente di n equazioni del primo ordine, dando semplicemente dei nomi alle derivate della
funzione incognita a partire dalla derivata prima fino alla derivata di ordine n − 1.
L’EDO del secondo ordine (3.4), in generale, non si sa risolvere. Abbiamo però visto un
esempio di equazione risolubile, cioè quella dell’oscillatore armonico ẍ = −ω 2 x. Quest’ultima
equazione fa parte di una classe importante di equazioni di ordine n che si sanno risolvere.
3.2
EDO lineari
L’EDO di ordine n in forma normale (3.2) si dice lineare se la funzione g a secondo membro è
una funzione lineare dei suoi primi n − 1 argomenti. In questo caso l’equazione ha la forma
dx
dn−1 x
dn x
=
c
x
+
c
+
·
·
·
+
c
+ cn ,
(3.6)
0
1
n−1
dtn
dt
dtn−1
dove i coefficienti c0 , . . . , cn possono dipendere dal tempo t. Nel caso in cui i coefficienti
c0 , . . . , cn−1 sono indipendenti dal tempo e l’EDO (3.6) si dice lineare a coefficienti costanti,
non omogenea se cn (t) 6= 0 e omogenea se cn = 0.
Esempio 3.4. L’EDO lineare del primo ordine (n = 1)
ẋ = c0 (t)x + c1 (t)
si risolve per ogni assegnata coppia di funzioni c0 (t) e c1 (t). In particolare, nel caso di coefficiente costante c0 , ponendo x(t) = ec0 t y(t) e sostituendo si ottiene
c0 ec0 t y + ec0 t ẏ = c0 ec0 t y + c1 (t) ⇔ ẏ = e−c0 t c1 (t) .
Rt
Integrando tra 0 e t si ottiene y(t) = y(0) + 0 e−c0 s c1 (s)ds; tornando alla variabile x(t) e
osservando che x(0) = y(0) si ha infine
Z t
c0 t
c0 t
x(t) = e x(0) + e
e−c0 s c1 (s)ds .
0
Esempio 3.5. L’EDO lineare del secondo ordine (n = 2)
ẍ = c0 (t)x + c1 (t)ẋ + c2 (t)
non si sa risolvere in generale. Nel caso di coefficienti costanti c0 e c1 si sa invece risolvere
l’equazione per ogni assegnata funzione c2 (t). Nel seguito verrà trattato in dettaglio il caso
fisicamente rilevante dell’ oscillatore armonico smorzato e forzato, con c0 ≡ −ω 2 , c1 ≡ −2µ e
c2 (t) ≡ f (t), ovvero l’EDO del secondo ordine lineare, a coefficienti costanti, non omogenea
ẍ = −ω 2 x − 2µẋ + f (t) .
(3.7)
3.2. EDO LINEARI
3.2.1
31
Proprietà generali delle EDO lineari a coefficienti costanti
Riportiamo di seguito le proprietà principali della EDO lineare (3.6) a coefficienti costanti
dn x
dn−1 x
dx
+
·
·
·
+
c
=
c
x
+
c
+ f (t) .
n−1
0
1
dtn
dt
dtn−1
(3.8)
1. L’EDO lineare omogenea
dn x
dn−1 x
dx
+
·
·
·
+
c
=
c
x
+
c
n−1
0
1
dtn
dt
dtn−1
(3.9)
ammette sempre n soluzioni linearmente indipendenti x(1) (t), . . . , x(n) (t). La funzione
xom (t) ≡ a1 x(1) (t) + · · · + an x(n) (t)
(3.10)
è soluzione dell’equazione (3.9) per ogni scelta dei parametri a1 , . . . , an e si chiama
soluzione generale dell’omogenea.
2. Nel caso non omogeneo (3.8) la soluzione generale dell’equazione è della forma
x(t) = xom (t) + xp (t) ,
(3.11)
dove xom (t) è la soluzione dell’equazione omogenea (3.9) (che è indipendente da f (t)),
mentre xp (t) è una soluzione particolare dell’equazione non omogenea (3.8) che dipende
dal termine noto f (t) ma non dipende da parametri (costanti arbitrarie).
P
3. Se il termine noto f (t) dell’equazione (3.8) è della forma f (t) = j fj (t) (dove la somma
può correre su un numero finito o infinito di termini), allora la soluzione particolare
P (j)
(j)
corrispondente xp (t) è della forma xp (t) = j xp (t), dove xp (t) è la soluzione particolare
dell’EDO non omogenea con termine noto fj , cioè
dx
dn−1 x
dn x
=
c
x
+
c
+
·
·
·
+
c
+ fj (t) .
0
1
n−1
dtn
dt
dtn−1
Questa proprietà, di grande utilità pratica, è nota come principio di sovrapposizione.
3.2.2
Soluzione generale dell’omogenea
Per risolvere l’equazione (3.8) si deve saper risolvere l’omogenea corrispondente (3.9) e saper
trovare la soluzione particolare. La soluzione dell’omogenea xom si trova cercando di determinare
le n soluzioni linearmente indipendenti di cui essa è combinazione lineare. Tali soluzioni vengono
inizialmente cercate nella forma esponenziale x(t) = eλt . Il motivo di tale scelta è dettato dal
fatto che dj eλt /dtj = λj eλt , cioè che derivare j volte la funzione eλt equivale a moltiplicarla per
λj . Allora si vede subito che eλt è soluzione della EDO se e solo se λ soddisfa l’equazione
λn − cn−1 λn−1 − · · · − c0 = 0 ,
(3.12)
32
CAPITOLO 3. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
detta equazione caratteristica associata all’EDO omogenea (3.9); il polinomio che la definisce si dice polinomio caratteristico dell’EDO. In questo modo si riconduce il problema della soluzione di una equazione differenziale al problema standard della ricerca delle radici di
un polinomio di grado n con assegnati coefficienti reali. Notiamo subito che se l’equazione
(3.12) ammette n soluzioni distinte λ1 , . . . , λn , allora le corrispondenti n funzioni esponenziali
x(1) (t) = eλ1 t , . . . , x(n) (t) = eλn t sono linearmente indipendenti (provare a dimostrarlo) e quindi
la soluzione generale dell’EDO omogena (3.9) è data da
x(t) =
n
X
aj eλj t .
(3.13)
j=1
Si può dimostrare che, se la radice λ dell’equazione (3.12) ha molteplicità 2 ≤ m ≤ n, ad essa
corrisponde una soluzione della forma Pm−1 (t)eλt , dove Pm−1 (t) è un arbitrario polinomio in
t di grado m − 1, caratterizzato quindi da m parametri. Vedremo sotto un esempio del caso
più semplice possibile (n = m = 2). Tornando al caso di radici distinte (molto diffuso: si
rifletta sul perché), osserviamo che la combinazione lineare (3.13) presenta un problema: del
tutto in generale le radici del polinomio caratteristico sono complesse, dunque sono complessi
gli esponenziali corrispondenti e, in generale, risulta complessa la combinazione lineare (3.13),
reali o complessi che siano i coefficienti aj . Per risolvere questo problema facciamo notare
preliminarmente che, essendo reali i coefficienti dell’equazione (3.9), lo sono di conseguenza i
coefficienti del polinomio caratteristico in (3.12) e quindi, come si dimostra subito, se λ è una
radice di tale polinomio lo è anche la sua complessa coniugata λ̄. Ora, per ogni coppia di radici
complesse e coniugate λ, λ̄ la combinazione lineare
aeλt + āeλ̄t = 2Re aeλt + āeλ̄t
a coefficienti complessi e coniugati a, ā è chiaramente reale. Ponendo a = a0 + ia00 , ā = a0 − ia00 ,
λ = λ0 + iλ00 λ̄ = λ0 − iλ00 e sviluppando, si ottiene
0
00
0
00
aeλt + āeλ̄t = (a0 + ia00 )e(λ +iλ )t + (a0 − ia00 )e(λ −iλ )t =
h 00
00
i
0
iλ t
00
iλ t
λ0 t
−iλ00 t
−iλ00 t
= e
a e
+e
+ ia e
−e
=
0
= eλ t [2a0 cos(λ00 t) − 2a00 sin(λ00 t)] ≡
0
≡ eλ t [A cos(λ00 t) + B sin(λ00 t)] ,
(3.14)
avendo fatto uso, nel terz’ultimo passaggio, delle formule di Eulero che connettono gli esponenziali di numeri immaginari puri con le funzioni trigonometriche, precisamente
cos θ =
eiθ − e−iθ
eiθ + e−iθ
; sin θ =
.
2
2i
(3.15)
Dunque, nel caso di n soluzioni distinte dell’equazione caratteristica (3.12), di cui le prime r
λ1 , . . . , λr reali e le rimanenti n − r λr+1 , λ̄r+1 . . . , λ n+r , λ̄ n+r in (n − r)/2 coppie di complesse e
2
2
3.2. EDO LINEARI
33
coniugate, la soluzione generale dell’EDO omogenea (3.9), tenendo conto della (3.14), si scrive
xom (t) =
=
r
X
n+r
aj eλj t +
2
X
j=1
j=r+1
r
X
2
X
aj eλj t + āj eλ̄j t =
n+r
aj eλj t +
j=1
0 eλj t Aj cos(λ00j t) + Bj sin(λ00j t) ,
(3.16)
j=r+1
in cui, nella seconda riga, gli n coefficienti a1 , . . . , ar , A1 , B1 , . . . , A n+r , B n+r sono tutti reali.
2
3.2.3
2
Oscillatore armonico smorzato e forzato
Come esempio fondamentale di equazione lineare a coefficienti costanti (omogenea e non) discutiamo l’equazione dell’oscillatore armonico smorzato e forzato, cioè l’equazione di Newton
di un punto materiale di massa m che si muove su una retta, attaccato all’origine tramite una
molla ideale di costante elastica k, soggetto ad attrito viscoso del mezzo (ad esempio l’aria)
caratterizzato da un coefficiente γ > 0 e soggetto ad una forza esterna dipendente dal tempo
F (t). Tale equazione si scrive
mẍ = −kx − γ ẋ + F (t) ,
ovvero, dividendo per la massa
ẍ = −ω 2 x − 2µẋ + f (t) ,
dove si sono definite la frequenza propria dell’oscillatore “libero”
r
k
ω≡
;
m
il coefficiente di smorzamento
µ≡
γ
2m
(3.17)
(3.18)
(3.19)
e la forza per unità di massa
1
F (t) .
(3.20)
m
Per quanto riguarda quest’ultima quantità, trattiamo il caso particolare di una forzante armonica, ovvero
f (t) = A cos(Ωt) + B sin(Ωt) + C ,
(3.21)
f (t) ≡
con A, B e C costanti arbitrarie. Per risolvere l’EDO (3.17) con la forza esterna della forma (3.21) risolviamo prima l’EDO omogenea ponendo f = 0 e cercando soluzioni in forma
esponenziale, cioè x(t) = eλt . Si ottiene l’equazione caratteristica
λ2 + 2µλ + ω 2 = 0 ,
(3.22)
le cui due soluzioni sono
λ± = −µ ±
Si presentano quindi i seguenti tre casi.
p
µ2 − ω 2 .
(3.23)
34
CAPITOLO 3. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
1. Caso sovra-smorzato: µ > ω. Le due radici in (3.23) sono reali e negative (λ− < λ+ < 0)
e la soluzione dell’omogenea (cioè della (3.17) con f = 0) è
√
√
−µ− µ2 −ω 2 t
−µ+ µ2 −ω 2 t
λ− t
λ+ t
xom (t) = ae + be = ae
+ be
.
(3.24)
Si osservi che quando t → +∞ xom (t) → 0 senza compiere alcuna oscillazione.
2. Caso critico: µ = ω. Le due radici in (3.23) sono reali, coincidenti e negative: λ− = λ+ =
−ω. In tale caso troviamo un solo esponenziale, cioè e−ωt e si verifica facilmente che l’altra
soluzione dell’omogenea è te−ωt (farlo). Dunque la soluzione generale dell’omogenea in
questo caso è
xom (t) = ae−ωt + bte−ωt = (a + bt)e−ωt .
(3.25)
Si osservi che la soluzione reale −µ = −ω dell’equazione caratteristica ha molteplicità
due (cioè si hanno due radici coincidenti) e la soluzione dell’omogenea è un polinomio
di primo grado, con due coefficienti arbitrari, che moltiplica un esponenziale. Anche in
questo caso quando t → +∞ xom (t) → 0 senza compiere alcuna oscillazione.
3. Caso sotto-smorzato: µ < ω. Le due radici caratteristiche in (3.23) sono complesse e
coniugate, ovvero
p
(3.26)
λ± = −µ ± i ω 2 − µ2 .
La corrispondente soluzione generale dell’omogenea, per quanto visto nel paragrafo precedente, è
h
p
p
i
xom (t) = e−µt a cos
ω 2 − µ2 t + b sin
ω 2 − µ2 t
,
(3.27)
con a e b reali. Si osservi che anche in questo caso quando t → +∞ xom (t) → 0, ma il
comportamento della soluzione è di tipo oscillatorio.
A questo punto cerchiamo la soluzione particolare dell’equazione (3.17) con forzante (3.21).
Sfruttiamo il principio di sovrapposizione e cerchiamo una soluzione particolare della forma
(2)
(3)
xp (t) = x(1)
p (t) + xp (t) + xp (t) ,
(1)
(3.28)
(2)
dove xp è la soluzione particolare dell’equazione (3.17) con f = A cos(Ωt), xp è la so(3)
luzione particolare dell’equazione (3.17) con f = B sin(Ωt) e xp è la soluzione particolare
dell’equazione (3.17) con f = C. Iniziando da quest’ultimo caso, notiamo che l’equazione
ẍ = −ω 2 x − 2µẋ + C
ammette chiaramente una soluzione costante data da
x(3)
p =
C
ω2
(3.29)
(1)
(dimostrarlo). Per trovare la xp , cerchiamo una soluzione dell’equazione
ẍ = −ω 2 x − 2µẋ + A cos(Ωt)
(3.30)
3.2. EDO LINEARI
35
della forma x(t) = α cos(Ωt) + β sin(Ωt). Sostituendo quest’ultima espressione nell’equazione
appena scritta sopra si ottiene (verificarlo)
2
(ω − Ω2 )α + (2µΩ)β − A cos(Ωt) + (ω 2 − Ω2 )β − (2µΩ)α sin(Ωt) = 0 .
Poiché cos θ e sin θ sono linearmente indipendenti, la precedente equazione implica che i due
coefficienti del coseno e del seno devono essere entrambi nulli, cioè i coefficienti α e β devono
soddisfare il seguente sistema lineare non omogeneo
2
(ω − Ω2 )α + (2µΩ)β = A
,
(ω 2 − Ω2 )β − (2µΩ)α = 0
la cui soluzione è data da (verificarlo)
A(ω 2 − Ω2 )
A(2µΩ)
α= 2
; β= 2
.
2
2
2
(ω − Ω ) + (2µΩ)
(ω − Ω2 )2 + (2µΩ)2
Dunque la soluzione particolare dell’EDO (3.30) è
A(ω 2 − Ω2 )
A(2µΩ)
cos(Ωt) + 2
sin(Ωt) =
2
2
2
2
(ω − Ω ) + (2µΩ)
(ω − Ω2 )2 + (2µΩ)2
"
#
A
(ω 2 − Ω2 ) cos(Ωt)
(2µΩ) sin(Ωt)
p
= p
+p
=
(ω 2 − Ω2 )2 + (2µΩ)2
(ω 2 − Ω2 )2 + (2µΩ)2
(ω 2 − Ω2 )2 + (2µΩ)2
A
= p
cos(Ωt − φ) ,
(3.31)
2
2
(ω − Ω )2 + (2µΩ)2
x(1)
p (t) =
dove, nell’ultimo passaggio, si è posto
(2µΩ)
(ω 2 − Ω2 )
; sin φ = p
.
cos φ = p
(ω 2 − Ω2 )2 + (2µΩ)2
(ω 2 − Ω2 )2 + (2µΩ)2
(3.32)
Dunque la risposta dell’oscillatore ad una sollecitazione armonica di data frequenza e ampiezza,
cioè la soluzione particolare corrispondente, è data dalla stessa funzione armonica, con la stessa
frequenza della sollecitazione, ma con un ritardo di fase e una ampiezza che dipendono dalla
frequenza stessa della sollecitazione, dalla frequenza propria dell’oscillatore e dal coefficiente
di smorzamento. Ci riferiamo all’angolo φ definito dalle (3.32) come al ritardo di fase perché
la funzione coseno nella risposta (3.31), come funzione del tempo, è traslata a destra di una
quantità ∆t = φ/Ω rispetto alla funzione coseno della forzante in (3.30):
cos(Ωt − φ) = cos(Ω(t − φ/Ω)) = cos(Ω(t − ∆t)) ,
cioè la risposta è in ritardo rispetto alla sollecitazione (ad esempio, partendo a t = 0, la
sollecitazione è massima per la prima volta esattamente a t = 0, mentre la risposta è massima
per la prima volta a t = ∆t > 0). Il ritardo di fase φ, come funzione del coefficiente di
smorzamento µ e della frequenza della forzante Ω, si comporta nel seguente modo (si faccia
riferimento alle formule (3.32)). Per µ → 0, cos φ → 1 e sin φ → 0, cioè φ → 0 e si dice che la
36
CAPITOLO 3. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
risposta è in fase con la forzante. Per µ → ∞, cos φ → 0 e sin φ → 1, cioè φ → π/2 e si dice
che la risposta è in quadratura (di fase) con la forzante. Dunque, a frequenza della forzante
fissata, il ritardo di fase cresce da zero a π/2 al crescere dell’attrito. Per quanto riguarda la
dipendenza dalla frequenza, se in Ω → 0 si ha cos φ → 1 e sin φ → 0, cioè φ → 0. Invece, se
Ω → ∞ si ha cos φ → −1 e sin φ → 0, cioè φ → π e si dice che la risposta è in opposizione di
fase (o in controfase) con la forzante. Dunque, a coefficiente di smorzamento fissato, il ritardo
di fase cresce con la frequenza della forzante, passando da zero a π.
Per quanto riguarda l’ampiezza della risposta (3.31), essa è data dall’ampiezza A della
forzante esterna moltiplicata per
1
p
.
2
2
(ω − Ω )2 + (2µΩ)2
(3.33)
Tale fattore d’ampiezza vale 1/ω 2 per Ω = 0 ed è asintotico a 1/Ω2 per Ω → ∞. Inoltre, si vede
facilmente
(farlo) che il fattore
d’ampiezza (3.33),
come funzione di Ω assume valore massimo per
p
√
√
2
2
Ω = ω − 2µ se ω > 2µ; se invece ω < 2µ il fattore è monotono decrescente. Si osservi che
nel caso di “piccolo” coefficiente di smorzamento µ (cioè µ ω) la frequenza dellapforzante alla
quale si ha risposta massima è molto prossima alla frequenza propria ω, poiché ω 2 − 2µ2 '
ω − µ2 /ω; il valore massimo corrispondente del fattore (3.33) è ' 1/(2µΩ) (verificarlo). La
presenza di un massimo abbastanza pronunciato della risposta ad una sollecitazione prossima
alla frequenza propria dell’oscillatore è un fenomeno fisico di fondamentale importanza, detto
risonanza; lo studieremo in dettaglio nel prossimo paragrafo, nel caso ideale di assenza di
attrito.
Per concludere, si può dimostrare in modo del tutto analogo a quanto fatto fino ad ora (farlo
nei dettagli) che alla forzante B sin(Ωt) corrisponde la soluzione particolare
B
sin(Ωt − φ) .
x(2)
p = p
2
2
(ω − Ω )2 + (2µΩ)2
(3.34)
Dunque la soluzione particolare (3.28) corrispondente alla forzante (3.21) è data da
xp (t) =
A cos(Ωt − φ) + B sin(Ωt − φ)
C
p
+ 2 .
ω
(ω 2 − Ω2 )2 + (2µΩ)2
(3.35)
Da quanto visto, applicando il principio di sovrapposizione, segue che se la forzante f nell’equazione (3.17) ha la forma
X
f (t) =
[Aj cos(Ωj t) + Bj sin(Ωj t)] + C ,
(3.36)
j
dove la somma può correre su un numero finito o infinito di indici, la soluzione generale
dell’equazione dell’oscillatore armonico è data da
x(t) = xom (t) +
X Aj cos(Ωj t − φj ) + Bj sin(Ωj t − φj )
C
q
+ 2 ,
ω
(ω 2 − Ω2j )2 + (2µΩj )2
j
|
{z
}
xp (t)
(3.37)
3.2. EDO LINEARI
37
con xom (t) data dalla (3.24), dalla (3.25) o dalla (3.27) a seconda del caso, e con il j-esimo
ritardo di fase φj determinato da
(ω 2 − Ω2j )
(2µΩj )
cos φj = q
; sin φj = q
.
(ω 2 − Ω2j )2 + (2µΩj )2
(ω 2 − Ω2j )2 + (2µΩj )2
(3.38)
Sono da sottolineare due aspetti. Il primo è che qualsiasi funzione f (t) può essere approssimata
bene quanto si vuole, in ogni intervallo di tempo fissato a priori, da una somma di funzioni
trigonometriche come quella che compare a destra nella (3.36). Ne segue che la casistica trattata
sopra ha carattere molto generale. Il secondo è che in presenza di attrito (µ > 0), anche piccolo,
xom(t) → 0 per t → +∞. Quindi per l’oscillatore smorzato si ha sempre x(t) ∼ xp (t) per
t → +∞: dopo un tempo caratteristico dell’ordine di 1/µ domina la componente particolare
della soluzione (che per tale ragione viene detta “risposta” dell’oscillatore).
3.2.4
Battimenti e risonanza
Ai fini di approfondire lo studio del fenomeno della risonanza e di metterne in evidenza gli
aspetti più caratteristici, consideriamo il caso di un oscillatore non smorzato sotto l’azione di
una forzante cosinusoidale di data frequenza e ampiezza, ovvero risolviamo l’equazione
ẍ = −ω 2 x + A cos(Ωt) .
(3.39)
Cercando una soluzione particolare della forma B cos(Ωt) si trova subito B = A/(ω 2 − Ω2 ) e
quindi la soluzione generale della EDO (3.39) è
x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) +
ω2
A
cos(Ωt) .
− Ω2
(3.40)
A questo punto determiniamo le costanti arbitrarie a e b in termini dei dati iniziali, ovvero
della posizione x(0) ≡ x0 e della velocità ẋ(0) ≡ v0 dell’oscillatore al tempo t = 0. Si trova
a = x0 − A/(ω 2 − Ω2 ) e b = v0 /ω, da cui, sostituendo in (3.40) segue
x(t) = x0 cos(ωt) +
v0
A
sin(ωt) + 2
[cos(Ωt) − cos(ωt)] .
2
ω
|ω − Ω
{z
}
(3.41)
xA (t)
In questo modo abbiamo separato la parte di soluzione dipendente dai dati iniziali e quella
dipendente dalla sollecitazione esterna, cioè proporzionale ad A, che per comodità chiamiamo
xA (t). Ora, per Ω non troppo vicina a ω, la soluzione (3.41) è una combinazione lineare di
funzioni armoniche a due frequenze distinte e non c’è altro da aggiungere. D’altra parte, se Ω
risulta molto vicina a ω, xA (t) presenta un comportamento non banale: nel limite per Ω → ω,
a t fissato, tale componente è una forma indeterminata del tipo 0/0, che va risolta. Per farlo
riscriviamo la differenza di coseni nel modo seguente:
ω−Ω
ω+Ω
cos(Ωt) − cos(ωt) = 2 sin
t sin
t .
2
2
38
CAPITOLO 3. INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Allora
A
[cos(Ωt) − cos(ωt)] =
− Ω2
ω+Ω
ω−Ω
2A
t sin
t =
sin
=
ω 2 − Ω2
2
2
"
#
sin ω−Ω
t
A
ω+Ω
2
=
sin
t =
ω−Ω
ω+Ω
2
2
A
sin(εt)
=
sin((ω − ε)t) ,
2(ω − ε)
ε
xA (t) =
ω2
(3.42)
avendo posto nell’ultimo passaggio
ω−Ω
.
(3.43)
2
In questo modo, il limite che ci interessa, Ω → ω, equivale al limite ε → 0. Prima di calcolare
il limite esattamente, osserviamo che se il modulo |ε| della semi-differenza delle due frequenze
è molto piccolo, allora l’espressione xA (t) nella quarta riga in (3.42) consiste in una funzione
armonica oscillante rapidamente ad una frequenza molto prossima a ω, modulata in ampiezza
da una funzione armonica che oscilla molto lentamente tra i due valori ±1/|ε| con frequenza |ε|
(e quindi periodo 2π/|ε|). Questa modulazione lenta e rilevante dell’ampiezza delle oscillazione
veloce è detta fenomeno dei battimenti. Una delle sue manifestazioni tipiche è quella delle
vibrazioni del vetro di una finestra sottoposta ad opportune sollecitazioni acustiche dall’esterno;
in questo caso le vibrazioni veloci del vetro, modulate lentamente in ampiezza, si possono udire
con chiarezza. Il limite per ε → 0 della (3.42) si calcola immediatamente:
ε≡
lim xA (t) =
ε→0
A
t sin(ωt) .
2ω
(3.44)
Dunque se la risonanza è esatta, cioè se la frequenza della forzante coincide esattamente con
quella propria, la componente della soluzione che dipende dalla forzante è rappresentata da
un’oscillazione armonica a frequenza propria con ampiezza crescente linearmente col tempo.
Ovviamente questo tipo di risposta ad una sollecitazione esterna non può durare molto a lungo:
per t sufficientemente grande i massimi di |xA (t)| divengono talmente grandi da causare la
rottura fisica dell’oscillatore o la perdita di validità dell’approssimazione lineare sulle forze
coinvolte. Nella realtà, ciò che può prevenire la rottura in risonanza delle strutture oscillanti
è l’attrito, che qui abbiamo trascurato. In presenza di (piccolo) attrito, la fenomenologia è
quella descritta sopra per t 1/µ, mentre da t ' 1/µ in poi si ha x(t) ' xp (t), i battimenti
terminano e si ha una risposta asintotica della forma discussa nel paragrafo precedente, con
ampiezza limitata. Ovviamente la risonanza può avere conseguenze disastrose anche in presenza
di attrito. Questo avviene se l’ampiezza asintotica della risposta, sebbene limitata, è comunque
troppo grande; un esempio è la proprio la rottura dei vetri sottoposti a opportune sollecitazioni
acustiche.
Capitolo 4
Oscillazioni di sistemi di punti
materiali
4.1
Piccoli spostamenti di sistemi di punti attorno all’equilibrio
Supponiamo che un dato sistema di n punti materiali di masse m1 , . . . , mn sia specificato dalle
forze f~1 , . . . , f~n indipendenti dal tempo. Il sistema è descritto allora dalle equazioni di Newton

~

 m1~a1 = f1 (~x1 , . . . , ~xn , ~v1 , . . . , ~vn )
..
(4.1)
.


mn~an = f~n (~x1 , . . . , ~xn , ~v1 , . . . , ~vn )
La soluzione di un sistema di questo tipo, cioè l’insieme di tutte le posizioni dei punti al variare
del tempo, quando vengano specificate le posizioni e le velocità di ogni punto al tempo t = 0,
in generale non si sa trovare, se non per sistemi molto particolari. Una classe di soluzioni di
fondamentale importanza è quella degli equilibri. Si dice che il sistema descritto dalle equazioni
(4.1) è in equilibrio se le velocità dei punti sono tutte nulle (~v1 = · · · = ~vn = ~0) e le posizioni
soddisfano il sistema di equazioni

~

 f1 (~x1 , . . . , ~xn , ~0, . . . , ~0) = ~0
..
(4.2)
.

 ~
fn (~x1 , . . . , ~xn , ~0, . . . , ~0) = ~0
Dunque se un sistema di punti è in equilibrio i punti sono tutti fermi in posizioni tali che la
forza totale a cui è soggetto ogni punto è nulla (e quindi lo è l’accelerazione, cioè la velocità
resta nulla). Per gli sviluppi che seguono è conveniente introdurre i vettori

 


 

~x1
X1
f~1
F1
 .   . 
.   . 
~ ≡
X
(4.3)
 ..  =  ..  ; F~ ≡  ..  =  .. 
~
~xn
XN
FN
fn
39
40
CAPITOLO 4. OSCILLAZIONI DI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI
che hanno N = nD componenti, essendo n il numero di punti materiali del sistema e D la
dimensione dello spazio fisico in cui si muovono i punti (D = 1, 2, 3 a seconda dei casi). In
termini dei vettori (4.3) il sistema di equazioni di Newton (4.1) si scrive


 M1 Ẍ1 = F1 (X1 , . . . , XN , Ẋ1 , . . . , ẊN )
..
~¨ = F~ (X,
~ X)
~˙ ,
⇔ MX
(4.4)
.


MN ẌN = FN (X1 , . . . , XN , Ẋ1 , . . . , ẊN )
essendo M1 = · · · = MD = m1 , MD+1 = · · · = M2D = m2 , . . . , M(n−1)D = · · · = MnD = mn ,
e M la matrice diagonale N × N delle masse, i cui elementi sulla diagonale principale sono
M1 , . . . , MN . Il sistema di equazioni che determina le posizioni di equilibrio dei punti si scrive
invece


 F1 (X1 , . . . , XN , 0, . . . , 0) = 0
..
~ ~0) = ~0 .
⇔ F~ (X,
(4.5)
.

 F (X , . . . , X , 0, . . . , 0) = 0
N
1
N
Ora vogliamo capire cosa succede se il sistema viene posto inizialmente in prossimità di un
equilibrio, eventualmente sotto l’azione di sollecitazioni esterne. A tale scopo fissiamo una
soluzione del sistema (4.5), ovvero un vettore di posizioni di equilibrio


X̄1
. 
~ eq ≡ 
(4.6)
X
 .. 
X̄N
~ eq , ~0) = ~0, ovvero Fj (X̄1 , . . . , X̄N , 0, . . . , 0) per ogni j = 1, . . . , N . Supponendo
tale che F~ (X
quindi che il sistema si muova “attorno” all’equilibrio, poniamo
~ ,
~
~ eq + ξ(t)
X(t)
=X
(4.7)
dove ξ~ è anch’esso un vettore a N componenti. Sostituendo la traslazione (4.7) nel sistema di
Newton (4.4) si ottiene il sistema equivalente
¨
~ ξ~˙ ) .
~ eq + ξ,
M ξ~ = F~ (X
(4.8)
˙
A questo punto si suppone che i vettori ξ~ e ξ~ siano “piccoli”, ovvero che il sistema si muova
vicino all’equilibrio, senza allontanarsi troppo dalla configurazione spaziale che lo caratterizza,
e comunque muovendosi lentamente. Sotto tale ipotesi si può sviluppare secondo Taylor il lato
~˙ trascurare i termini di grado superiore al primo e
destro della (4.8) al primo ordine in ξ~ e ξ,
studiare la dinamica del sistema che ne risulta. A posteriori si verifica se l’ipotesi di prossimità
all’equilibrio è consistente o no. Scrivendo la j-esima componente del sistema (4.8) ed eseguendo
lo sviluppo si ottiene
Mj ξ¨j = Fj (X̄1 + ξ1 , . . . , X̄N + ξN , ξ˙1 , . . . , ξ˙N ) = Fj (X̄1 , . . . , X̄N , 0, . . . , 0) +
+
N
N
X
X
∂Fj
∂Fj
(X̄1 , . . . , X̄N , 0, . . . , 0)ξl +
(X̄1 , . . . , X̄N , 0, . . . , 0)ξ˙l =
∂X
∂
Ẋ
l
l
l=1
l=1
= −
N
X
l=1
Kjl ξl −
N
X
l=1
Gjl ξ˙l ,
(4.9)
4.1. PICCOLI SPOSTAMENTI DI SISTEMI DI PUNTI ATTORNO ALL’EQUILIBRIO 41
avendo definito, nell’ultimo passaggio, le due matrici N × N costanti K e G, con rispettivi
elementi
∂Fj
Kjl ≡ −
(X̄1 , . . . , X̄N , 0, . . . , 0) ;
(4.10)
∂Xl
Gjl ≡ −
∂Fj
(X̄1 , . . . , X̄N , 0, . . . , 0) .
∂ Ẋl
(4.11)
Il sistema lineare (4.9) si può scrivere in forma vettoriale compatta
¨
˙
M ξ~ = −K ξ~ − Gξ~ .
(4.12)
Questo sistema di equazioni di Newton descrive i movimenti “liberi” che il sistema compie
attorno all’equilibrio, finché gli spostamenti dei punti e le loro velocità restano sufficientemente piccoli. Nel caso in cui i punti materiali del sistema sono anche soggetti a forze esterne
F1 (t), . . . , FN (t) dipendenti solo dal tempo, il sistema di equazioni (4.12) si scrive
¨
˙
M ξ~ = −K ξ~ − Gξ~ + F~ (t)
(4.13)
(non si confonda la F~ appena scritta adesso con quella dipendente da posizioni e velocità usata
sopra). Per quanto riguarda la matrice K, osserviamo che essa risulta spesso simmetrica, cioè
Kjl = Klj per ogni j, l = 1, . . . , N . Data la definizione (4.10), questo significa che
∂Fl
∂Fj
(X̄1 , . . . , X̄N , 0, . . . , 0) =
(X̄1 , . . . , X̄N , 0, . . . , 0)
∂Xl
∂Xj
(4.14)
per ogni j, l = 1, . . . , N . Tale condizione vale ad esempio se esiste una funzione sufficientemente
regolare U (X1 , . . . , XN ) tale che
Fj (X1 , . . . , XN , 0, . . . , 0) = −
∂U
(X1 , . . . , XN )
∂Xj
(4.15)
in un opportuno dominio contenente il punto di equilibrio (X̄1 , . . . , X̄N ); in questo caso la
condizione di simmetria (4.14) vale in tutto il dominio e, in particolare, nel punto di equilibrio.
La funzione U , se esiste, si chiama energia potenziale e le forze corrispondenti (calcolate a
velocità nulle) si dicono conservative, per una ragione che vedremo in seguito. Nel caso in cui
esista la funzione energia potenziale U , la matrice K coincide, per la (4.15) e la (4.10), con la
matrice delle derivate seconde della U , o matrice hessiana, calcolata nel punto di equilibrio:
Kjl =
∂ ∂U
∂ 2U
(X̄1 , . . . , X̄N ) ≡
(X̄1 , . . . , X̄N ) .
∂Xl ∂Xj
∂Xl ∂Xj
Il caso più interessante, ai fini dello studio dei piccoli spostamenti del sistema attorno all’equilibrio, è quello in cui il punto di equilibrio (X̄1 , . . . , X̄N ) è un punto di minimo locale per
la funzione U . Questo è vero se, ad esempio, la matrice hessiana di U calcolata all’equilibrio,
cioè la matrice K, è definita positiva, ovvero ha tutti gli autovalori positivi (gli autovalori sono
certamente reali perché tale matrice è simmetrica).
42
CAPITOLO 4. OSCILLAZIONI DI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI
4.2
Studio di un caso “semplice”
Il sistema lineare di EDO del secondo ordine (4.13) può essere risolto sotto ipotesi molto generali
sulle matrici M , K e G coinvolte. Qui ci limitiamo a studiare il caso “semplice” corrispondente
alle ipotesi seguenti.
• M = mIN (essendo IN la matrice identità N × N ): le masse dei punti materiali sono tutte
uguali;
• K è simmetrica e definita positiva (vero se ad esempio il sistema ammette energia potenziale e il punto di equilibrio è di minimo per tale funzione);
• G = γIN : la dipendenza delle forze dalla velocità corrisponde al solo attrito viscoso, e si
ha lo stesso coefficiente di attrito viscoso su ogni punto del sistema.
Allora il sistema (4.13) si scrive
¨
˙
mξ~ = −K ξ~ − γ ξ~ + F~ (t) .
Dividendo tutto per m e definendo le quantità
A≡
γ
1
1
K ; µ≡
; f~(t) ≡ F~ (t) ,
m
2m
m
(4.16)
si ottiene il sistema
¨
˙
ξ~ = −Aξ~ − 2µξ~ + f~(t) .
(4.17)
Si osservi che la matrice A = K/m è simmetrica e definita positiva perché lo è K. Il modo
standard di studiare il sistema (4.17) è quello di proiettarlo sulla base degli autovettori di A,
che sono reali e mutuamente ortogonali (e normalizzabili, se necessario). Indichiamo dunque
con ~u(j) il j-esimo autovettore di A corrispondente al j-esimo autovalore ωj2 > 0:
A~u(j) = ωj2~u(j)
(j = 1, . . . , N ) .
(4.18)
~
Poiché ~u(1) , . . . , ~u(N ) costituiscono una base dello spazio euclideo N -dimensionale, i vettori ξ(t)
ed f~(t) si scrivono in modo unico come combinazione lineare di questi, cioè esistono unici i
coefficienti reali ξ˜1 (t), . . . , ξ˜N (t) e f˜1 (t), . . . , f˜N (t) tali che
~ = ξ˜1 (t)~u(1) + · · · + ξ˜N (t)~u(N ) =
ξ(t)
N
X
ξ˜j (t)~u(j) ;
(4.19)
f˜j (t)~u(j) .
(4.20)
j=1
f~(t) = f˜1 (t)~u(1) + · · · + f˜N (t)~u(N ) =
N
X
j=1
Si faccia attenzione: ξ˜1 , . . . , ξ˜N e f˜1 (t), . . . , f˜N (t) sono le componenti di ξ~ ed f~ nella base degli
autovettori ~u(1) , . . . , ~u(N ) di A, mentre ξ1 , . . . , ξN e f1 , . . . , fN sono le componenti degli stessi
4.3. ESERCIZI
43
vettori nella base canonica. Sostituendo (4.19) e (4.20) in (4.17), e tenendo conto della (4.18)
si ottiene
N
N
N
N
X
X
X
X
¨
˙
(j)
2˜
(j)
(j)
˜
˜
ξj (t)~u = −
ωj ξj (t)~u −
2µξj (t)~u +
f˜j (t)~u(j) ,
j=1
j=1
j=1
j=1
che si può riscrivere come
N h
i
X
ξ¨˜j + 2µξ˜˙j + ωj2 ξ˜j − f˜j ~u(j) = ~0 .
j=1
Poiché gli autovettori di A sono linearmente indipendenti, i coefficienti di quest’ultima combinazione lineare devono essere tutti nulli, devono cioè valere le N equazioni
ξ¨˜j = −ωj2 ξ˜j − 2µξ˜˙j + f˜j
(j = 1, . . . , N ) .
(4.21)
Troviamo quindi che il moto del sistema è descritto da N equazioni indipendenti di oscillatore
armonico smorzato e forzato. Ogni oscillazione indipendente ha luogo lungo uno degli autospazi
di A. Si osservi che per risolvere le N EDO (4.21) si deve conoscere il j-esimo autovalore di A,
cioè ωj2 e la j-esima componente di f~ nella base degli autovettori di A, cioè f˜j . Quest’ultima
P
si calcola moltiplicando scalarmente per ~u(j) l’identità f~ = l f˜l ~u(l) e sfruttando l’ortogonalità
degli autovettori di A, ottenendo
~u(j) · f~
(4.22)
f˜j = (j) 2 .
|~u |
˜ delle N equazioni (4.21) (ognuna della forma soluzione
Una volta note le N soluzioni ξ(t)
~
generale dell’omogenea più soluzione particolare), è noto il vettore ξ(t)
e quindi è nota la
~
~
~
soluzione X(t) = Xeq + ξ(t) del problema di partenza.
Il procedimento appena illustrato si chiama decomposizione in modi normali di oscillazione
del sistema; le coordinate ξ˜1 , . . . , ξ˜N si chiamano coordinate normali.
4.3
Esercizi
Esercizio 4.1. Si consideri il sistema costituito da due punti materiali di uguale massa m, che
si muovono lungo l’asse x. Tre molle ideali di costante k connettono un punto all’origine, i due
punti tra loro, e l’altro punto ad un punto fissato a destra dell’origine a distanza L. Vogliamo
determinare le ascisse x1 (t) e x2 (t) dei due punti materiali al tempo t (cioè il moto del sistema)
e le reazioni vincolari in x = 0 e in x = L. Risolvere il problema in due modi: prima nel modo
standard come indicato nella teoria svolta in precedenza e poi per somma e sottrazione delle
equazioni del moto per gli spostamenti relativi ξ1 e ξ2 .
Esercizio 4.2. Due punti materiali di masse rispettive m1 ed m2 (diverse!) sono vincolati a
muoversi su un’asta inclinata rispetto al piano orizzontale di un angolo α, sotto l’azione della
gravità. I due punti sono connessi da una molla ideale di costante k. Si chiede di determinare
la dinamica del sistema e le reazioni vincolari che agiscono sui due punti materiali (il vincolo
si considera ideale).
44
CAPITOLO 4. OSCILLAZIONI DI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI
Esercizio 4.3. Un punto materiale P di massa m è connesso ad un punto Q da una molla
ideale di costante k e il punto P si muove lungo la verticale per Q, sotto l’azione della gravità.
Il punto Q si muove di moto assegnato: se l’asse verticale diretto verso il basso è l’asse x, allora
xQ = A cos(Ωt). Si chiede di determinare il moto di P e di discutere in dettaglio cosa succede
al variare di Ω. Supponendo che Q abbia massa M , si calcoli la reazione vincolare in Q.
Esercizio 4.4. Un punto materiale P di massa m è connesso tramite N molle ideali a N punti
Q1 , . . . , QN che si muovono di moto assegnato. In particolare, P è connesso a Qj da una molla
ideale di costante kj e Qj si muove secondo la legge ~xj (t) = [Xj + Aj cos(Ωj t)] ~u(j) , essendo
Xj , Aj , Ωj e ~u(j) tre costanti e un vettore assegnati, per j = 1, . . . , N . Il punto è soggetto ad
una forza di attrito viscoso di coefficiente γ. Si determini il moto del punto P . In particolare,
si scriva la condizione di risonanza piena nel caso sotto-smorzato. Determinare le N reazioni
vincolari in Q1 , . . . , QN .
Esercizio 4.5. Si consideri il sistema costituito da due punti materiali P1 e P2 di uguale massa
m e due molle ideali di costante k, tale che P1 è connesso tramite una delle molle ad un punto O
fissato sul “soffitto”, mentre P2 è connesso a P1 tramite l’altra molla (la sequenza dall’alto verso
il basso è O-molla-P1 -molla-P2 ). I due punti sono liberi di oscillare solo lungo l’asse verticale
(asse x orientato verso il basso, con origine in O), sotto l’azione della gravità. Si determini la
posizione di equilibrio del sistema e il moto di oscillazione che questo compie attorno ad essa.
Si determini la reazione vincolare al tempo t in O.
Capitolo 5
Equazioni cardinali
Consideriamo un sistema di punti materiali descritti dalle equazioni di Newton
(i)
(e)
mP ~aP = F~P + F~P ,
(5.1)
dove l’indice P corre su tutti i punti del sistema (che possono essere in numero finito o infinito,
numerabile o meno), e la forza totale F~P agente sul punto P è data dalla somma della forza
totale interna, dovuta all’interazione del punto P con tutti gli altri punti del sistema, con la
forza totale esterna, dovuta all’interazione del punto P con tutto ciò che è considerato esterno
al sistema e contenente anche le eventuali reazioni vincolari agenti sul punto P . Per quanto
(i)
riguarda la forza interna F~P , su di essa facciamo due ipotesi. La prima è che valga il principio di
sovrapposizione, per il quale essa risulta data dalla somma delle forze dovute all’interazione del
punto P con ogni altro punto del sistema stesso. La seconda ipotesi è che per ogni interazione
a due punti valga il principio di azione e reazione. In formule, assumiamo che
X
(i)
f~P Q ;
(5.2)
F~P =
Q:Q6=P
−→
f~P Q = −f~QP ; f~P Q k QP = ~xP − ~xQ .
(5.3)
(e)
Per quanto riguarda la forza esterna F~P non facciamo alcuna ipotesi particolare.
A partire dalle equazioni di Newton (5.1), e facendo uso delle ipotesi (5.2) e (5.3), deduciamo
ora due equazioni generali, le cosı́ dette equazioni cardinali della dinamica dei sistemi di punti
materiali, che descrivono il comportamento del sistema in blocco.
5.1
Prima equazione cardinale
Sommando vettorialmente le equazioni di Newton (5.1) si ottiene
X
X (i) X (e)
mP ~aP =
F~P +
F~P ,
P
P
(5.4)
P
il cui lato destro suggerisce le definizioni di risultante delle forze interne
X (i)
~ (i) ≡
R
F~P
P
45
(5.5)
46
CAPITOLO 5. EQUAZIONI CARDINALI
e di risultante delle forze esterne
~ (e) ≡
R
X
(e)
F~P .
(5.6)
P
Per quanto riguarda il lato sinistro della (5.4) osserviamo che
X
P
d X
d2 X
mP ~aP =
mP ~vP = 2
mP ~xP ,
dt P
dt P
che suggerisce la definizione di un punto geometrico G avente vettore posizione
P
X mP
xP
P mP ~
~xG ≡ P
~xP ,
=
M
P mP
P
(5.7)
detto centro di massa o baricentro del sistema di punti considerato; nella seconda uguaglianza
a destra della (5.7) si è definita la massa totale del sistema
M≡
X
mP .
(5.8)
P
Si osservi che la posizione del baricentro G di un sistema di punti materiali risulta data dalla
combinazione lineare, o somma pesata, dei vettori posizione dei punti del sistema, con il coefficiente P -esimo della combinazione, o peso, dato dalla frazione di massa contenuta nel punto
P ; dunque il baricentro tende ad essere più vicino ai punti con massa maggiore. Si osservi che
il baricentro è un punto geometrico, non necessariamente coincidente con un punto materiale
del sistema. Nel caso di N punti materiali aventi tutti la stessa massa, dalla (5.7) segue che
il baricentro delPsistema ha posizione data dalla media aritmetica delle posizioni dei punti del
sistema: ~xG = P ~xP /N .
Esempio 5.1. Il baricentro di un sistema di N punti materiali di uguale massa, disposti su una
circonferenza ed equispaziati tra loro coincide con il centro della circonferenza (ci si convinca
di questo fatto facendo esempi concreti e/o usando argomenti di simmetria).
Con le definizioni (5.5), (5.6) ed (5.7), l’equazione (5.4) si riscrive in forma compatta
~ (i) + R
~ (e) ,
M ~x¨G = R
(5.9)
che ha la forma suggestiva di una equazione di Newton. Ora, affermiamo che, sotto le ipotesi
(5.2) e (5.3) fatte sopra, cioè supponendo valido il principio di sovrapposizione e il principio di
azione e reazione per le forze interne, si ha
~ (i) = ~0 .
R
(5.10)
5.2. SECONDA EQUAZIONE CARDINALE
47
Dimostriamo questa affermazione. Dalla definizione (5.5), facendo uso della (5.2) e della (5.3)
si ottiene
X (i) X X
X
~ (i) =
R
F~P =
f~P Q =
f~P Q =
P
P
Q:Q6=P
P,Q:Q6=P
1
1
f~P Q +
f~P Q =
2 P,Q:Q6=P
2 P,Q:Q6=P
1 X ~
1 X ~
fP Q +
fQP =
=
2 P,Q:Q6=P
2 Q,P :P 6=Q
1 X
1 X ~
=
fP Q + f~QP =
(~0) = ~0 .
2 P,Q:Q6=P
2 P,Q:Q6=P
=
X
X
Nel calcolo precedente, tra la prima e la seconda riga si è fatto uso dell’identità banale x =
x/2 + x/2; tra la seconda e laP
terza riga si P
sono scambiati gli indici di somma P e Q nella
seconda somma, notando che
=
P,Q:Q6=P
Q,P :P 6=Q ; tra la terza e la quarta riga si sono
raccolti il fattore 1/2 e il simbolo comune di somma, per fare poi uso della prima delle due
ipotesi (5.3) del terzo principio, ottenendo infine il risultato voluto.
Esempio 5.2. Il calcolo appena fatto si capisce considerando un sistema formato da tre punti
(i)
(i)
materiali, indicizzati con i numeri 1, 2, 3. In quel caso F~1 = f~12 + f~13 , F~2 = f~21 + f~23 e
(i)
F~ = f~31 + f~32 . Quindi
3
~ (i) = F~1(i) + F~2(i) + F~3(i) = (f~12 + f~13 ) + (f~21 + f~23 ) + (f~31 + f~32 ) =
R
= (f~12 + f~21 ) + (f~13 + f~31 ) + (f~23 + f~32 ) = ~0 + ~0 + ~0 = ~0 ,
avendo solo permutato i vari termini in modo da sommare a ogni termine il suo opposto.
Osservazione 5.1. Per annullare il risultante delle forze interne si è fatto uso solo della prima
delle due ipotesi (5.3) del principio di azione e reazione.
~ (i) = ~0 nella (5.9) si ottiene la prima equazione cardinale della dinamica dei
Ponendo R
sistemi di punti materiali:
~ (e) ,
M ~x¨G = R
(5.11)
secondo la quale la massa totale per l’accelerazione del baricentro è pari al risultante delle forze
esterne.
5.2
Seconda equazione cardinale
Con lo scopo di dedurre la seconda equazione cardinale della dinamica, moltiplichiamo ora ogni
equazione di Newton (5.1) vettorialmente, da sinistra, per ~xP , ottenendo
(i)
(e)
~xP × mP ~aP = ~xP × F~P + ~xP × F~P .
(5.12)
48
CAPITOLO 5. EQUAZIONI CARDINALI
La parte destra di questa equazione suggerisce le definizioni di momento della forza interna del
punto P
~ (i) ≡ ~xP × F~ (i)
M
(5.13)
P
P
e di momento della forza esterna del punto P
~ (e) ≡ ~xP × F~ (e) .
M
P
P
(5.14)
Per quanto riguarda invece il lato sinistro della (5.12), osserviamo che vale l’identità
d
(~xP × mP ~vP ) = ~xP × mP ~aP ,
dt
(5.15)
che si dimostra facilmente applicando la regola di Leibniz e tenendo conto del fatto che ~vP ×
mP ~vP = ~0. La (5.15) suggerisce di definire la quantità
~ P ≡ ~xP × mP ~vP ,
L
(5.16)
detta momento angolare o momento della quantità di moto 1 del punto P . Facendo uso delle
definizioni (5.13), (5.14), (5.16) e dell’identità (5.15), l’equazione (5.12) si riscrive
~˙ P = M
~ (i) + M
~ (e) .
L
P
P
(5.17)
A questo punto sommiamo su P e otteniamo
X˙
X (i) X (e)
~P =
~ +
~
L
M
M
P
P ,
P
P
(5.18)
P
che chiama in modo naturale le definizioni di momento risultante delle forze interne
X (i)
~ (i) ≡
~ ,
M
M
P
(5.19)
~ (e)
M
P
(5.20)
P
momento risultante delle forze esterne
~ (e) ≡
M
X
P
e momento angolare totale
~ ≡
L
X
~P .
L
(5.21)
P
Tenendo conto delle tre definizioni appena date, la (5.18) si scrive in forma compatta
~˙ = M
~ (i) + M
~ (e) .
L
1
(5.22)
Il secondo nome deriva dal fatto che il prodotto mP ~vP si chiama quantità di moto del punto P e che si
chiama momento di un vettore riferito al punto P il prodotto vettoriale della posizione di P per il vettore stesso.
5.3. USO DELLE EQUAZIONI CARDINALI
49
Affermiamo ora che, supponendo valido il principio di sovrapposizione e il principio di azione e
reazione per le forze interne, si ha
~ (i) = ~0 .
M
(5.23)
Per dimostrarlo scriviamo il risultante dei momenti delle forze interne per esteso, usando in
sequenza le (5.19), (5.13), (5.2) e (5.3):
X (i) X
(i)
~ (i) =
~ =
M
M
~xP × F~P =
P
P
P
!
=
X
P
=
=
=
=
~xP ×
X
f~P Q
=
Q:Q6=P
X
~xP × f~P Q =
P,Q:Q6=P
1 X
1 X
~xP × f~P Q +
~xP × f~P Q =
2 P,Q:Q6=P
2 P,Q:Q6=P
1 X
1 X
~xP × f~P Q +
~xQ × f~QP =
2 P,Q:Q6=P
2 Q,P :P 6=Q
1 X ~
~
~xP × fP Q + ~xQ × fQP =
2 P,Q:Q6=P
i 1 X
1 X h
~
~0 = ~0 .
(~xP − ~xQ ) × fP Q =
2 P,Q:Q6=P
2 P,Q:Q6=P
(5.24)
Qui tra la penultima e l’ultima riga si è usata la prima delle ipotesi (5.3) del terzo principio,
mentre nel penultimo passaggio dell’ultima riga si è usata la seconda ipotesi.
~ (i) = ~0 nell’equazione (5.22) si ottiene la seconda equazione cardinale della
Ponendo M
dinamica dei sistemi di punti materiali
~˙ = M
~ (e) ,
L
(5.25)
secondo la quale la derivata rispetto al tempo del momento angolare totale è uguale al momento
risultante delle forze esterne.
5.3
Uso delle equazioni cardinali
Le equazioni cardinali della dinamica (5.11) e (5.25) sono identità cinematiche, prive in generale
di utilità pratica, a meno che non si restringa l’attenzione a sotto-classi di problemi specifici (come effettivamente faremo). Per capire il motivo di tale affermazione, si cominci con l’osservare
che la posizione di un sistema di n punti materiali in dimensione spaziale D = 3 è determinata
da 3n coordinate di posizione. D’altra parte le equazioni cardinali sono solo 6: 3 componenti
della prima e 3 componenti della seconda. È quindi insensato a priori, in generale, sperare
di usare le equazioni cardinali per ricostruire il moto dell’intero sistema. Questa affermazione
rimane valida anche per n = 2, come vedremo sotto con un esempio.
D’altra parte, si potrebbe sperare di usare le equazioni cardinali per ricavare informazioni
parziali sulla dinamica del sistema. Ad esempio, la prima equazione cardinale ha la forma di
50
CAPITOLO 5. EQUAZIONI CARDINALI
~ (e) . Se R
~ (e) fosse una funzione nota della posizione e
una equazione di Newton: M~aG = R
~ (e) (~xG , ~x˙ G , t), allora la
della velocità del baricentro, ed eventualmente del tempo, cioè se fosse R
prima equazione cardinale sarebbe effettivamente una equazione differenziale (vettoriale) che
potrebbe essere risolta con metodi noti per descrivere il moto del baricentro del sistema. In
generale però il risultante delle forze esterne non è una funzione nota della posizione e della
velocità del baricentro ed è determinato solo quando siano note le posizioni al tempo t di tutti
i punti del sistema, nel qual caso la posizione del baricentro viene determinata semplicemente
dalla sua definizione (5.7). Per la seconda equazione cardinale si fanno considerazioni analoghe:
in generale il momento risultante delle forze esterne non risulta essere una funzione del momento
angolare totale ed è determinato quando siano note le posizioni di tutti i punti del sistema al
tempo t.
Un caso importante in cui le equazioni cardinali della dinamica forniscono una informazione
(e)
rilevante sul moto è quello dei sistemi isolati, per i quali si ha, per definizione, F~P = ~0
~ (e) = ~0 e M
~ (e) = ~0. Allora dalla prima equazione
per ogni P , che a sua volta implica R
¨
cardinale (5.11) segue ~xG = ~0, cioè il baricentro del sistema si muove di moto rettilineo e
uniforme: ~xG (t) = ~xG (0) + ~x˙ G (0)t. Dalla seconda equazione cardinale (5.25) segue invece
~˙ = ~0, ovvero L(t)
~
~
L
= L(0):
il momento angolare totale è costante, il suo valore (vettoriale)
essendo determinato dal dato iniziale.
Il caso in cui le equazioni cardinali risultano necessarie e sufficienti per la descrizione della
dinamica del sistema è quello del corpo rigido, definito come un sistema (finito o infinito) di
punti materiali le cui mutue distanze restano costanti durante il moto: |~xP − ~xQ | = cost. per
ogni coppia di punti (P, Q) del sistema. Si osservi che la posizione di un corpo rigido nello
spazio tridimensionale è determinata da 6 parametri di posizione. Infatti, ad esempio, servono
3 coordinate cartesiane per fissare la posizione di un qualsiasi punto P del corpo. Poi servono
altre due coordinate per fissare la posizione di un secondo punto Q, che si può muovere sulla
sfera di centro P e raggio |~xP − ~xQ |; tali coordinate sono ad esempio un angolo di longitudine
e uno di latitudine. Infine, serve un angolo per determinare la rotazione del corpo attorno alla
retta per P e Q. Quindi si devono determinare 6 parametri di posizione avendo a disposizione,
come osservato sopra, 6 equazioni. Questo è naturalmente solo un argomento di plausibilità,
che funziona per il corpo rigido ma non funziona per un sistema di due punti materiali. Si
può dimostrare che le due equazioni cardinali della dinamica (5.11) e (5.25) costituiscono un
sistema di equazioni differenziali che descrive completamente la dinamica del corpo rigido, anche
in presenza di eventuali vincoli. La stessa affermazione vale, con le dovute modifiche del caso,
per sistemi di corpi rigidi.
5.4
Equazioni cardinali della statica
(i)
(e)
Per un sistema di punti materiali in equilibrio, per il quale vale F~P + F~P = ~0 per ogni P ,
valgono ovviamente le due equazioni cardinali della statica:
~ (e) = ~0 ;
R
(5.26)
~ (e) = ~0 .
M
(5.27)
5.5. SISTEMI DI FORZE APPLICATE
51
Queste si deducono immediatamente dalle equazioni cardinali della dinamica, ponendo ~x¨G = ~0
~˙ = ~0 nella (5.25) (all’equilibrio qualsiasi quantità dipendente da posizioni e
nella (5.11) e L
velocità dei punti materiali è costante, cioè indipendente dal tempo). Naturalmente, come nel
caso della dinamica, e per le stesse ragioni esposte sopra, le equazioni cardinali della statica
sono del tutto inutili ai fini della determinazione della posizione di equilibrio e delle eventuali
reazioni vincolari per un sistema qualsiasi. Per contro, se ci si restringe al caso dei sistemi
di corpi rigidi, le equazioni (5.26) e (5.27) diventano lo strumento standard con il quale si
determinano le configurazioni di equilibrio e le relative reazioni vincolari. In particolare, risulta
che un sistema di corpi rigidi è in equilibrio se per ogni corpo valgono le equazioni cardinali
della statica.
Nel risolvere problemi concreti può essere utile sostituire alcuni corpi reali con corpi ideali che
ne costituiscono una buona approssimazione (quando e come dipenderà dal problema specifico
studiato). Tra questi corpi ideali ce ne sono due particolarmente usati, che sono l’asta ideale e
il filo ideale. L’asta ideale è un’asta rigida di massa e sezione trascurabili sollecitata da forze
applicate esclusivamente ai suoi estremi. L’asta è dunque rappresentata da un segmento di
estremi A e B di assegnata lunghezza. All’equilibrio, se F~A e F~B sono le due forze applicate
agli estremi dell’asta AB si ha
~ (e) = F~A + F~B = ~0
R
(5.28)
e, ponendo ad esempio l’origine in A
→
−→
−→
~ (e) = −
M
AA × F~A + AB × F~B = AB × F~B = ~0 .
A
(5.29)
−→
Dunque F~B = −F~A e F~B k AB, cioè le due forze applicate agli estremi soddisfano le due
condizioni del principio di azione e reazione: sono uguali in modulo, di verso opposto e con
direzione comune la retta per i due rispettivi punti di applicazione. Si dice anche che le due forze
applicate (A, F~A ) e (B, F~B ) costituiscono una coppia di braccio nullo: una “coppia” soddisfa
−→
per definizione la (5.28); il braccio della coppia è la quantità b ≡ |AB| sin α, essendo α(≤ π)
−→ →
−
l’angolo tra AB e F B (se vale la (5.29) ovviamente b = 0). Per un’asta rigida sono possibili
quindi solo due tipi di configurazioni di forze all’equilibrio. Una è quella in cui F~A punta verso
−→
−→
B (ha il verso di AB) e F~B punta verso A (ha il verso di Ba), nella quale si dice che l’asta
lavora come “puntone”. Nell’altra configurazione, con forze girate, si dice che l’asta lavora
come “tirante”. Il filo ideale è invece un filo di massa e sezione trascurabili, inestensibile e
perfettamente flessibile, che resiste solo a trazione, cioè lavora solo come tirante. Ai fini pratici,
quando si ha a che fare con un tirante di massa trascurabile e assegnata lunghezza, l’asta ideale
e il filo ideale sono del tutto equivalenti.
5.5
Sistemi di forze applicate
Motivati dalle equazioni cardinali della statica, discutiamo in dettaglio alcune proprietà generali
dei sistemi di punti materiali sotto l’azione di certe assegnate forze esterne. In particolare,
vogliamo vedere sotto quali condizioni due sistemi di questo tipo possono essere considerati
equivalenti dal punto di vista delle equazioni cardinali, in modo che sipossa sostituire un sistema
complicato di punti e forze con uno più semplice ai fini del calcolo.
52
CAPITOLO 5. EQUAZIONI CARDINALI
Si definisce sistema di forze applicate un insieme della forma {(P, f~P )}P , dove P indica un
punto nello spazio e f~P indica la forza in esso applicata. La notazione { }P è volutamente
aspecifica: P varia in un assegnato insieme di punti nello spazio2 . Si definiscono quindi in
modo naturale il risultante
X
~ ≡
R
f~P
(5.30)
P
e il momento risultante rispetto al polo O
~O ≡
M
X −→
OP × f~P
(5.31)
P
del dato sistema di forze applicate. Si osservi che il momento risultante, a differenza del
risultante, dipende dalla scelta del “polo” di riferimento (cioè dell’origine rispetto alla quale
sono definiti i vettori posizione dei punti). Spostando il polo da O a O0 si ha
X −−→
X −−→ −→
0
~
~
O0 O + OP × f~P =
MO0 =
O P × fP =
P
P
X −→
−−→ X
OP × f~P ,
f~P +
= O0 O ×
p
| {z }
~
R
cioè
|P
{z
}
~O
M
−−→
~ O0 = M
~ O + O0 O × R
~ ,
M
(5.32)
che è la cosı́ detta formula di trasposizione del momento risultante.
Esempio 5.3. Il sistema di due forze applicate (P, f~), (Q, −f~) si chiama “coppia”. Il risultante
della coppia è chiaramente nullo; il momento risultante rispetto ad un polo O è
→
−→
−→
~O = −
M
OP × f~ + OQ × (−f~) = QP × f~ .
Si vede da qui, o dalla formula di trasposizione (5.32) con risultante nullo, che il momento di
una coppia è indipendente dal polo.
Consideriamo ora due sistemi di forze applicate {(P, f~P )}P e {(Q, ~gQ )}Q , con risultanti
X
X
~ =
~=
R
f~P ; S
~gQ
P
Q
e momenti risultanti (rispetto a uno stesso polo O)
X −→
X −→
~O =
~O =
M
OP × f~P ; N
OQ × ~gQ .
P
Q
Più precisamente, assegnato un insieme B di punti nello spazio, si definisce su di esso una funzione a valori
vettoriali P 7→ f~P , che ad ogni punto P ∈ B associa una forza in esso applicata; il sistema di forze applicate
{(P, f~P )}P ∈B è il grafico di tale funzione.
2
5.5. SISTEMI DI FORZE APPLICATE
53
I due sistemi si dicono equivalenti se hanno lo stesso risultante e lo stesso momento risultante,
~ =S
~ eM
~O = N
~ O . Si osservi che se i due sistemi sono equivalenti per una data scelta
cioè R
del polo O, lo sono per qualsiasi altra scelta O0 . Infatti, dalla formula di trasposizione (5.32),
passando da O a O0 otteniamo
−−→
~ O0 = M
~ O + O0 O × R
~
M
e
−−→
~ O0 = N
~ O + O0 O × S
~ ,
N
~ =S
~ eM
~O = N
~ O allora M
~ O0 = N
~ O0 .
dalle quali si vede subito che se R
~ e momento risultante M
~O
Esempio 5.4. Qualsiasi sistema di forze applicate con risultante R
è equivalente al sistema di tre forze applicate
~ , (P1 , F~ ) , (P2 , −F~ ) ,
(O, R)
(5.33)
cioè: “risultante nel polo più coppia opportuna”. Infatti, il risultante del sistema (5.33) è
~ mentre il momento risultante rispetto al polo O è pari al momento risultante
evidentemente R,
−−→
~ O scegliendo ad esempio P1 , P2 e F~ nel
della coppia, ovvero P2 P1 × F~ , che risulta uguale a M
−
−
→
~ O stesso, in modo che P2 P1 , F~ e M
~ O formino una terna destrorsa, con
piano ortogonale a M
−−→ ~
~ O |.
|P2 P1 ||F | = |M
Tra i sistemi di forze applicate risultano particolarmente interessanti i sistemi di forze applicate parallele, della forma {(P, fP û)}P , con le fP costanti assegnate e û versore assegnato. Il
risultante di tale sistema è
!
X
X
~ =
R
fP û =
fP û ≡ R û ,
(5.34)
P
P
mentre il momento risultante rispetto ad O è
X −→
~O =
OP × fP û =
M
P
X
!
−→
fP OP × û .
(5.35)
P
P
Se R = P fP 6= 0, dividendo e moltiplicando il lato destro della precedente uguaglianza per
R stesso si ottiene
P
−→ !
→ ~
P fP OP
~O =
~ ≡−
P
M
×R
OC × R
.
(5.36)
P fP
Il punto C, di vettore posizione definito nella precedente relazione (somma pesata delle posizioni
dei punti P con pesi le fP ), si chiama centro del sistema di forze applicate parallele. Il sistema
di forze applicate parallele con risultante non nulla è equivalente alla singola forza applicata
~
(C, R).
Esempio 5.5. Il classico esempio di forze applicate parallele è quello delle forze peso, ovvero
{(P,
P −mP gẑ)}P . Questo sistema è equivalente alla forza applicata (G, −M gẑ), dove M =
P mP è la massa totale e il centro G del sistema è dato dal baricentro:
P
P
−→
−→
−→
(−mP g)OP
mP OP
P
P
OG = P
= P
.
(5.37)
P (−mP g)
P mP
54
5.6
CAPITOLO 5. EQUAZIONI CARDINALI
Solidi in appoggio ideale
Sia S un solido (corpo rigido) appoggiato sul piano orizzontale {z = 0} (cioè il piano x, y) in
assenza di attrito, e sia A ≡ {A ∈ S : zA = 0} l’insieme dei suoi punti di appoggio. L’insieme
A dei punti di appoggio può essere finito o infinito (numerabile o meno). L’appoggio in
assenza di attrito statico è detto appoggio ideale, ed è caratterizzato dall’assenza di componenti
orizzontali delle reazioni vincolari applicate nei punti di appoggio.
Si definisce poligono di appoggio del solido S il poligono convesso dei suoi punti di appoggio,
ovvero la regione poligonale chiusa Pa ⊂ {z = 0} che ha per vertici alcuni dei punti di appoggio,
che contiene tutti gli altri (internamente o sul bordo) e tale che per ogni coppia di punti di Pa
il segmento che li unisce è interamente contenuto in Pa . Si osservi che assegnati due punti P1
e P2 , il segmento (orientato) che li unisce ha equazione parametrica
−→
−−→
−−→
OP (λ) = (1 − λ)OP1 + λOP2 ,
(5.38)
con 0 ≤ λ ≤ 1, in modo che P (0) = P1 e P (1) = P2 . La convessità del poligono di appoggio
richiede che P (λ) ∈ Pa per ogni coppia di punti P1 , P2 ∈ Pa .
Esempio 5.6. Se A consiste di due punti, Pa è costituito dal segmento che li unisce (estremi
inclusi); se i punti sono tre, non allineati, Pa è costituito dal triangolo con vertici nei tre punti
(incluso il perimetro).
Esempio 5.7. Per un tavolo con gambe a sezione circolare, A è idealmente costituito dall’unione di quattro cerchi (le basi di appoggio delle gambe); il perimetro del poligono di appoggio
Pa si ottiene passando uno spago attorno alla base delle gambe e compiendo un giro completo.
Il solido S è soggetto a due sistemi di forze applicate. Il primo è il sistema di carichi
{(P, −qP ẑ)}P ∈S , con qP > 0 per ogni P . Nel caso “libero” qP = mP g, cioè il sistema di carichi
consiste nelle sole forze peso dei punti materiali del solido; in generale qP ≥ mP g. Il sistema di
~ dove il centro dei carichi Cq ha posizione
carichi è equivalente alla sola forza applicata (Cq , Q),
P
−→
−−→
P ∈S qP OP
,
(5.39)
OCq = P
P ∈S qP
~ è dato da
mentre il risultante Q
!
~ =−
Q
X
qP
ẑ ≡ −Qẑ .
(5.40)
P ∈S
Si definisce centro di pressione del solido appoggiato S la proiezione C∗ sul piano di appoggio del centro Cq del sistema di carichi. In pratica, poiché il piano di appoggio è {z = 0},
se Cq = (X, Y, Z) allora C∗ = (X, Y, 0). Il secondo sistema di forze a cui è soggetto S è il
sistema di reazioni vincolari di appoggio {(A, φA ẑ)}A∈A , con φA ≥ 0 per ogni A (e certamente
~
φA > 0 per qualche A). Il sistema di reazioni è equivalente alla sola forza applicata (Ca , Φ),
dove il centro Ca delle reazioni di appoggio ha posizione
P
−→
−−→
A∈A φA OA
OCa = P
,
(5.41)
A∈A φA
5.6. SOLIDI IN APPOGGIO IDEALE
55
~ delle reazioni è dato
mentre il risultante Φ
!
X
~ =
Φ
φA
ẑ ≡ Φẑ .
(5.42)
A∈A
Osserviamo ora che Ca ∈ Pa , cioè il centro del sistema di reazioni appartiene al poligono di
appoggio. Si consideri infatti una qualsiasi sequenza di punti A, A0 , A00 , · · · ∈ A , con corrispondenti reazioni φA , φA0 , φA00 , . . . . Il centro C 0 del sistema di due reazioni {(A, φA ), (A0 , φA0 )} ha
posizione
−−→
−→
−−→0 φA OA + φA0 OA0
φA −→
φA0 −−→0
=
OA +
OA ,
(5.43)
OC =
φA + φA0
φA + φA0
φA + φA0
ed è quindi della forma (5.38) (i coefficienti della combinazione lineare sono non negativi e a
somma uno). Allora C 0 appartiene al segmento AA0 che a sua volta, per convessità, appartiene
tutto al poligono di appoggio Pa ; quindi C 0 ∈ Pa . Si aggiunga ora il terzo punto A00 . Il centro
C 00 del sistema di tre reazioni {(A, φA ), (A0 , φA0 ), (A00 , φA00 )} ha posizione
−−→
−−→
−→
−−→0
φA OA + φA0 OA0 + φA00 OA00
=
OC =
φA + φA0 + φA00
−−→
−−→
(φA + φA0 )OC 0 + φA00 OA00
=
=
φA + φA0 + φA00
−−→0
−−→00
φA + φA0
φA00
=
OC +
OA ,
φA + φA0 + φA00
φA + φA0 + φA00
(5.44)
dove nel secondo passaggio si è fatto uso della (5.43). Il vettore posizione di C 00 è della forma
(5.38), quindi C 00 appartiene al segmento C 0 A00 . Essendo C 0 e A00 appartenenti a Pa tutto il
segmento C 0 A00 appartiene a Pa e, di conseguenza, C 00 ∈ Pa . Per un numero finito di punti di
appoggio questo procedimento fornisce il centro delle reazioni Ca in un numero finito di passi.
Se invece A è infinito numerabile il procedimento porta a Ca al limite. È evidente che Ca ,
costruito in questo modo, appartiene a Pa , poiché appartiene a Pa il centro costruito ad ogni
passo. Il caso in cui A è infinito non numerabile è più difficile da trattare ma si riconduce al
caso numerabile. Vale il seguente teorema.
Teorema 5.1 (sul centro di pressione). Un solido in appoggio ideale è in equilibrio se e solo se
il centro di pressione appartiene al poligono di appoggio (S è in equilibrio ⇔ C∗ ∈ Pa ).
Dimostrazione. Sappiamo che S è in equilibrio se e solo se sono soddisfatte le equazioni
cardinali della statica. La prima è
~ (e) = Q
~ +Φ
~ = −Qẑ + Φẑ = ~0 ,
R
soddisfatta se e solo se Q = Φ cioè se e solo se
X
X
qP =
φA ,
P ∈S
A∈A
(5.45)
56
CAPITOLO 5. EQUAZIONI CARDINALI
che è sempre vera con una opportuna scelta delle reazioni. La seconda equazione cardinale
della statica, scegliendo C∗ come polo, è
−−→ ~ ~
~ (e) = −
M
C∗ Ca × Φ
=0,
(5.46)
C∗
−−−→
−−→
−−→
~ = ~0 poiché −
~ Tenendo conto del fatto che −
~ e che
essendo C∗ Cq × Q
C∗ Cq k Q.
C∗ Ca ⊥ Φ,
−
−
−
→
~ 6= ~0, l’equazione (5.46) può essere soddisfatta se e solo se C∗ Ca = ~0, cioè se e
ovviamente Φ
solo se C∗ = Ca ∈ Pa .
5.7
Esercizi
Esercizio 5.1. Risolvere esplicitamente le equazioni cardinali della dinamica nel caso di un
(e)
sistema di punti materiali soggetti, come forze esterne, alla sola forza peso: F~P = −mP gẑ.
Esercizio 5.2. Si considerino N elettroni, di carica elettrica “−e” e massa m, soggetti, come
forze esterne, alla Forza di Lorentz dovuta ad un campo magnetico uniforme e costante B0 ẑ:
(e)
F~P = − ec ~vP × B0 ẑ. Si scriva e si risolva la prima equazione cardinale della dinamica del
sistema. Si scriva la seconda equazione cardinale e se ne consideri la componente z, mostrando
che essa implica una legge di conservazione (cioè l’esistenza di una costante del moto).
Esercizio 5.3. Si consideri un sistema costituito da due aste ideali identiche AB e BC, di
lunghezza L, con un estremo comune in B. I due estremi A e C sono bloccati in modo che sia
l’asta AB che l’asta BC sono inclinate di un angolo α rispetto alla retta per A e C. In B è
applicata una forza F~ complanare alle aste. Scrivere la condizione di equilibrio del sistema e
determinare le reazioni vincolari in A e in C.
Suggerimento: risolvere prima con le equazioni cardinali della statica e poi scomponendo la
forza lungo le direzioni delle due aste.
Osservazione: se si sostituiscono le aste ideali con due fili ideali di lunghezza L non cambia
nulla finché la forza F~ è tale che entrambi i fili lavorano come tiranti.
Esercizio 5.4. Si consideri un sistema costituito da due punti materiali di massa m1 ed m2
collegati da una molla ideale di costante k. Determinare il moto del sistema.
Suggerimento: scrivere e risolvere le due equazioni cardinali della dinamica; scrivere e
risolvere l’equazione per lo spostamento relativo.
Esercizio 5.5. In un piano verticale, un’asta rigida AB di lunghezza L e massa M è poggiata a
terra in A e alla parete in B. L’appoggio in B è privo di attrito, mentre in A si ha attrito statico
di coefficiente fs . Sia α(< π/2) l’angolo di inclinazione dell’asta rispetto al piano orizzontale.
Sul sistema agisce la gravità. Determinare le reazioni vincolari in A e in B; determinare il
valore minimo dell’angolo di inclinazione affinché l’asta sia in equilibrio.
Esercizio 5.6. Una sfera rigida di raggio R e massa M è poggiata contro un gradino di altezza
h < R. Siano C il punto di appoggio della sfera sul pavimento e A il punto di appoggio della
sfera sullo spigolo del gradino. La sfera è spinta contro il gradino con una forza orizzontale F~
applicata ad altezza R + r rispetto al punto C (−R + h < r < R). Sul sistema agisce la gravità.
Calcolare le reazioni vincolari in C e A; determinare il valore minimo di |F~ | necessario a far
staccare la sfera da terra facendo perno in A.
5.7. ESERCIZI
57
Esercizio 5.7. Un’asta rigida OC di massa M e lunghezza L è appoggiata sul piano orizzontale
nei punti A e B, tali che 0 < xA < xB < L. Un carico q > 0 agisce nell’estremo C dell’asta,
oltre alla gravità. Determinare le reazioni in A e in B e le condizioni che devono essere
soddisfatte dal carico affinché il sistema sia in equilibrio. Ricavare le condizioni di equilibrio
facendo uso del teorema sul centro di pressione.
Esercizio 5.8. Una gru è schematizzata da un sistema composto da tre aste rigide (più un
contrappeso opportuno). La prima asta, OA, di lunghezza a, giace lungo l’asse x (xO = 0,
xA = a), apoggiata negli estremi O e A, senza attrito. La seconda asta parte dal centro della
prima, parallela all’asse y. La terza è incernierata sull’estremo superiore della seconda, disposta
orizzontalmente nel piano x, y; l’avambraccio, cioè la porzione che va dalla cerniera all’estremo
più lontano (a destra) ha lunghezza L. La gru, di massa totale M , porta un carico q = mg, di
ascissa x̄ (a < x̄ < L). Il baricentro della gru scarica ha ascissa xG = γ, 0 < γ < a. Facendo
uso del teorema sul centro di pressione, determinare l’intervallo di variabilità di x̄ affinché la
gru sia in equilibrio; determinare poi il valore massimo per la massa del carico m affinché la
gru possa sfruttare tutta la lunghezza dell’avambraccio. Ripetere l’analisi precedente facendo
uso delle equazioni cardinali della statica e determinando, in particolare, le reazioni di appoggio
in O e in A.
Esercizio 5.9. Un modello di arco è costituito da cinque punti materiali di uguale massa
m, disposti nel piano verticale x, y. Il primo punto al vertice è collegato ai due punti vicini
(disposti simmetricamente più in basso, uno a sinistra e uno a destra) tramite due aste ideali
uguali di lunghezza fissata e inclinate ognuna di un angolo α rispetto all’asse x. Ognuno dei due
punti in questione è collegato a sua volta ad un altro punto, poggiato a terra (cioè sull’asse x),
tramite un’asta ideale di lunghezza fissata inclinata di un angolo β rispetto all’asse x (l’angolo
di inclinazione è per definizione quello minore o uguale a π/2). Assegnato α, determinare il
valore di β affinché il sistema sia in equilibrio. Determinare il valore delle reazioni vincolari
nei punti di appoggio.
58
CAPITOLO 5. EQUAZIONI CARDINALI
Capitolo 6
Geometria delle masse I: baricentro
6.1
Proprietà di composizione
Sia dato un sistema di punti materiali, o “corpo” C e sia mP la massa del generico punto
P ∈ C . Ricordiamo che C ha massa totale
X
M=
mP
(6.1)
P ∈C
e baricentro G di posizione
−→
mP OP
.
M
Siano ora C1 , C2 due sottocorpi costituenti una partizione di C :
−→
OG =
P
P ∈C
(6.2)
C1 ∪ C2 = C ; C1 ∩ C2 = ∅ .
(6.3)
Per ognuno di essi possiamo definire una massa totale e un baricentro:
X
X
M1 =
mP ; M2 =
mP ;
P ∈C1
−−→
OG1 =
P
(6.4)
P ∈C2
P
−→
−→
mP OP
−−→
P ∈C2 mP OP
; OG2 =
;
M1
M2
P ∈C1
(6.5)
Vale la seguente proposizione.
Proposizione 6.1 (Teorema di composizione del baricentro). Per ogni partizione del corpo C
in due sottocorpi C1 , C2 si ha
−−→
−−→
−→ M1 OG1 + M2 OG2
OG =
.
(6.6)
M1 + M2
Dimostrazione. Tenendo conto delle definizioni (6.4)-(6.5) e delle proprietà (6.3) si trova
X
X
X
X
mP =
mP =
mP = M ;
M1 + M2 =
mP +
P ∈C1
P ∈C2
P ∈C1 ∪C2
59
P ∈C
60
CAPITOLO 6. GEOMETRIA DELLE MASSE I: BARICENTRO
X
−−→
−−→
−→ X
−→
M1 OG1 + M2 OG2 =
mP OP +
mP OP =
P ∈C1
P ∈C2
X
−→ X
−→
mP OP =
mP OP .
P ∈C1 ∪C2
P ∈C
Il rapporto di queste due quantità è quindi dato da
P
−→
−−→
−−→
−→
M1 OG1 + M2 OG2
P ∈C mP OP
=
= OG .
M1 + M2
M
La proposizione appena dimostrata risulta utilissima se si è in grado di calcolare o determinare la posizione del baricentro dei due sottocorpi costituenti la partizione. Si osservi che
dalla formula (6.6) segue che il baricentro G è posizionato sul segmento G1 G2 , più vicino al
baricentro del sottocorpo più massivo. Si noti anche che quanto detto per una partizione in
due sottocorpi vale per una partizione costituita da un arbitrario numero di sottocorpi. Infatti,
dati C1 e C2 , si può eseguire una partizione in due sottocorpi di uno di essi o di entrambi ed
applicare a tale partizione i ragionamenti appena fatti. Ne risulta allora una partizione a tre
o a quattro sottocorpi del corpo iniziale C ; il procedimento si può quindi iterare per dare una
partizione complessiva del corpo iniziale in un numero arbitrario di sottocorpi. In definitiva, se
C1 , . . . , Cn costituiscono una qualsiasi partizione di C in n sottocorpi, cioè soddisfano
C1 ∪ · · · ∪ Cn = C ; Ci ∩ Cj = ∅ se i 6= j ,
e M1 , . . . , Mn , G1 , . . . , Gn denotano le rispettive masse e i rispettivi baricentri (con definizione
ovvia), si ha
Pn
−−→
−→
i=1 Mi OGi
P
.
OG =
n
i=1 Mi
6.2
Simmetria materiale
Se definisce piano (o retta) di simmetria materiale di un corpo C un piano “geometrico” π
(una retta “geometrica” r) che può contenere punti di C e tale che per ogni punto P ∈ C di
massa mP non appartenente a π (r) esiste un punto P 0 ad esso speculare rispetto a π (r)1 di
uguale massa: mP 0 = mP .
Si noti che, in generale, non basta la simmetria geometrica: se anche per un punto soltanto
non sul piano ne esiste uno ad esso speculare ma di massa diversa, allora il piano in questione
è un piano di simmetria geometrica ma non è un piano di simmetria “materiale”. Nel caso
di corpi continui nella definizione data sopra si deve sostituire la condizione di uguaglianza
delle masse dei punti speculari con l’uguaglianza della densità: ρ(P ) = ρ(P 0 ). In particolare,
per corpi omogenei, cioè di densità costante (indipendente dal punto), la simmetria materiale
equivale a quella geometrica. Vale la seguente importantissima proposizione.
Proposizione 6.2. Se il corpo C ammette un piano π (una retta r) di simmetria materiale,
allora il suo baricentro G appartiene a π (r).
P 0 è speculare a P rispetto a π (r) se il segmento P P 0 è ortogonale a π (r) e interseca π (r) nel suo punto
medio.
1
6.3. ESERCIZI
61
Dimostrazione. Consideriamo la partizione di C costituita da tutti gli eventuali punti di C
appartenenti a π (r) e da tutte le coppie di punti speculari rispetto a π (r). Il baricentro dei
punti di C appartenenti a π (r) giace, ovviamente, su π (r). Inoltre, poiché da mP = mP 0 segue
che
−−→
−→ −−→0
−→
OP + OP
mP OP + mP 0 OP 0
=
,
mP + mP 0
2
il baricentro di ogni coppia di punti speculari P, P 0 si trova sul punto medio del segmento P P 0 e
quindi appartiene a π (r). Dunque il baricentro di ogni sottocorpo della partizione appartiene a
π (r) e quindi per composizione il baricentro di C , che ha posizione data da una combinazione
lineare delle posizioni dei baricentri dei sottocorpi, appartiene a π (r).
Un corollario immediato della precedente proposizione è che se C ammette due piani (rette)
π e π 0 (r e r0 ) di simmetria materiale, allora il baricentro G di C appartiene alla loro intersezione π ∩ π 0 (r ∩ r0 ). Analogamente, se C ammette un piano π e una retta r di simmetria
materiale, allora G ∈ π ∩ r (la dimostrazione di questi fatti è del tutto ovvia). Ne segue che
per un corpo piano (lastra o piastra continua, sistema discreto di punti, ecc..) due rette di simmetria materiale individuano la posizione del baricentro, mentre per un corpo tridimensionale
il baricentro è individuato da tre piani di simmetria materiale, da tre rette oppure da un piano
e una retta ad esso trasversale. In questo modo si dimostra, senza fare alcun calcolo, che il
baricentro di una lastra piana di forma ad esempio rettangolare, circolare o poligonale regolare
si trova nel centro geometrico della lastra stessa. Analogamente si dimostra che il baricentro
di una sfera omogenea piena, di un guscio sferico omogeneo, di un parallelepipedo omogeneo a
base poligonale regolare, di un cilindro omogeneo, ecc.., giace nel centro dell’oggetto stesso.
6.3
Esercizi
Esercizio 6.1. Disegnare lo schema di una gru con contrappesi e carico. Usando la composizione e la simmetria, senza eseguire calcoli, individuare graficamente la posizione del baricentro.
Esercizio 6.2. Calcolare la posizione del baricentro di una sfera omogenea di Raggio R e
densità ρ, nella quale sia stata scavata una cavità sferica di raggio r, centrata a distanza d dal
centro geometrico della sfera (d+r < R). Calcolare la posizione del baricentro nel caso in cui la
cavità viene riempita omogeneamente con materiale di densità ρ0 . Procedere per composizione:
la sfera piena può essere vista come unione di quella cava e della sferetta estratta.
Esercizio 6.3. Calcolare la posizione del baricentro di una lastra circolare omogenea di Raggio
R e densità ρ, nella quale sia stato praticato un foro circolare di raggio r, centrato a distanza
d dal centro geometrico della lastra (d + r < R). Calcolare la posizione del baricentro nel caso
in cui il foro viene riempito omogeneamente con materiale di densità ρ0 .
Esercizio 6.4. Calcolare la posizione del baricentro di una lastra quadrata omogenea di massa
M , lato a, con tre punti materiali di massa m ciascuno, di cui due attaccati ai due vertici
di uno dei lati e il terzo attaccato al centro di uno dei due lati adiacenti al primo. Procedere
usando la definizione e poi usando la composizione.
62
CAPITOLO 6. GEOMETRIA DELLE MASSE I: BARICENTRO
Esercizio 6.5. Calcolare la posizione del baricentro di una lastra quadrata omogenea di lato a,
con un foro quadrato di lato b e centro C situato su un asse della lastra a distanza d dal centro.
Trattare anche il caso in cui il centro C del foro è situato sulla diagonale della lastra.
Capitolo 7
Lavoro ed energia
7.1
Teorema dell’energia cinetica
Consideriamo un sistema di punti materiali il cui moto è descritto dalle equazioni di Newton
mP ~aP = f~P ,
(7.1)
al variare di P nel sistema. Moltiplicando scalarmente l’equazione (7.1) per ~vP , e tenendo conto
del fatto che
d |~vP |2
d ~vP · ~vP
˙
=
,
~vP · ~aP = ~vP · ~vP =
dt
2
dt 2
si ottiene
d
dt
mP |~vP |2
2
= f~P · ~vP .
La quantità tra parentesi a sinistra si chiama energia cinetica del punto materiale P , mentre
quella a destra, il prodotto scalare di forza e velocità, è la potenza istantanea della forza applicata al punto P . Sommando l’ultima equazione su P e definendo l’energia cinetica (totale) K
del sistema di punti come
X mP |~vP |2
,
(7.2)
K≡
2
P
si ottiene l’identità
K̇ =
X
f~P · ~vP ,
(7.3)
P
ovvero: la derivata dell’energia cinetica è pari alla potenza istantanea totale delle forze agenti
sul sistema. Integrando la (7.3) rispetto al tempo tra t1 e t2 si ottiene
Z
t2
∆K ≡ K(t2 ) − K(t1 ) =
t1
X
f~P · ~vP dt ,
(7.4)
P
cioè: la variazione di energia cinetica in un dato intervallo di tempo è pari all’integrale su tale
intervallo della potenza istantanea. Tenendo ora conto del fatto che ~vP dt = d~xP (è la definizione
63
64
CAPITOLO 7. LAVORO ED ENERGIA
di velocità istantanea scritta in forma differenziale), si definisce la forma differenziale
X
δL ≡
f~P · d~xP ,
(7.5)
P
che si chiama lavoro infinitesimo compiuto dalle forze agenti sul sistema nello spostamento
infinitesimo {d~xP }. Indichiamo ora con γ il cammino (la curva) che connette i punti {~xP (t1 )}
e {~xP (t2 )} nello spazio delle configurazioni del sistema, ovvero
γ : t 7→ {~xP (t)} , t ∈ [t1 , t2 ] ,
essendo {~xP (t)} la soluzione del sistema di equazioni di Newton (7.1) corrispondente a un
assegnato dato iniziale {~xP (0)}, {~vP (0)}. L’identità (7.4) si può quindi riscrivere come
Z
∆K = δL ,
(7.6)
γ
ovvero: la variazione di energia cinetica è pari al lavoro compiuto dalle forze agenti sul sistema
lungo il cammino γ. Le identità (7.3), (7.4) e (7.6) sono formulazioni equivalenti del cosı́ detto
“teorema dell’energia cinetica”.
7.2
Forze conservative
In generale, cioè per una scelta qualsiasi del sistema di forze, il lavoro infinitesimo (7.5) non è
un differenziale esatto, cioè non è il differenziale totale di una
R funzione delle posizioni dei punti
materiali del sistema. Equivalentemente, il lavoro totale γ δL dipende dall’intero cammino γ
H
e non solo dai due punti estremi {~xP (t1 )} e {~xP (t2 )}, ovvero l’integrale δL su un qualsiasi
cammino chiuso non è necessariamente nullo. Si vede facilmente che la forma differenziale δL
è esatta, cioè è il differenziale totale di una funzione definita nello spazio delle configurazioni,
se e solo se esiste una funzione U ({~xP }) tale che, per ogni P
∂U
= −∇P U ,
f~P = −
∂~xP
(7.7)
ovvero fP j = −∂U/∂xP j per ogni j = 1, . . . , D e per ogni P . Infatti se esiste U verificante la
(7.7) allora
X ∂U
δL = −
· d~xP = −dU = d(−U ) ,
∂~xP
P
cioè δL è il differenziale totale di −U . Viceversa, se δL = dL (cioè se la forma differenziale che
definisce il lavoro infinitesimo è esatta), allora f~P = ∂L/∂~xP e quindi esiste la funzione U = −L,
definita dall’integrale di δL = dL lungo un cammino qualsiasi che connette una origine fissata
con un punto generico dello spazio delle configurazioni. La funzione U di cui sopra si chiama
energia potenziale del sistema ed è chiaramente definita a meno di una costante arbitraria. Le
forze che verificano la condizione (7.7) si dicono conservative, perché in tale caso il teorema
dell’energia cinetica assume la forma di una legge di conservazione. Infatti, se δL = −dU si ha
Z
Z t2
∆K = − dU = −
U̇ dt = −U (t2 ) + U (t1 ) ≡ −∆U ,
γ
t1
7.3. VINCOLI IDEALI: PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI
65
ovvero ∆(K + U ) = 0, che implica la legge di conservazione
K({~vP }) + U ({~xP }) = E ,
(7.8)
dove E è una costante il cui valore è fissato dai dati iniziali: E ≡ K({~vP (0)}) + U ({~xP (0)}). La
funzione H ≡ K + U , somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, si chiama energia
totale del sistema e la legge di conservazione (7.8), cioè H = E, si chiama legge di conservazione
dell’energia.
Esempio 7.1. Per un punto materiale non soggetto a forze si conserva l’energia cinetica H =
K = m|~v |2 /2.
Esempio 7.2. Per un punto materiale che si muove lungo la verticale, soggetto alla propria
forza peso, −mg = −dU/dz implica U (z) = mgz; quindi si conserva l’energia totale H =
mv 2 /2 + mgz.
Esempio 7.3. Nel moto armonico unidimensionale, −kx = −dU/dx implica U = kx2 /2;
quindi si conserva l’energia totale
(mv 2 + kx2 )/2. L’insieme di livello H = E nel piano
p H =p
x, v è una ellisse di semiassi 2E/k e 2E/m, che viene percorsa in senso orario.
7.3
Vincoli ideali: principio dei lavori virtuali
Consideriamo un sistema di punti materiali soggetto a vincoli, le cui equazioni di Newton sono
(a)
~P ,
mP ~aP = F~P + φ
(7.9)
(a)
avendo separato nella forza agente sul punto P il contributo della forza attiva F~P da quello della
~ P . I vincoli considerati possono essere fermi o in movimento; si considera
reazione vincolare φ
solo il caso di vincoli bilateri (ed esempio punto vincolato a muoversi su una superficie).
Si definisce spostamento virtuale infinitesimo δ~xP ogni spostamento infinitesimo del punto
P compatibile con i vincoli “bloccati” (tenuti fermi). Nel caso di vincoli in movimento δ~xP 6=
d~xP = ~vP dt, cioè lo spostamento virtuale del punto P non è uno spostamento “possibile” del
punto. Si consideri ad esempio un punto materiale vincolato a muoversi su un pavimento che
sale con velocità costante v0 lungo la verticale (persona in ascensore). In tale caso si ha d~xP =
~vk dt + v0 ẑdt, essendo ~vk la “reale” velocità istantanea del punto parallela al pavimento. D’altra
parte, per definizione, δ~xP = ~uk dt, dove ~uk è una qualsiasi velocità parallela al pavimento.
Quindi d~xP − δ~xP = (~v − ~u)dt + v0 ẑdt, che è sempre diverso da ~0 se v0 6= 0. D’altra parte, se
v0 = 0, allora d~xP = δ~xP con la scelta ~u = ~v .
Per un singolo punto vincolato ad una superficie δ~xP è un qualsiasi vettore (infinitesimo) sul
piano tangente alla superficie nel punto P . In questo caso sappiamo che l’idealità del vincolo,
~ P alla superficie nel punto P , ovvero da
cioè l’assenza di attrito, è espressa dalla ortogonalità di φ
~ P · δ~xP = 0: il lavoro compiuto dalla reazione lungo ogni spostamento virtuale (infinitesimo) è
φ
nullo. Per analogia, la caratterizzazione dei vincoli (bilateri) ideali per sistemi generali di punti
materiali è data dalla seguente ipotesi:
66
CAPITOLO 7. LAVORO ED ENERGIA
Dato un sistema di punti materiali soggetti a vincoli bilateri ideali, il lavoro totale compiuto dalle reazioni vincolari lungo ogni spostamento virtuale (infinitesimo) dell’intero sistema è
nullo:
X
~ P · δ~xP = 0 .
δL(v) ≡
φ
(7.10)
P
(a)
~ P = mP ~aP − F~
Ora, dal sistema di equazioni di Newton (7.9) si ricava φ
P
(7.10) fornisce
X
(a)
~
mP ~aP − FP · δ~xP = 0 ∀{δ~xP } ,
che, inserita nella
(7.11)
P
relazione nota come principio di d’Alambert e punto di partenza per la meccanica lagrangiana.
In sostanza, con una opportuna scelta di spostamenti virtuali indipendenti, la (7.11) permette
di ricavare equazioni del moto “libere” da reazioni vincolari incognite, che vengono poi calcolate
a posteriori. Nel caso particolare della statica, il principio di d’Alambert (7.11) diventa il cosı́
detto principio dei lavori virtuali :
δL(a)
eq ≡
X
(a)
F~P · δ~xP = 0 ∀{δ~xP } ,
(7.12)
P
che esprime l’annullarsi del lavoro compiuto dalle forze attive lungo ogni spostamento virtuale
infinitesimo rispetto all’equilibrio. Si noti che le forze attive comprendono, in generale, sia le
forze interne che le forze esterne. Il principio dei lavori virtuali (7.12) viene utilizzato in pratica
per calcolare le reazioni vincolari, facendo uso di un trucco. Dato un sistema di punti soggetto
a vincoli, si “libera” un vincolo e si promuove a forza attiva la reazione che il vincolo esercitava.
Si considerano quindi degli spostamenti virtuali del sistema tali che la (7.12) fornisca un sistema
di equazioni lineari per la forza attiva (ex reazione vincolare) incognita.
7.4
Esercizi
Esercizio 7.1. Trovare l’espressione dell’energia totale H (conservata) per una coppia di punti
materiali P e Q, di masse rispettive mP ed mQ , collegati da una molla ideale di costante k e
soggetti alla propria forza peso.
Esercizio 7.2. Trovare l’espressione dell’energia totale H (conservata) per due punti materiali
di uguale massa m appesi in serie lungo la verticale, secondo lo schema molla-punto-molla-pinto,
le due molle essendo ideali e di uguale costante k.
Esercizio 7.3. Trovare l’espressione dell’energia totale H (conservata) per N elettroni interagenti (repulsione coulombiana) e soggetti ad un campo magnetico uniforme e costante B0 ẑ.
Suggerimento: calcolare la potenza delle forze di Lorentz.
Esercizio 7.4. Facendo uso del principio dei lavori virtuali calcolare le reazioni di appoggio di
una trave OC di lunghezza L, massa M , appoggi in A e B tali che 0 < xA < xB < L e carico
q in C.
7.4. ESERCIZI
67
Esercizio 7.5. Considerare una leva all’equilibrio, cioè un’asta AB incernierata nel punto O
(fulcro) tale che il segmento OA è lungo a e il segmento OB è lungo b. L’asta è soggetta alle
~ O ). Si determini la condizione di equilibrio della
forze (A, F~A ), (B, F~B ) e alla reazione (O, φ
leva facendo uso del principio dei lavori virtuali. Si liberi il fulcro e, sempre facendo uso del
principio dei lavori virtuali, si calcoli la reazione in O. Si analizzi il problema facendo uso delle
equazioni cardinali della statica.
68
CAPITOLO 7. LAVORO ED ENERGIA
Capitolo 8
Cinematica relativa e rigida
8.1
Legge di Newton in un sistema non inerziale
Sia S un sistema di riferimento inerziale in cui è fissata una terna ortonormale (O, ê1 , ê2 , ê3 ). Si
consideri un sistema di riferimento S 0 che si muove rispetto a S di moto qualsiasi. In S 0 è fissata
una terna ortonormale (O0 , ê01 , ê02 , ê03 ) (O e O0 sono le rispettive origini delle due terne; si ricorda
che un asse nello spazio - cioè una retta orientata - è individuato da una coppia punto-vettore).
I versori di base di S sono fissi, cioè indipendenti dal tempo, mentre i versori di base di S 0 sono
mobili, cioè dipendono dal tempo. Senza perdita di generalità si può sempre pensare che la
base fissa sia quella canonica. Sia P un punto materiale di massa m che si muove nello spazio.
La dinamica di P nel sistema S è descritta dall’equazione di Newton m~a = f~, essendo f~(~x, ~x˙ , t)
la risultante delle forze agenti su P . Vogliamo capire se e come si modifica tale legge se il moto
del punto P viene osservato nel sistema mobile (e in generale non inerziale) S 0 . La motivazione
per tale studio nasce dalla necessità di spiegare la natura di certe forze che si manifestano nei
sistemi non inerziali: le cosı́ dette forze apparenti (cioè forze non riconducibili alla interazione
tra corpi). Introduciamo a tale scopo i seguenti tre vettori in S (espressi cioè come combinazioni
lineari dei vettori di base êj , j = 1, 2, 3):
−→
• OP ≡ ~x = x1 ê1 + x2 ê2 + x3 ê3 ;
−−→
• O0 P ≡ ~x0 = x01 ê1 + x02 ê2 + x03 ê3 ;
−−→
• OO0 ≡ ~r = r1 ê1 + r2 ê2 + r3 ê3 .
−→ −−→ −−→
Vale ovviamente OP = OO0 + O0 P , ovvero
~x = ~r + ~x0 .
(8.1)
−−→
D’altra parte, il vettore O0 P può essere scritto nella base di S 0 , con coordinate X1 , X2 e X3 .
Allora deve valere l’identità
x01 ê1
+
x02 ê2
+
x03 ê3
=
X1 ê01
+
X2 ê02
+
X3 ê03
⇔
3
X
j=1
69
x0j êj
=
3
X
j=1
Xj ê0j .
70
CAPITOLO 8. CINEMATICA RELATIVA E RIGIDA
Moltiplicando scalarmente da sinistra per êi si ottiene
x0i
=
3
X
(êi ·
ê0j )Xj
≡
j=1
3
X
Rij Xj ,
j=1
dove si è introdotta la matrice R(t), 3 × 3, il cui elemento ij (riga i, colonna j) è definito da
Rij (t) ≡ êi · ê0j (t) .
(8.2)
Dunque l’identità (8.1) si riscrive (in S)
~ ,
~x = ~r + RX
(8.3)
dove
~ ≡ X1 ê1 + X2 ê2 + X3 ê3 .
X
(8.4)
−
−
→
~ appena definito e il vettore O0 P scritto in S 0 hanno le stesse componenti,
Si noti che il vettore X
ma in due basi diverse. Si dimostra facilmente che la matrice R(t) definita in (8.2) è, per ogni
t fissato, una matrice ortogonale o, più precisamente, una matrice di rotazione, cioè soddisfa le
condizioni
RT R = I3 ; det R = 1 .
(8.5)
Infatti vale
T
(R R)ik =
3
X
T
(R )ij Rjk =
j=1
= ê0i ·
=
Rji Rjk
3
X
=
(êj · ê0i )(êj · ê0k ) =
j=1
3
X
!
êi êi
j=1
ê0i ê0k
3
X
= (I3 )ik ,
· ê0k = ê0i ·
j=1
3
X
!
êi êTi
ê0k = ê0i · I3 ê0k =
j=1
(8.6)
dove nell’ultimo passaggio si è tenuto conto della ortonormalità dei versori di base in S 0 . La
condizione RT R = I3 (equivalente a RRT = I3 ) definisce le matrici ortogonali 3 × 3. Queste
hanno determinante di modulo unitario: det(RT R) = (det R)2 = det I3 = 1. È naturale
supporre che a qualche istante di tempo, ad esempio a t = 0, la base di S 0 coincida con quella
di S, e che il moto di ogni asse di S 0 sia continuo, in modo che sia continua la dipendenza dal
tempo di R(t). Allora det R(0) = 1 e quindi det R(t) = 1 per ogni t, essendo det R una funzione
continua degli elementi di R: det R(t) è una funzione continua che può assumere solo due valori,
ovvero ±1; se a t = 0 vale +1 non può “saltare” al valore −1. Le matrici di rotazione sono
definite appunto come il sotto-gruppo delle matrici ortogonali 3 × 3 con determinante +1.
~ cosa che si ottiene derivando
Vogliamo ora ricavare l’equazione di Newton per il vettore X,
~¨ in funzione di tutti gli altri
rispetto al tempo l’identità (8.3) due volte ed esplicitando mX
termini. Derivando una prima volta la (8.3) otteniamo
~ + RX
~˙ = ~r˙ + R RT ṘX
~ +X
~˙ .
~x˙ = ~r˙ + ṘX
(8.7)
8.1. LEGGE DI NEWTON IN UN SISTEMA NON INERZIALE
71
Ora, si vede facilmente che la matrice A ≡ RT Ṙ introdotta nell’ultimo passaggio sopra è
antisimmetrica. Infatti, derivando rispetto al tempo l’identità RT R = I3 , si ottiene
ṘT R + RT Ṙ = 0 ⇔ ṘT R = −RT Ṙ ,
da cui segue che
AT = (RT Ṙ)T = ṘT R = −RT Ṙ = −A .
Una matrice antisimmetrica 3 × 3 è univocamente determinata da tre parametri, cioè dagli
elementi di matrice che non giacciono sulla diagonale principale (quelli su tale diagonale sono
nulli); pertanto A è necessariamente della forma


0
−Ω3 Ω2
0
−Ω1  .
A =  Ω3
(8.8)
−Ω2 Ω1
0
L’azione di A su un qualsiasi vettore ~u = u1 ê1 + u2 ê2 + u3 ê3 è data da

 


Ω2 u3 − Ω3 u2
0
−Ω3 Ω2
u1
~ × ~u ,
0
−Ω1   u2  =  Ω3 u1 − Ω1 u3  = Ω
A~u =  Ω3
Ω1 u2 − Ω2 u1
−Ω2 Ω1
0
u3
~ ≡ Ω1 ê1 +Ω2 ê2 +Ω3 ê3 . Si osservi che AΩ
~ = ~0, cioè Ω
~ è l’autovettore di
avendo definito il vettore Ω
~
A corrispondente all’autovalore nullo. Il vettore Ω(t)
si chiama velocità angolare di S 0 rispetto
0
a S, misurata in S . L’introduzione di tale vettore permette di riscrivere la (8.7) nel modo
seguente:
h
i
~ ×X
~ +X
~˙ .
~x˙ = ~r˙ + R Ω
(8.9)
Derivando ancora una volta rispetto al tempo otteniamo
h
i
h
i
˙
˙
˙
¨
¨
¨
~
~
~
~
~
~
~
~
~x = ~r + Ṙ Ω × X + X + R Ω × X + Ω × X + X =
h
i
~ ×X
~ +X
~˙ + Ω
~˙ × X
~ +Ω
~ ×X
~˙ + X
~¨ =
= ~r¨ + R RT Ṙ Ω
h
i
~ × Ω
~ ×X
~ +X
~˙ + Ω
~˙ × X
~ +Ω
~ ×X
~˙ + X
~¨ =
= ~r¨ + R Ω
h
i
~ ×X
~ +Ω
~˙ × X
~ + 2Ω
~ ×X
~˙ + X
~¨ .
~ × Ω
= ~r¨ + R Ω
(8.10)
Riscrivendo quest’ultima identità ~x¨ − ~r¨ = R[· · · ] e moltiplicando da sinistra per RT , isoliamo
~¨ e portando tutti gli altri
la parentesi quadra [· · · ] = RT (~x¨ − ~r¨). Lasciando a sinistra solo X
termini nella parentesi quadra a destra dell’uguale otteniamo
¨
˙
T¨
T¨
~
~
~
~
~
~
~ ×X
~˙ .
X = R ~x − R ~r − Ω × X − Ω × Ω × X − 2Ω
A questo punto moltiplichiamo per la massa m del punto materiale e teniamo conto del fatto
che m~x¨ = f~(~x, ~x˙ , t), ottenendo la legge di Newton
~¨ = F~ + F~it + F~ir + F~cen + F~Cor ,
mX
(8.11)
72
dove
CAPITOLO 8. CINEMATICA RELATIVA E RIGIDA
h
i ~ X,
~ ~r˙ + R Ω
~˙ t) ≡ RT f~ ~r + RX,
~ ×X
~ +X
~˙ , t
F~ (X,
(8.12)
è la forza “reale” agente in S su P e misurata in S 0 ;
F~it ≡ −mRT ~r¨
(8.13)
è la forza di inerzia traslazionale, dovuta all’accelerazione traslazionale di S 0 rispetto a S;
~˙ × X
~
F~ir ≡ −mΩ
(8.14)
è la forza di inerzia rotazionale, dovuta all’accelerazione rotazionale di S 0 rispetto a S;
~
~
~
~
Fcen ≡ −mΩ × Ω × X
(8.15)
è la forza centrifuga;
~ ×X
~˙
F~Cor ≡ −2mΩ
(8.16)
è la forza di Coriolis.
Esempio 8.1. Supponiamo O0 = O e ê0 = ê, cioè S 0 ruota
(O, ê3 ). La matrice R(t) in questo caso ha la forma

cos θ(t) − sin θ(t)

sin θ(t) cos θ(t)
R(t) =
0
0
rispetto a S intorno all’asse comune

0
0  ,
1
essendo θ(t) l’angolo di rotazione in funzione del tempo. Per quanto riguarda la matrice A e
~ si ha:
la velocità angolare Ω


 
0
0 −θ̇ 0
T
~
A = R Ṙ =  θ̇ 0 0  ; Ω = θ̇ê3 =  0  .
θ̇
0 0 0
−−→
La forza di inerzia traslazionale F~it = −RT ~r¨ in questo caso è nulla, poiché ~r = OO0 = ~0. La
forza di inerzia rotazionale, legata all’accelerazione angolare, è
~˙ × X
~ = −mθ̈(X1 ê2 − X2 ê1 ) ;
F~ir = −mΩ
(8.17)
~ × (Ω
~ × X)
~ = mθ̇2 (X1 ê1 + X2 ê2 ) ,
F~cen = −mΩ
(8.18)
la forza centrifuga è
mentre la forza di Coriolis è
~ ×X
~˙ = −2mθ̇(Ẋ1 ê2 − Ẋ2 ê1 ) .
F~Cor = −2mΩ
(8.19)
8.2. FORZE APPARENTI E LORO EFFETTI
8.2
73
Forze apparenti e loro effetti
Le forze di inerzia F~it e F~ir , la forza centrifuga F~cen e la forza di Coriolis F~Cor , definite in (8.13)(8.16), sono dette forze apparenti perché sono dovute al solo moto di S 0 rispetto a S e non
sono riconducibili alle forze agenti sul punto materiale nel sistema inerziale S. Si osservi che se
~ = ~0, allora tutte le forze
S 0 si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a S, cioè r̈ = ~0 e Ω
apparenti si annullano. Si osservi anche che le forze di inerzia e la forza centrifuga agiscono sul
~˙ = ~0. La forza
punto materiale anche se questo non si muove rispetto a S 0 , ovvero anche se X
di Coriolis agisce invece solo in presenza di moto relativo del punto rispetto al sistema mobile
S 0 . Esaminiamo brevemente le caratteristiche e gli effetti di ognuna delle quattro forze.
La forza di inerzia traslazionale (8.13) è dovuta all’accelerazione “in blocco” di S 0 rispetto
a S. Per comprenderne gli effetti fisici si consideri il caso semplice di in cui S 0 si muove di moto
traslatorio accelerato rispetto a S, con ~r(t) = r(t)ê1 e ê1 = ê01 . Allora R = I3 e F~it = −mr̈ê1 ,
cioè la forza apparente ha verso opposto a quello dell’accelerazione di S 0 . È questo ad esempio
il caso in cui ci si trova all’interno di un veicolo (sistema S 0 ) che, senza girare, accelera o frena
(rispetto alla strada S). Si spiega cosı́ perché si è soggetti ad una spinta “all’indietro” se il
veicolo accelera, o a una spinta “in avanti” se il veicolo frena.
La forza di inerzia rotazionale (8.14) è dovuta alla “accelerazione angolare”, ovvero alla non
~˙ 6= ~0. Per capirne l’effetto, si consideri il caso in cui il punto
uniformità della rotazione: Ω
materiale si trova su una pedana circolare che ruota attorno al proprio asse verticale (si veda
l’esempio 8.1). Supponiamo che a t = 0 la pedana sia ferma e che il punto si trovi in posizione
~
X(0)
= dê1 . Allora, quando a t = 0+ la pedana inizia a ruotare in senso antiorario, Ω̇ = θ̈ > 0,
sul punto agisce una forza F~ir = −mΩ̇dê2 che tende a spingere il punto “indietro” rispetto al
verso di rotazione. In generale, a qualsiasi istante di tempo, la forza è diretta lungo la tangente
in P al cerchio passante per P e centrato nel centro della pedana.
Per quanto riguarda la forza centrifuga (8.15) si ha
h
i
h
i
~ × Ω
~ ×X
~ = −m Ω(
~ Ω
~ · X)
~ − X(
~ Ω
~ · Ω)
~ = m|Ω|
~ 2 X
~ − Ω̂(Ω̂ · X)
~
F~cen ≡ −mΩ
,
~ Ω|
~ il versore della velocità angolare. Esaminando l’ultima parentesi quadra
essendo Ω̂ = Ω/|
~ ortogonale a Ω,
~ che
scritta sopra si capisce che si tratta della componente vettoriale di X
~
possiamo indicare con X⊥ . Dunque
~⊥
~ 2X
F~cen = m|Ω|
e quindi la forza centrifuga è diretta perpendicolarmente all’asse di rotazione, con verso “uscente” rispetto a questo. La manifestazione più comune di tale forza è la spinta che si subisce verso
l’esterno della curva all’interno di un veicolo che sterza deviando dal moto rettilineo.
La forza di Coriolis (8.16), come detto sopra, si manifesta solo in presenza di moto relativo
del punto materiale rispetto al riferimento S 0 . Nell’esempio della pedana rotante, si vede che
la forza di Coriolis, la cui espressione esplicita è data in (8.19), “spinge verso destra” rispetto
alla direzione del moto quando Ω = θ̇ > 0, mentre spinge verso sinistra se Ω < 0. Effetti molto
importanti della forza di Coriolis si hanno sui sistemi in moto sulla superficie terrestre. La Terra
è chiaramente un sistema di riferimento non inerziale. Infatti, essa si muove rispetto alle “stelle
74
CAPITOLO 8. CINEMATICA RELATIVA E RIGIDA
fisse” ruotando attorno al proprio asse, girando attorno al Sole e muovendosi solidalmente alla
Galassia di cui fa parte. Di tutti i moti considerati, quello più rilevante ai fini della meccanica
terrestre è certamente la rotazione attorno all’asse Sud-Nord, in verso antiorario (da Ovest verso
Est), con un periodo T = 2π/Ω = 24 ore. Per un punto materiale che si muove sulla superficie
terrestre, si vede facilmente che la forza di Coriolis spinge verso destra (rispetto alla direzione
del moto) nell’emisfero boreale (Nord) e verso sinistra nell’emisfero australe (Sud). Questo
fatto si verifica immediatamente considerando moti lungo i meridiani in entrambe le direzioni
(Sud-Nord e Nord-Sud), per i quali la Forza di Coriolis risulta tangenziale al meridiano locale
passante per il punto materiale in moto. Per un moto con componente longitudinale non nulla
della velocità si trova che c’è sempre una componente della forza di Coriolis che spinge verso
destra, tangenzialmente alla sfera, nell’emisfero boreale, e verso sinistra nell’emisfero australe.
Fenomeni noti legati alla spinta direzionale della forza di Coriolis sono ad esempio, nell’emisfero
boreale, l’erosione maggiore della sponda destra dei grandi fiumi e il consumo maggiore del lato
destro dei binari di treni a lunga percorrenza.
Uno degli effetti macroscopici della forza di Coriolis su scala terrestre è la formazione dei
cicloni, ovvero perturbazioni atmosferiche caratterizzate dal moto rotatorio di masse d’aria
attorno a zone di bassa pressione. La forza locale (per unità di volume) agente sulla massa
d’aria, trascurando l’attrito, è
~ × ~v
f~ = −∇p − 2ρΩ
(8.20)
dove ∇p è il gradiente di pressione locale e ρ è la densità di massa locale dell’aria. La componente
di forza −∇p spinge l’aria a muoversi ortogonalmente alle isobare (linee di livello della pressione:
curve lungo le quali p è costante) verso il centro di bassa pressione. Nell’emisfero boreale la
~ × ~v devia il flusso d’aria verso destra rispetto alla direzione di moto.
forza di Coriolis −2ρΩ
Si raggiunge una situazione stazionaria quando la forza totale (8.20) si annulla, cioè quando la
forza di Coriolis bilancia perfettamente il gradiente di pressione: l’aria circola quindi lungo le
isobare in senso antiorario. L’effetto dell’attrito, qui trascurato, genera un moto spiraleggiante
verso l’occhio del ciclone. Nell’emisfero australe i cicloni sono caratterizzati da circolazione
oraria.
8.3
Cinematica rigida
Dato un corpo rigido C che si muove rispetto ad un sistema di riferimento inerziale S, consideriamo un sistema di riferimento S 0 solidale con C . Allora un qualsiasi punto del corpo rigido è
in quiete rispetto a S 0 :
~˙ P = ~0 , ∀P ∈ C .
X
(8.21)
Il moto del corpo rigido, come già detto, è compltamente determinato dalle equazioni cardinali
della dinamica. In particolare, la prima equazione descrive il moto del baricentro del corpo
quando sia noto il risultante delle forze esterne. Il moto rotatorio del corpo è invece descritto
dalla seconda equazione cardinale, opportunamente riscritta nel sistema S 0 solidale con il corpo.
Nel seguito ci occupiamo di tale riscrittura in due casi: quello di moto libero (cioè non vincolato)
e quello di moto con un punto fisso (appartenente o no al corpo).
8.3. CINEMATICA RIGIDA
75
Ricordiamo che la seconda equazione cardinale della dinamica, scritta in S, è
(e)
~`˙ = m
~O ,
(8.22)
P
P
(e)
(e)
dove ~` = P ~xP ×mP ~x˙ P è il momento angolare totale, mentre m
~ O = P ~xP × f~P è il momento
risultante delle forze esterne applicate al corpo. Si noti che qui usiamo lettere minuscole per
indicare il momento angolare totale e il momento risultante delle forze esterne riferiti a S,
mentre si farà uso di lettere maiuscole per indicare le stesse quantità riferite al sistema solidale
S 0 (come già fatto in cinematica relativa). Per scrivere il momento angolare totale in S 0 abbiamo
bisogno di riferire a tale sistema la posizione e la velocità di ogni punto del corpo. A tale scopo
scriviamo le equazioni (8.3) e (8.9) per ogni punto P ∈ C e teniamo conto della condizione
(8.21), ovvero
~P ,
~xP = ~r + RX
(8.23)
~ ×X
~P) .
~x˙ P = ~r˙ + R(Ω
(8.24)
Allora, il momento angolare totale del corpo C è dato da
i
h
i
X
Xh
~` =
~ P × mP ~r˙ + R(Ω
~ ×X
~P) =
~xP × mP ~x˙ P =
~r + RX
P ∈C
P ∈C
!
= ~r × M ~r˙ + R
X
~P
mp X
"
~ ×
× ~r˙ + ~r × R Ω
P ∈C
+
X
!#
X
~P
mP X
+
P ∈C
~ P × R(Ω
~ ×X
~P) ,
mP RX
(8.25)
P ∈C
P
dove M = P ∈C mP è la massa totale del corpo. In due dei quattro termini che costituiscono
P
~ P . Il legame di tale quantità con ~r e con il
l’espressione di ~` compare la somma P ∈C mP X
baricentroP
del corpo si ottiene moltiplicando per mP la (8.23), sommando su P e ricordando
che ~xG = P ∈C mP ~xP /M , cosı́ che
X
~P .
M~xG = M~r + R
mP X
(8.26)
P ∈C
A questo punto ci concentriamo separatamente sui due casi di moto libero e di moto con punto
fisso.
8.3.1
Moto rigido libero
Nel caso di moto rigido libero, cioè in assenza di vincoli, è conveniente scegliere l’origine O0
−−→
del sistema solidale S 0 coincidente con il baricentro G del corpo. Quindi O0 = G, ~r = OO0 =
P
−→
~ P = ~0. Dunque la il momento angolare totale,
OG = ~xG e dalla (8.26) segue che P ∈C mP X
dato dalla (8.25), si semplifica perdendo due termini e diventa
"
#
X
~` = ~xG × M ~x˙ G + R
~ P × (Ω
~ ×X
~P) .
mP X
(8.27)
P ∈C
76
CAPITOLO 8. CINEMATICA RELATIVA E RIGIDA
Osserviamo che nel riscrivere il quarto termine della (8.25), ovvero il secondo della (8.27), si
è tenuto conto del fatto che per ogni coppia di vettori ~u e ~v e ogni matrice di rotazione R
si ha R(~u × ~v ) = R~u × R~v (intuitivamente ovvio: il ruotato del prodotto è il prodotto dei
ruotati). Osserviamo inoltre che la somma su P in parentesi quadre a destra della (8.27) può
~ (verificarlo per esercizio), il che ci porta a
essere considerata come una funzione lineare di Ω
introdurre la definizione
X
~ ≡
~ P × (Ω
~ ×X
~P) ,
JG Ω
mP X
(8.28)
P ∈C
dove JG è detta matrice (o tensore) di inerzia del corpo C relativa al baricentro G. Si noti che
la matrice di inerzia definita in (8.28) è riferita al baricentro del corpo perché, con la scelta
−→
→
−→
~P = −
~ P = RT −
GP : le posizioni dei punti del
fatta, O0 = G e quindi RX
O0 P = GP , ovvero X
corpo su cui si somma sono riferite al baricentro. Osserviamo qui che, per la condizione (8.21),
la matrice di inerzia JG è indipendente dal tempo.
Analizzeremo tra poco le proprietà della matrice di inerzia JG . Qui puntiamo a riscrivere
la seconda equazione cardinale (8.22) in S 0 . Prima di tutto, usando la definizione (8.28), il
momento angolare totale assume l’espressione compatta
~` = ~xG × M ~x˙ G + RJG Ω
~ .
(8.29)
(e)
~ ξ~
Derivando rispetto al tempo tale espressione, uguagliando a m
~ O e ricordando che RT Ṙξ~ = Ω×
~ otteniamo
per ogni vettore ξ,
h
i
~˙ + Ω
~ × JG Ω
~ = m(e) .
~xG × M ~x¨G + R JG Ω
(8.30)
O
~ (e) ; inoltre, dalla formula di trasposiDalla prima equazione cardinale sappiamo che M ~x¨G = R
zione dei momenti si ha
(e)
(e)
~ (e) = m
m
~ O − ~xG × R
~G ,
per cui si può riscrivere la (8.30) isolando la parentesi quadra come segue
~˙ + Ω
~ × JG Ω
~ =M
~ (e) ,
JG Ω
G
(e)
(8.31)
(e)
T
~
dove M
~ O è il momento risultante delle forze esterne rispetto al polo nel baricentro
G ≡ R m
G, con componenti nel sistema S 0 . L’equazione vettoriale (8.31), equivalente a un sistema di
tre equazioni differenziali non lineari del primo ordine, si chiama equazione di Eulero per la
dinamica libera del corpo rigido. Una volta calcolata la matrice di inerzia JG e noto il momento
~ (e) , l’equazione di Eulero ha per incognita la velocità angolare Ω
~ del corpo. Nota
risultante M
G
T
~ è nota la matrice R Ṙ e da questa si ricostruisce la matrice di rotazione R(t) che, assieme
Ω
alla posizione ~xG (t) del baricentro del corpo (determinata dalla prima equazione cardinale),
fornisce la posizione del corpo rigido nello spazio al tempo t.
Esempio 8.2. Come esempio di moto rigido libero consideriamo il caso di un corpo rigido
soggetto alla propria forza peso: in ogni punto P del corpo agisce la forza −mP gẑ. La prima
equazione cardinale della dinamica è M ~x¨G = −M gẑ, dalla quale si ottiene immediatamente il
8.3. CINEMATICA RIGIDA
77
moto del baricentro (farlo). Per quanto riguarda il momento risultante delle forze esterne si
ha:
!
X
X
−
→
−
→
−→
(e)
m
~G =
GP × (−mP gẑ) = −
mP GP gẑ = −GGM gẑ = ~0 .
P
~ (e)
M
G
Quindi
omogenea
=
(e)
RT m
~G
P
= ~0 e la rotazione del sistema è descritta dall’equazione di Eulero
~˙ + Ω
~ × JG Ω
~ = ~0 .
JG Ω
8.3.2
(8.32)
Moto rigido con punto fisso
Nel caso in cui il corpo rigido C si muova in modo tale che un particolare punto, appartenente
o meno al corpo stesso, sia fisso in S, conviene far coincidere l’origine O del sistema inerziale
−−→
S e l’origine O0 del sistema solidale S 0 con tale punto. Allora si ha ~r = OO0 = ~0, quindi ~r˙ = ~0
e dunque il momento angolare totale, dato dalla (8.25), perde tre termini e diventa
X
~` = R
~ P × (Ω
~ ×X
~P) .
mP X
(8.33)
P ∈C
Anche qui conviene introdurre la matrice di inerzia JO relativa al punto O, tale che
X
~ ≡
~ P × (Ω
~ ×X
~P) .
JO Ω
mP X
(8.34)
P ∈C
Osserviamo che la differenza con la definizione (8.28) di JG è il punto rispetto al quale sono
→
→
~P = −
~P = −
prese le posizioni dei punti del corpo: per JO si ha RX
OP , mentre per JG è RX
GP .
~ P che compare nella somma a destra della (8.28)
Si faccia quindi attenzione al fatto che la X
non è la stessa che compare nella somma a destra della (8.34). Tenendo conto della definizione
(8.34) si può riscrivere il momento angolare (8.33) in forma più compatta
~` = RJO Ω
~ .
(8.35)
~˙
Ora, poiché JO èh indipendente dal
i tempo, la seconda equazione cardinale della dinamica (` =
(e)
(e)
~˙ + Ω
~ × JO Ω
~ =m
m
~ O ) diventa R JO Ω
~ O , ovvero
~˙ + Ω
~ × JO Ω
~ =M
~ (e) ,
JO Ω
O
(e)
(e)
(8.36)
T
~
essendo M
~ O il momento risultante delle forze esterne relativo a O in S 0 . La (8.36)
O = R m
è l’equazione di Eulero per la dinamica del corpo rigido con punto fisso O. Si noti che in
~ (e) può contenere termini dovuti alle reazioni vincolari che agiscono
questo caso il momento M
O
sul sistema per mantenere fisso in S il punto O, con l’esclusione dei termini dovuti a reazioni
applicate esattamente in O. Un esempio di quest’ultimo caso è quello della trottola classica, con
punto O di appoggio su piano scabro ideale. La reazione esercitata dal piano di appoggio sulla
trottola si applica in O e consiste di una componente verticale che si oppone alla forza peso e
di una componente tangente al piano che impedisce lo scivolamento del punto di appoggio.
78
8.4
CAPITOLO 8. CINEMATICA RELATIVA E RIGIDA
Forma e proprietà della matrice di inerzia
Si è visto che la rotazione libera o con punto fisso di un corpo rigido è descritta dalle equazioni
di Eulero (8.31) o (8.36), identiche in forma. In tali equazioni la matrice di inerzia riferita ad
uno specifico punto gioca il ruolo di matrice dei coefficienti: essa va calcolata una volta per
tutte per poter risolvere le equazioni del moto. Ricordiamo che la matrice di inerzia del corpo
rigido C , relativa al punto Q è definita da
X
~ ≡
~ P × (Ω
~ ×X
~P) ;
JQ Ω
mP X
(8.37)
P ∈C
→
~P = −
dove RX
QP e abbiamo in mente Q = G (baricentro) nel caso di moto libero, oppure
~ dalla definizione di JQ svolgiamo
Q = O, nel caso di moto con punto fisso O. Per eliminare Ω
il doppio prodotto vettoriale in (8.37), ottenendo
h
i X
h
i
X
~ =
~ P |2 Ω
~ −X
~ P (X
~ P · Ω)
~ =
~ P |2 I3 − X
~PX
~T Ω
~ ,
JQ Ω
mP |X
mP |X
P
P ∈C
P ∈C
~P · Ω
~ =X
~ TΩ
~ (il prodotto
dove I3 è la matrice identità 3 × 3 e si è tenuto conto del fatto che X
P
scalare di due vettori è un prodotto righe per colonne tra uno dei due vettori considerato come
riga, cioè matrice 1 × 3, e l’altro considerato come colonna, cioè matrice 3 × 1). Dunque, se
~ P , si ha
indichiamo con XP , YP e ZP le tre componenti del vettore X

 2
YP + ZP2 −XP YP −XP ZP
h
i X
X
~ P |2 I3 − X
~PX
~T =
JQ =
mP |X
mP  −XP YP XP2 + ZP2 −YP ZP  . (8.38)
P
P ∈C
P ∈C
−XP ZP −YP ZP XP2 + YP2
In un qualsiasi sistema solidale S 0 , con origine in Q, questa è la forma della matrice di inerzia. Notiamo immediatamente una proprietà importantissima: La matrice di inerzia JQ
è simmetrica (JQ = JQT ). Questo si controlla “a vista” nell’espressione esplicita riportata a
~PX
~ T segue subito J T = JQ .
~PX
~ T )T = X
destra in (8.38), oppure notando che da IT3 = I3 e (X
Q
P
P
Ricordiamo ora (vedi corso di algebra lineare e geometria) che la conseguenza fondamentale
della simmetria di JQ è che esiste un particolare riferimento solidale S 0 rispetto al quale JQ
risulta diagonale. Più precisamente, esiste una matrice ortogonale T (T T T = T T T = I3 ) tale
che


I1 0 0
T T JQ T = JQ0 =  0 I2 0  ≡ diag(I1 , I2 , I3 )
(8.39)
0 0 I3
(si dice anche che JQ è ortogonalmente simile alla matrice diagonale JQ0 ). Concretamente, risulta
che gli elementi sulla diagonale principale di JQ0 sono gli autovalori di JQ , mentre la matrice del
cambio di base T ha per colonne i tre corrispondenti autoversori mutuamente ortonormali:
 (1) (2) (3) 
û1 û1 û1
 (1) (2) (3) 
(j)
(j)
JQ û = Ij û
⇒ T =  û2 û2 û2  .
(8.40)
(1)
(2)
(3)
û3 û3 û3
8.4. FORMA E PROPRIETÀ DELLA MATRICE DI INERZIA
79
le tre rette (Q, û(1) ), (Q, û(2) ) e (Q, û(3) ), ovvero i tre autospazi mutuamente ortogonali di JQ ,
sono dette assi principali di inerzia del corpo C relativi al punto Q. Gli assi principali di inerzia
relativi al baricentro (cioè nel caso Q = G) sono detti assi centrali di inerzia. La matrice di
inerzia diagonalizzata JQ0 è invece detta matrice principale di inerzia (del corpo C relativa al
punto Q), o matrice centrale di inerzia nel caso Q = G.
Gli elementi diagonali di JQ0 , ovvero gli autovalori di JQ , sono calcolabili in linea di principio come gli zeri del polinomio caratteristico di JQ : det(JQ − λI3 ) = 0. Noti i tre autovalori, i
tre corrispondenti autoversori si possono calcolare risolvendo il sistema lineare a sinistra della
(8.40). Tuttavia tale strada è sostanzialmente impercorribile dal punto di vista computazionale.
Supponiamo invece, per il momento, di conoscere i tre autoversori di JQ , ovvero i tre assi principali di inerzia; allora conosciamo la matrice T . Con tale matrice operiamo la trasformazione
(8.39)
h
i
X
~ P |2 T T T − T T X
~PX
~ TT =
JQ0 = T T JQ T =
mP |X
P
P ∈C
=
X
mP
h
i X
h
i
2
T
0 2
0 ~0 T
~
~
~
~
~
|XP | I3 − (T XP )(T XP ) =
mP |XP | I3 − XP (XP ) =
P ∈C

=
X
(YP0 )2
+ (ZP0 )2
−XP0 YP0
−XP0 ZP0
mP 
P ∈C
P ∈C
0
0
−XP YP
0 2
(XP ) + (ZP0 )2
−YP0 ZP0

−XP0 ZP0
 .
−YP0 ZP0
0 2
0 2
(XP ) + (YP )
(8.41)
~ P , di
~ 0 ≡ TTX
dove si è tenuto conto dell’ortogonalità di T e si è introdotto il vettore X
P
2
2
2
T
0
0
0
0
~ P | = |X
~ P | . La (8.41) mostra che
~ | = |T X
coordinate XP , YP , ZP e modulo quadrato |X
P
0
la matrice principale di inerzia JQ , calcolata adoperando le posizioni trasformate dei punti
~ 0 = TTX
~ P , è identica in forma a JQ . D’altra parte sappiamo che J 0 deve essere diagonale,
X
P
Q
per cui deve essere
X
X
X
mP XP0 YP0 =
mP XP0 ZP0 =
mP YP0 ZP0 = 0 .
P ∈C
P ∈C
P ∈C
Di conseguenza si ha

(YP0 )2 + (ZP0 )2
0
0
 .
0
(XP0 )2 + (ZP0 )2
0
JQ0 =
mP 
0 2
0 2
P ∈C
0
0
(XP ) + (YP )

X
(8.42)
Ora, si riconosce subito che (YP0 )2 + (ZP0 )2 è la distanza al quadrato del punto P del corpo
dall’asse X 0 , ovvero dall’asse principale di inerzia (Q, û(1) ); analogamente (XP0 )2 + (ZP0 )2 e
(XP0 )2 + (YP0 )2 sono rispettivamente le distanze al quadrato di P dagli assi Y 0 e Z 0 , ovvero
dagli assi principali di inerzia (Q, û(2) ) e (Q, û(3) ). Questa caratterizzazione degli elementi di
JQ0 motiva la definizione seguente.
Definizione 8.1. Si definisce momento di inerzia del corpo rigido C rispetto ad una retta r la
quantità
X
IC (r) ≡
mP d2 (P ; r) ,
(8.43)
P ∈C
dove d(P, r) è la distanza del punto P dalla retta r.
80
CAPITOLO 8. CINEMATICA RELATIVA E RIGIDA
Dunque gli elementi di JQ0 (gli autovalori di JQ ) sono i momenti di inerzia del corpo rispetto
ai tre assi principali di inerzia relativi al punto Q:
X
X
I1 = IC (Q, û(1) ) =
mP d2 (P ; (Q, û(1) )) =
mP [(YP0 )2 + (ZP0 )2 ] ;
(8.44)
P ∈C
I1 = IC (Q, û(2) ) =
X
P ∈C
mP d2 (P ; (Q, û(2) )) =
P ∈C
I1 = IC (Q, û(3) ) =
X
X
mP [(XP0 )2 + (ZP0 )2 ] ;
(8.45)
mP [(XP0 )2 + (YP0 )2 ] .
(8.46)
P ∈C
mP d2 (P ; (Q, û(3) )) =
P ∈C
X
P ∈C
Se sono noti i tre assi principali di inerzia e la distribuzione di massa di un corpo, allora il
calcolo dei tre momenti principali di inerzia (8.44)-(8.46) è più semplice del calcolo standard
degli zeri del polinomio caratteristico. Vedremo in seguito come si può individuare a priori, in
alcuni casi, un asse principale di inerzia senza eseguire calcoli.
Dalla (8.42), ovvero dalle (8.44)-(8.46), vediamo che la matrice di inerzia JQ è definita
positiva, ovvero ha tutti gli autovalori positivi (un momento di inerzia, per come è definito,
non può risultare negativo). Equivalentemente, come è noto dall’algebra lineare, la forma
quadratica associata a JQ , calcolata lungo un qualsiasi versore û, deve risultare positiva:
û · JQ û > 0 ∀û .
(8.47)
È istruttivo considerare più in dettaglio tale forma quadratica. Si trova
h
i
h
i
X
X
2
T
2
2
T
~
~
~
~
~
~
û · JQ û = û ·
mP |XP | − XP XP û =
mP |XP | |û| − (û · XP )(XP û) =
P ∈C
=
X
P ∈C
h
i X
~ P |2 − (û · X
~ P )2 =
mP |X
mP d2 (P ; (Q, û)) =
P ∈C
= IC (Q, û) ,
P ∈C
(8.48)
ovvero la forma quadratica associata a JQ e calcolata lungo û risulta essere pari al momento
di inerzia del corpo rispetto all’asse (Q, û). La non negatività di tale quantità è ovvia, mentre
esiste un solo caso in cui essa può essere nulla: quello di corpo unidimensionale formato da
punti tutti allineati lungo la retta ((Q, û)). In tale caso le distanze dei punti del corpo dalla
loro retta di appartenenza sono nulle ed è nullo quindi il momento di inerzia rispetto all’asse
del corpo (gli altri due momenti principali sono invece positivi). Escluso quindi il caso di corpo
lineare, che ha sempre un momento principale di inerzia nullo su tre, qualsiasi corpo rigido ha
i tre momenti principali di inerzia positivi.
È istruttivo tornare all’equazione di Eulero e riscriverla con la matrice di inerzia diagonalizzata, per componenti. Per semplicità consideriamo il caso omogeneo (8.32), rilevante per la
caduta dei gravi. Ponendovi JG = diag(I1 , I2 , I3 ), si trova

 I1 Ω̇1 + (I3 − I2 )Ω2 Ω3 = 0
(8.49)
I Ω̇ + (I1 − I3 )Ω1 Ω3 = 0 .
 2 2
I3 Ω̇3 + (I2 − I1 )Ω1 Ω2 = 0
8.5. ESERCIZI
81
Tale sistema di tre equazioni differenziali è risolvibile per qualunque dato iniziale in termini di
certi integrali particolari e di certe funzioni speciali, ma la deduzione di tale soluzione generale
non è affatto semplice. Un caso in cui la soluzione del sistema di Eulero (8.49) è elementare
è quello in cui si hanno (data una particolare simmetria del corpo) due momenti principali di
inerzia uguali. Ad esempio, se I1 = I2 , dalla terza delle equazioni (8.49) segue che Ω̇3 = 0, cioè
Ω3 (t) = Ω3 (0). Inserendo tale condizione nelle prime due equazioni (assieme a I1 = I2 ) si trova
I3
Ω̇1 = (1 − γ)Ω3 (0)Ω2
.
(8.50)
, γ≡
Ω̇2 = −(1 − γ)Ω3 (0)Ω1
I1
Derivando rispetto al tempo la prima equazione e tenendo conto della seconda si trova subito
Ω̈1 = −ω 2 Ω1 ,
ω ≡ |(1 − γ)Ω(0)| ;
(8.51)
se invece si deriva prima la seconda equazione si trova una equazione identica a quest’ultima
per Ω2 . L’equazione (8.51) si risolve immediatamente. Si dimostra facilmente che il vettore
Ω⊥ , di componenti Ω1 e Ω2 , ruota rigidamente con velocità angolare ω. Questo è il fenomeno
di precessione della velocità angolare nel sistema solidale che caratterizza, ad esempio, il moto
di una moneta (ideale) lanciata in aria.
8.5
Esercizi
Esercizio 8.1. Si consideri un punto materiale P di massa m vincolato a muoversi senza
attrito lungo l’asse ê01 solidale con una pedana che ruota uniformemente intorno al proprio asse
~ = Ωê3 , Ω > 0. Il punto P è connesso all’origine O
in senso antiorario. Qui O = O0 , ê3 = ê03 e Ω
tramite una molla ideale di costante k ed è soggetto alla propria forza peso. Scrivere l’equazione
di Newton per il punto P nel sistema solidale con la pedana, determinare il moto di P e le
eventuali reazioni vincolari agenti su di esso.
Esercizio 8.2. Un anello di raggio R ruota attorno ad un suo asse diametrale disposto lungo
la verticale, con velocità angolare costante. Un punto materiale P di massa m è vincolato
a muoversi senza attrito sull’anello, soggetto alla propria forza peso. Scrivere l’equazione di
Newton per P in un sistema solidale con l’anello e determinare le razioni vincolari agenti su di
esso in funzione della sua posizione e della sua velocità. Determinare le posizioni di equilibrio
del punto P sull’anello, caratterizzandole in base alla loro stabilità rispetto a piccoli spostamenti
rispetto ad esse (linearizzare l’equazione del moto attorno alle posizioni di equilibrio e vedere
quando si hanno moti oscillatori).
Esercizio 8.3. Risolvere completamente il sistema (8.50), dimostrando che che il vettore
(Ω1 , Ω2 )T ruota uniformemente con velocità angolare ω (definita in (8.51)). Suggerimento:
dimostrare preliminarmente che Ω21 + Ω22 è costante.
82
CAPITOLO 8. CINEMATICA RELATIVA E RIGIDA
Capitolo 9
Geometria delle masse II: momenti di
inerzia
Come si è visto in precedenza, per poter scrivere l’equazione di Eulero è di fondamentale
importanza saper determinare gli assi principali di inerzia di un corpo relativi ad un dato punto,
per poi calcolare i relativi momenti principali di inerzia. Prima di mostrare come la presenza
di simmetrie materiali aiuti a individuare gli assi principali di alcuni oggetti, premettiamo un
semplice teorema di interesse pratico per il calcolo dei momenti di inerzia.
9.1
Teorema di Huygens-Steiner
Consideriamo un corpo C , una qualsiasi retta rG passante per il baricentro del corpo e una
qualsiasi retta r parallela a rG . Siano M la massa del corpo e d la distanza tra r 4 e rG . Il
seguente teorema connette il momento di inerzia di C rispetto a r con quello rispetto a rG .
Teorema 9.1 (Huygens-Steiner).
IC (r) = IC (rG ) + M d2
(9.1)
Dimostrazione. Si scelga un sistema di riferimento con origine O ∈ r, e sia l’asse Z coincidente
con la stessa retta r. Sia poi l’asse X passante per O, ortogonale a rG e orientato da O verso
rG . Infine l’asse Y passa per O ed è ortogonale
ai primi due. Il baricentro G ∈ rG del corpo,
P
in tale riferimento, ha ascissa XG = P mP XP /M = d e ordinata YG = 0. Notiamo che la
distanza del generico punto P ∈ C dalla retta rG è (d − XP )2 + YP2 , mentre la distanza di P da
r è XP2 + YP2 . Si ha
X
IC (rG ) =
mP [(d − XP )2 + YP2 ] =
P ∈C
=
X
mP (XP2 + YP2 ) + M d2 − 2d
P ∈C
X
m P XP =
P ∈C
= IC (r) − M d2 .
(9.2)
Il precedente teorema è noto anche come teorema di “trasposizione dei momenti di inerzia”.
83
84
9.2
CAPITOLO 9. GEOMETRIA DELLE MASSE II: MOMENTI DI INERZIA
Simmetrie materiali e assi principali
Come per la determinazione del baricentro, la presenza di eventuali simmetrie materiali di un
dato corpo aiuta a individuare uno o più assi principali di inerzia relativi ad un assegnato punto.
Proposizione 9.1. Se Π è un piano di simmetria materiale per C allora ogni retta r ortogonale
a Π è asse principale di inerzia relativo al punto Q = r ∩ Π.
Dimostrazione. Vogliamo dimostrare che se r = (Q, û) allora JQ û = I û. Scegliamo un riferimento tale che l’asse Z coincide con la retta r, cosı́ che Π coincide con il piano (X, Y ). L’origine
delle coordinate è in Q = r ∩ Π e û = Ẑ. Per l’ipotesi di simmetria materiale, i punti del corpo
C o appartengono a Π, e quindi hanno “quota” ZP = 0, oppure si presentano in coppie speculari (P, P 0 ) di punti con uguale massa mP , quota ZP = −ZP 0 6= 0 e stessa ascissa e ordinata.
Risulta quindi
X
X
X
XP ZP =
XP ZP +
XP (ZP + ZP 0 ) = 0 .
coppie(P,P 0 )
P ∈Π
P ∈C
P
YP ZP = 0. Dunque JQ ha forma esplicita

 2
0
YP + ZP2 −XP YP
X
 ,
0
JQ =
mP  −XP YP XP2 + ZP2
2
2
P ∈C
0
0
XP + YP
Analogamente si mostra che
P
(9.3)
da cui segue immediatamente che il versore


0
Ẑ =  0 
1
è autovettore di JQ . Più precisamente si trova
"
#
X
JQ Ẑ =
mP (XP2 + YP2 ) Ẑ .
P ∈C
Dunque la retta (Q, Ẑ) è asse principale di inerzia per C .
Un corollario non banale della precedente proposizione è il seguente, che riportiamo senza
dimostrazione.
Proposizione 9.2. Se Π e Π0 sono due piani di simmetria materiale per C , allora r = Π ∩ Π0
è asse principale di inerzia per C .
Esempio 9.1. Le precedenti proposizioni permettono di determinare immediatamente gli assi
centrali di inerzia di una sfera omogenea (di densità costante). In tale caso infatti, posta
l’origine del riferimento nel centro geometrico della sfera (che coincide con il suo baricentro),
due qualsiasi dei tre piani coordinati, ad esempio i piani (X, Z) e (Y, Z) sono di simmetria
materiale. Gli assi Y e X, ortogonali rispettivamente al primo e al secondo piano, sono dunque
centrali di inerzia. L’intersezione dei due piani, che è l’asse Z, è il terzo asse centrale.
9.3. CORPI PIANI
9.3
85
Corpi piani
Consideriamo un corpo piano C . Possiamo scegliere un riferimento tale che il piano del corpo
coincide con il piano (X, Y ), in modo che ZP = 0 per ogni P ∈ C . Allora certamente il piano
del corpo è un piano di simmetria materiale, cosı́ che qualsiasi retta ortogonale al piano del
corpo è asse principale di inerzia. Questo si può vedere anche guardando la forma esplicita
della matrice di inerzia:


2
Y
−X
Y
0
P
P
P
X
 .
XP2 0
JQ =
mP  −XP YP
2
2
P ∈C
0
0
XP + YP
Si vede subito che il versore hatZ è autoversore di JQ . Passando alla forma diagonale JQ0 , la
condizione ZP = 0 per ogni P si mantiene, e quindi si ha


(YP0 )2
0
0
X
 .
(XP0 )2
JQ0 =
mP  0
P ∈C
0
0
(XP0 )2 + (YP0 )2
Dunque per un corpo piano vale sempre
I3 = I1 + I2 .
9.4
(9.4)
Esercizi
Esercizio 9.1. Si calcoli il momento di inerzia di una sfera omogenea di raggio R rispetto ad
un qualsiasi suo asse centrale di inerzia. Suggerimento: fare uso di coordinate polari sferiche.
Esercizio 9.2. Si consideri una lastra circolare omogenea di raggio R. Si determinino i tre
assi centrali di inerzia e i relativi momenti di inerzia. Suggerimento: fare uso di coordinate
polari piane.
Esercizio 9.3. Ripetere l’esercizio precedente per una lastra rettangolare di lati a e b.
Esercizio 9.4. Ripetere l’esercizio precedente per un cilindro omogeneo di raggio R e altezza h
e per un parallelepipedo a base rettangolare di lati a e b e altezza h.
Esercizio 9.5. Si consideri una lastra circolare piana e omogenea di raggio R. Fissato un punto
Q a distanza d(< R) dal centro O della lastra, si determinino gli assi principali di inerzia della
lastra relativi a Q e la relativa matrice di inerzia JQ0 . Suggerimento: fare uso del teorema di
Huygens-Steiner.
Esercizio 9.6. Si consideri una lastra circolare piana e omogenea di raggio R, con un foro
circolare di raggio a centrato nel punto C posto a distanza d dal centro O della lastra (con la
condizione di inclusione totale del foro: d + a < R). Determinare la terna centrale di inerzia
della lastra e la relativa matrice JG0 . Suggerimento: pensare alla lastra piena come unione di
quella forata e del disco asportato per praticarvi il foro.

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