PROBABILITA’
ESERCIZIO:In un campione di 300 studenti universitari
è emerso che tutti conoscono almeno una lingua
straniera fra inglese, francese e tedesco, che 225
conoscono l’inglese, 80 il francese, e 33 sia l’inglese
che il francese. Inoltre, 40 studenti conoscono il
tedesco, e nessuno di questi conosce il francese. Qual
è la probabilità che preso uno studente a caso del
campione conosca sia l’inglese che il tedesco?
PROBABILITA’
ESERCIZIO: In un’urna ci sono 2 biglie rosse, 2 biglie
bianche ed 1 biglia gialla.
a) Si eseguono due estrazioni con rimessa, calcolare la
probabilità che le biglie estratte abbiano lo stesso
colore.
b) Calcolare la probabilità di ottenere due biglie dello
stesso colore se si estrae senza rimessa.
PROBABILITA’
CON RIMESSA:
Indichiamo con R l’evento “biglia rossa”, con B l’evento
“biglia bianca” e con G l’evento “biglia gialla”.
L’evento di cui è richiesto il calcolo della probabilità è
RR oppure BB oppure GG
Ad ogni estrazione P( R) = 2/5, P(B) = 2/5, P(G) = 1/5
L’evento RR ha dunque probabilità (2/5)2 (essendo
eseguite le estrazioni con rimessa, gli eventi sono
indipendenti). Analogamente P(BB) = (2/5)2 ( ed infine
P(GG) = (1/5)2 , l’evento richiesto ha probabilità
p= (2/5)2 + (2/5)2 + (1/5)2 =9/25
PROBABILITA’
SENZA RIMESSA:
Indicando sempre con R l’evento “biglia rossa”, con
B l’evento “biglia bianca” e con G l’evento “biglia
gialla”, si ha
P(RR) = (2/5)·(1/4) =P(BB), mentre P(GG)=0
Dunque la probabilità dell’evento richiesto, se le
estrazioni avvengono senza rimessa, è
2·(2/5)·(1/4) = 1/5
PROBABILITA’
ESERCIZIO: In una popolazione molto ampia, una
certa caratteristica è presente con probabilità 0.25.
Si scelgono a caso 10 individui, calcolare la probabilità
che:
a) esattamente due presentino la caratteristica;
b) almeno due presentino la caratteristica;
c) al massimo due presentino la caratteristica.
PROBABILITA’
a) esattamente due presentino la caratteristica;
10
(0.25)2(0.75)8
2
b) almeno due presentino la caratteristica;
1-(0.75)10 -10·(0.25)·(0.75)9
• al massimo due presentino la caratteristica
10
10
9
(0.75) + 10(0.25))(0.75) + 2 (0.25)2(0.75)8
PROBABILITA’
ESERCIZIO: Una compagnia aerea rileva che il 4%
delle persone che prenotano un posto su un certo volo
non si presentano alla partenza.
La compagnia decide quindi di vendere a 75 persone la
prenotazione di un posto su un aereo che ha
esattamente 73 posti.
Qual è la probabilità che ci sia un posto disponibile per
ogni persona che si presenta alla partenza?
PROBABILITA’
Conviene calcolare la probabilità q che la compagnia
non possa soddisfare a tutte le richieste e poi passare
alla probabilità p=1-q dell’evento contrario.
Dobbiamo supporre che ogni persona si presenti o
meno alla partenza indipendentemente l’una dall’altra.
La probabilità di non presentarsi è, per ogni persona,
0.04, quindi la probabilità di presentarsi è 0.96.
q = (0.96)75 + 75(0.04)(0.96)74 , quindi la probabilità p
richiesta è
p = 1 − (0.96)75 − 75(0.04)(0.96)74
PROBABILITA’
ESERCIZIO: Per un esame viene assegnato un test
consistente in 10 domande, per ogni domanda sono
formulate tre possibili risposte; l’esame viene superato
se le risposte esatte sono almeno 6.
Calcola la probabilità che uno studente, che risponde a
caso a ciascuna domanda, superi l’esame.
PROBABILITA’
ESERCIZIO: Un tiratore ha probabilità 1/3 di colpire
un bersaglio, ad ogni tentativo indipendentemente dagli
altri. Se dispone al massimo di 4 tentativi, qual è la
probabilità che ha di colpire il bersaglio?
Test di screening
Un test di screening per una certa malattia mostra un risultato
positivo nel 90% dei casi in cui la malattia è effettivamente
presente, e nel 5% dei casi in cui la malattia non è presente (falsi
positivi).
a) supponendo che l'incidenza della malattia nella popolazione
sia 1/200, calcolare la probabilità che un individuo, scelto a
caso nella popolazione, sia affetto da tale malattia se il test è
risultato positivo;
b) quale sarebbe l'incidenza della malattia se, avendo sottoposto
al test un ampio numero di individui, il 20% dei risultati fosse
positivo?
