L’ULTIMO TEOREMA DI FERMAT
LA CONGETTURA DI MORDELL E
LA CONGETTURA DI BEAL
(Un filo conduttore comune: non
hanno soluzioni per n > 2)
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco
Di Noto
Abstract
Last Fermat theorem, Mordell conjecture and Beal Conjecture have not
solutions for n > 2
Riassunto
In questo breve lavoro mostriamo come l’’ultimo teorema di Fermat, la
congettura di Mordell e la congettura di Beal non hanno soluzioni per
n>2
Testo
Le tre congetture qui considerate sono collegate tra
1
loro da basi comuni a, b e c e da esponenti variabili 2, n (comuni ad a, b e
c) e m, n, r variabili
In questo breve lavoro mostreremo che solo la soluzione “esponente 2 ha
soluzione ( Teorema di Pitagora, tramite le terne pitagoriche ecc.)
While ha già mostrato, com’è noto che con n > 2 non si hanno soluzioni
(noi proponiamo una soluzione forse molto più semplice (Rif.1, Ultimo
teoreama di Fermat e le terne pitagoriche”)
Faltings ha già dimostrato che la congettura di Mordell (non ha
soluzioni,
o se le ha, sono finite)
La congettura di Beal non è stata ancora dimostrata ne vera ne falsa (esiste
un premio da un milione di dollari in entrambi i casi)
Noi proponiamo una soluzione negativa, per lo stesso motivo per cui
l’ultimo teorema di Fermat, e la a congettura di Mordell non possono avere
soluzioni per x e y coprimi tra loro, per una conseguenza sulle potenze
delle basi x e y (anch’esse sono coprime tra loro, e anche con le somme
x + y = z))
In questo partiamo dalla congettura di Mordell, che non ha soluzioni, ne
2
finite ne infinite
Poichè tale congettura non è reperibile su Wikipedia ,
cominciamo con la sua descrizione dalla relativa voce sull’enciclopedia
Garzantina di Matematica (Garzanti Ed, 2013))
“Mordell, congettura di correlata all’ultimo teorema di → Fermat,
afferma che per ogni fissato n > 2, il numero delle soluzioni intere
dell’equazioni x^n + y^n = z^n, se esistono, è finito”
Nostro contributo: almeno per le terne pitagoriche x, y e z,
tali soluzioni non esistono , poichè la differenza:
z^n – (x^n + y^n)
è 0 solo per n = 2, ma al crescere di n diventa sempre più
grande, e non ritorna mai più a 0 (differenza unica e minima valida solo
per le terne pitagoriche e il teorema di Pitagora)
La congettura quindi non ha soluzioni, ed è una conseguenza della
congettura abc, (Rif.2), parzialmente da Wikipedia :
Congettura abc
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
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3
La congettura abc (anche nota come congettura di Oesterle-Masser) è
stata proposta per la prima volta da Joseph Oesterlé e David Masser nel
1985. La congettura è definita in funzione di tre numeri interi positivi
(da cui deriva il nome), privi di fattori comuni diversi da , e che
soddisfino la relazione
. Se è definito come il prodotto dei fattori
distinti di
, la congettura, essenzialmente, afferma che raramente è
molto più piccolo di .
Sebbene non esista alcuna strategia elementare per risolvere il problema, la
congettura è ritenuta molto importante per il numero di conseguenze
interessanti che ne derivano. Dorian M. Goldfeld ha definito la congettura
abc come "il più importante problema irrisolto dell'analisi diofantea"[1].
Nell'agosto del 2012 Shinichi Mochizuki ha pubblicato un articolo con una
possibile dimostrazione della congettura. Mochizuki ha chiamato il
teorema che utilizza nella dimostrazione il teorema inter-universale
Teichmüller. Questo può essere utilizzato anche per dimostrare la
congettura di Szpiro e la congettura di Vojta.[2][3][4]
…
•
•
•
Il teorema di Thue–Siegel–Roth (dimostrato da Klaus Roth)
L'ultimo teorema di Fermat per tutti gli esponenti abbastanza grandi
(dimostrazione generale di Andrew Wiles)
La congettura di Mordell (dimostrata da Gerd Faltings)[6]
•
…”
Vediamo ora la congettura di Beal, simile alla congettura di Mordell e
all’UTF, ma con basi A, B e C ed n variabile in x, y e z (Rif.4)
Congettura di Beal
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Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
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La congettura di Beal è una congettura della teoria dei numeri resa popolare dal miliardario texano
e matematico amatoriale Andrew Beal. Analizzando diverse generalizzazioni dell'ultimo teorema di
Fermat, nel 1993 Andrew Beal formulò la seguente congettura:
Se
e
, dove , , , , e sono interi positivi e
hanno un fattore primo in comune.
, allora
,
Per esempio, la soluzione 33 + 63 = 35 ha tutte le basi divisibili per 3, e la soluzione 76 + 77 = 983 ha
le basi con il fattore comune 7. In effetti, ci sono infinite soluzioni le cui basi hanno un fattore in
comune. Per esempio, l'identità
fornisce una soluzione per ogni , ,
.
. In questo caso, tutte le basi hanno il fattore comune
Fino al 2006, non c'erano controesempi noti. Le ricerche sono state effettuate almeno fino a 1.000 in
tutte le variabili.[1] [2]
La congettura di Beal è una generalizzazione dell'ultimo teorema di Fermat, che corrisponde al caso
in cui
. Se
con, allora o le basi sono coprime oppure hanno un fattore in
comune. Se hanno un fattore in comune, allora, dividendole per il loro massimo comune divisore, si
ottiene una soluzione più piccola con le basi coprime. In entrambi i casi, un controesempio
dell'ultimo teorema di Fermat fornisce anche un controesempio della congettura di Beal.
La congettura non è valida nel più ampio dominio degli interi gaussiani. Dopo che era stato offerto
un premio di $50 per un controesempio, Fred W. Helenius trovò che
.[3]
È stato argomentato il fatto che altri matematici avessero già proposto la stessa congettura prima di
Andrew Beal.
Beal ha offerto un premio di $1,000,000 USD per la dimostrazione o la confutazione della
congettura.[4][5] ….”
Noi mostriamo che , contrariamente a quanto si dice nel brano:
Se
e
, dove , , , , e sono interi positivi e
hanno un fattore primo in comune.
, allora
Se A, B e C sono coprimi (condizione non specificata nel brano, quindi
compresa) , lo sono anche le loro potenze, e quindi non ci sono fattori
5
,
comuni , e quindi in tal caso sono dei contro esempi (tali potenze non
hanno un fattore comune) (Rif.4) dal quale riportiamo:
“La congettura di Beal è una generalizzazione dell'ultimo teorema di
Fermat, che corrisponde al caso in cui . Se con , allora o le basi sono
coprime oppure hanno un fattore in comune. Se hanno un fattore in
comune, allora, dividendole per il loro massimo comune divisore, si
ottiene una soluzione più piccola con le basi coprime. In entrambi i casi,
un contro esempio dell'ultimo teorema di Fermat fornisce anche un contro
esempio della congettura di Beal”
Nel Rif.1 abbiamo visto che per l’ultimo teorema di Fermat (tre esponenti
uguali x, x, x) non ci sono contro esempi, e quindi non ci sono neanche
per la congettura di Beal (esponenti diversi x, y e z ≥ 3.
Conclusioni
Possiamo quindi concludere che tutte e tre le congetture non hanno
soluzioni per esponenti x, y e z ≥ 3.
Riferimenti
1) L’Ultimo teorema di Fermat e le terne Pitagoriche Aspetto aritmetico
e geometrico
A cura di
Francesco Di Noto
Eugenio Amitrano
( http://www.atuttoportale.it/)
2) Limite della congettura abc, connessione con i numeri di Fibonacci
e la distribuzione dei numeri primi (TNP)
Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli, Francesco Di Noto
Abstract:
6
In questo documento esponiamo le connessioni da noi trovate tra la
congettura abc, i numeri di Fibonacci e la distribuzione dei numeri
primi
per via di formule logaritmiche simili.
Inoltre si calcola il limite superiore della congettura abc.
3) Appunti sulla congettura abc
Gruppo “B. Riemann”*
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle
loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Abstract
In this paper we show our opinions about “abc conjecture”
Riassunto
In questo lavoro parleremo della congettura abc, esponendo i nostri
risultati su un problema (l’implicazione di Dabrowski, n! + A = k^2 )
connesso con la medesima.
4) Appunti su casi particolari della congettura di Beal come possibili
contro esempi
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
Abstract
In this paper we show a possibility that Beal conjecture is not true
Riassunto
In questo breve lavoro esaminiamo, in merito alla congettura di Beal il
caso particolare delle terne pitagoriche.
7
